第10讲 正多边形与圆（3考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第10讲 正多边形与圆 课程标准 学习目标 1 理解正多边形和圆的关系； 2 掌握正多边形的半径、边心距、中心角等概念； 3 能运用正多边形的相关知识进行计算和证明。 1. 理解正多边形与圆的关系，掌握相关概念； 2. 能够运用正多边形的知识解决问题。 知识点一、正多边形 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 判断一个多边形是否是正多边形（），必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点二、正多边形与圆的关系 一般地，用量角器把一个圆等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的外心，外接圆的半径叫做正多边形的半径. 1.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径； (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 2.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 3.正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形； （2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形； （3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心； （4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方； （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 知识点三、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图： （1）正四、八边形： 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形. （2）正六、三、十二边形的作法： 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任意画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点. 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点. 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…… 题型01 求正多边形的中心角 1．正六边形的中心角为（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 2．若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的中心角为（　　） A．20° B．45° C．60° D．90° 3．正五边形的一个中心角等于　 　度． 4．如图，正三角形ABC内接于⊙O，它的中心角∠AOB＝　 　°． 题型02 正多边形与圆求线段的长度 1．线段AB是圆内接正十二边形的一条边，则AB边所对的圆周角是　 　°． 2．如图，若正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，连接对角线BG，则线段BG的长为 　 　． 3．如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 　 　． 题型03 正多边形与圆求半径 1．如图，面积为12的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（　　） A．3 B． C． D． 2．若正n边形边长为4，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（　　） A． B．4 C． D．2 3．正六边形的边长为6，则它的内切圆半径为 　 　． 4．如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的外接圆的半径是 　 　． 题型04 正多边形与圆求周长 1．正方形的外接圆与内切圆的周长比为（　　） A．：1 B．2：1 C．4：1 D．3：1 2．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，若⊙O的半径为6，则四边形ACDF的周长是（　　） A． B． C． D．6+12 3．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是2cm，则这个正六边形的周长是（　　） A．12cm B．6cm C．36cm D．12cm 4．若某正多边形的一条边长为2，一个外角为45°，则该正多边形的周长为　 　． 题型05 正多边形与圆求面积 1．如图，正六边形ABCDEF中，△ABD的面积为4，则正六边形ABCDEF的面积是（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图，多边形ABCDEF为正六边形，点P在边CD上，过点P作PQ∥ED交EF于点Q，连接BQ，且满足∠BPC＝∠BQP．设四边形PQED、四边形AFQB和△BCP的面积分别为S1、S2、S3，则正六边形ABCDEF的面积为（　　） A．S1+2S2+2S3 B．S1+2S2S3 C．S1+2S2+3S3 D．2S1+S2+2S3 3．如图，正八边形ABCDEFGH的半径为4，则它的面积是 　 　． 4．如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为 　 　． 1．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　） A．108° B．129° C．130° D．144° 3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，等边△AEF的顶点E，F分别在，上，EF交BC，CD于点G，H，则的值等于（　　） A． B． C． D．2 4．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（　　） A． B． C． D．（2，4） 5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（　　） A．（1，） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1） 6．如图，点M在正六边形的边EF上运动．若∠ABM＝x°，写出一个符合条件的x的值 　 　． 7．如图，AE，DF是正八边形ABCDEFGH的两条对角线，则　 　． 8．两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则A点的坐标是 　 　． 9．如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接AE，C1F相交于点G，则∠AGF的度数为 　 　°． 10．如图，在正六边形ABCDEF中，经过点E，F的⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，与边DE交于点M，连接GM，FH交于点N，则∠GNF的度数为 　 　°． 11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C． （1）求证：矩形ABCD是正方形； （2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是 　 　． 12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于 　 　． 13．如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小． 14．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，连接BD、DF、FB， （1）设△BDF的面积为S1，正六边形ABCDEF的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　 　； （2）△ABF通过旋转可与△CBD重合，请指出旋转中心和最小旋转角的度数． 15．如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动． （1）求图1中∠APN的度数是 　 　；图2中，∠APN的度数是 　 　，图3中∠APN的度数是 　 　． （2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） 　 　． 16．（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，BM＝CN，证明△ABM≌△BCN，并求出∠BQM的度数． （2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表： 正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形 ∠BQM的度数 　 　 　 　 　 　 … 　 　 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 正多边形与圆 课程标准 学习目标 1 理解正多边形和圆的关系； 2 掌握正多边形的半径、边心距、中心角等概念； 3 能运用正多边形的相关知识进行计算和证明。 1. 理解正多边形与圆的关系，掌握相关概念； 2. 能够运用正多边形的知识解决问题。 知识点一、正多边形 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 判断一个多边形是否是正多边形（），必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点二、正多边形与圆的关系 一般地，用量角器把一个圆等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的外心，外接圆的半径叫做正多边形的半径. 1.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径； (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 2.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 3.正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形； （2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形； （3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心； （4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方； （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 知识点三、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图： （1）正四、八边形： 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形. （2）正六、三、十二边形的作法： 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任意画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点. 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点. 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…… 题型01 求正多边形的中心角 1．正六边形的中心角为（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【分析】据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：360°÷6＝60°． 【解答】解：正六边形的中心角是：360°÷6＝60°． 故选：A． 【点评】此题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键． 2．若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的中心角为（　　） A．20° B．45° C．60° D．90° 【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数，进而得出答案． 【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°， ∴该正多边形的一个外角为45°， ∵多边形的外角之和为360°， ∴边数n8， ∴该正多边形为正八边形， 故这个正多边形的中心角为：45°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°． 3．正五边形的一个中心角等于　 　度． 【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可． 【解答】解：正十边形的中心角为：72°． 故答案为：72°． 【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义． 4．如图，正三角形ABC内接于⊙O，它的中心角∠AOB＝　 　°． 【分析】根据等边三角形的性质和圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， 故答案为：120． 【点评】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 题型02 正多边形与圆求线段的长度 1．线段AB是圆内接正十二边形的一条边，则AB边所对的圆周角是　 　°． 【分析】求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答． 【解答】解：圆内接正十二边形的边所对的圆心角360°÷12＝30°和360°﹣30°＝330°， 根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半， AB所对的圆周角的度数是15°或165°， 故答案为15°或165． 【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，属于基础题，要注意分两种情况讨论． 2．如图，若正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，连接对角线BG，则线段BG的长为 　 　． 【分析】过A作AM⊥BE于M，过F作FN⊥BE于N，过G作GH⊥BE于H，由含30°直角三角形的性质结合矩形的性质求出BE，GH，EH，根据勾股定理即可求出BG． 【解答】解：连接BE，过A作AM⊥BE于M，过F作FN⊥BE于N，过G作GH⊥BE于H， 则AF∥BE， ∴四边形AMNF是矩形， ∴MN＝AF＝2，∠FAM＝90°， ∵∠BAF120°， ∴∠BAM＝30°， ∴BMAB＝1， 同理：EN＝1， ∴BE＝4，EH，GH， ∴BH＝BE﹣EH＝4， ∴BG， 方法二：连接BD， ∵正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点， ∴BC＝CD＝2，DGDE＝1，∠C＝∠CDG＝120°， ∴∠CDB＝30°， ∴∠BDG＝90°， 过C作CH⊥BD于H， ∴∠CHD＝90°， ∴DHCD， ∴BD＝2， ∴BG， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正多边形，勾股定理，含30°直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造出直角三角形． 3．如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 　 　． 【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO∠AFE60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案． 【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH⊥OF于点H，连接OA， ∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O， ∴AF＝AB＝6，∠AFO∠AFE60°，MO＝ON， ∵OA＝OF， ∴△OAF是等边三角形， ∴OA＝OF＝AF＝6， ∵AM＝2， ∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4， ∵MH⊥OF， ∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°， ∴FHMF4＝2，MH2， ∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4， ∴OM2， ∴NO＝OM＝2， ∴MN＝NO+OM＝224， 解法二：利用对称性，DN＝AM＝2，由M向下作垂线，利用勾股定理求解，可得结论． 故答案为：4． 【点评】本题考查了正多边形和圆，掌握正六边形的特点，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识是解决问题的关键． 题型03 正多边形与圆求半径 1．如图，面积为12的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（　　） A．3 B． C． D． 【分析】连接OA、OB，则△OAB为等腰直角三角形，由正方形面积为12，可求边长为2，进而可得半径为． 【解答】解：如图，连接OA，OB，则OA＝OB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOB＝90°， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∵正方形ABCD的面积是12， ∴AB2， ∴OA＝OBAB， 故选：C． 【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、构造等腰直角三角形是解题的关键． 2．若正n边形边长为4，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（　　） A． B．4 C． D．2 【分析】把正多边形的计算转化为解直角三角形．根据正n边形的特点，构造直角三角形，即可求解． 【解答】解：经过正n边形的中心O作边AB的垂线OC， ∴∠OCB＝90°， ∵正n边形的一个内角为120°，AB＝4， ∴∠B＝60°，BC＝2， ∴∠O＝30°， ∴OB＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形与圆．正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形． 3．正六边形的边长为6，则它的内切圆半径为 　 　． 【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB，OG， ∵六边形ABCDEF是边长为6的正六边形， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA＝AB＝6， ∴OG＝3， ∴边长为4的正六边形的内切圆的半径为：3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了正多边形和圆，掌握正多边形内切圆的性质是解题的关键． 4．如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的外接圆的半径是 　 　． 【分析】根据正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，OB，OC，OB与AC相交于点G，由对称性可知OB⊥AC，AG＝CGAC， ∵正六边形ABCDEF， ∴∠AOB60°， 在Rt△OAG中，∠AOG＝60°，AG， ∴OA2， 故答案为：2． 【点评】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的相关计算是正确解答的关键． 题型04 正多边形与圆求周长 1．正方形的外接圆与内切圆的周长比为（　　） A．：1 B．2：1 C．4：1 D．3：1 【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图所示， 连接OA、OE， ∵AB是小圆的切线， ∴OE⊥AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AE＝OE， ∴△AOE是等腰直角三角形， 设AE＝x， 则OA， 故， 即正方形的外接圆与内切圆的周长比为：：1． 故选：A． 【点评】本题考查的是正方形的性质及勾股定理．根据题意画出图形，利用数形结合求出答案是解答此题的关键． 2．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，若⊙O的半径为6，则四边形ACDF的周长是（　　） A． B． C． D．6+12 【分析】根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AF，DF即可． 【解答】解：如图，连接OA，OF，OD，过点O作OM⊥DF于点M，则FM＝DMDF， ∵点O是正六边形ABCDEF的中心， ∴∠AOF60°， ∵OA＝OF， ∴△AOF是正三角形， ∴AF＝OA＝6， 在Rt△FOM中，∠OFM＝90°﹣60°＝30°，OF＝6， ∴FMOF＝3， ∴DF＝2FM＝6， ∴四边形ACDF的周长是2AF+2DF＝12+12， 故选：C． 【点评】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 3．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是2cm，则这个正六边形的周长是（　　） A．12cm B．6cm C．36cm D．12cm 【分析】由正六边形的性质证出△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB＝OA，即可得出答案． 【解答】解：设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示： ∵O是正六边形ABCDEF的中心， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝60°，AO＝BO＝2cm， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝2cm， ∴正六边形ABCDEF的周长＝6AB＝12cm． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出△AOB是等边三角形是解题关键． 4．若某正多边形的一条边长为2，一个外角为45°，则该正多边形的周长为　 　． 【分析】设正多边形是n边形．由题意：45°，求出n即可解决问题． 【解答】解：设正多边形是n边形． 由题意：45°， ∴n＝8， ∴这个正多边形的周长＝8×2＝16， 故答案为16． 【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型05 正多边形与圆求面积 1．如图，正六边形ABCDEF中，△ABD的面积为4，则正六边形ABCDEF的面积是（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】设O是正六边形ABCDEF的中心，连接OB、OC，则OA＝OD，得S△OAB＝S△OBDS△ABD＝2，即可解决问题． 【解答】解：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，连接OB， 则OA＝OD， ∴S△OAB＝S△OBDS△ABD4＝2， ∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6×2＝12， 故选：C． 【点评】本题考查了正多边形和圆以及三角形面积，熟练掌握正六边形的性质是就听到关键． 2．如图，多边形ABCDEF为正六边形，点P在边CD上，过点P作PQ∥ED交EF于点Q，连接BQ，且满足∠BPC＝∠BQP．设四边形PQED、四边形AFQB和△BCP的面积分别为S1、S2、S3，则正六边形ABCDEF的面积为（　　） A．S1+2S2+2S3 B．S1+2S2S3 C．S1+2S2+3S3 D．2S1+S2+2S3 【分析】如图，将△BCP绕点B逆时针旋转120°得到△BAG，连接QG交AF于H．证明△AGH≌△QFH，△GBQ≌△PBQ可得结论． 【解答】解：如图，将△BCP绕点B逆时针旋转120°得到△BAG，连接QG交AF于H． ∵∠BAG＝∠C＝120°， ∴∠FAG＝360°﹣∠BAG﹣∠BAF＝120°＝∠F， ∴PQ∥DE，∠E＝∠D， ∴四边形DEQP是等腰梯形， ∴DP＝EQ， ∵CD＝EF， ∴CP＝AG＝FQ， ∵∠GHA＝∠QHF， ∴△AGH≌△QFH（AAS）， ∴S△AHG＝S△QFH， ∵∠PBQ＝180°﹣∠BQP﹣∠BPQ＝180°﹣∠BPC﹣∠BPQ＝∠DPQ＝60°，∠PBG＝120°， ∴∠GBQ＝∠QBP＝60°， ∵BG＝BP，BQ＝BQ， ∴△GBQ≌△PBQ（SAS）， ∴S△BPQ＝S∠BGQ＝S△BCP+S四边形BAFQ＝S2+S3， ∴S正六边形ABCDEF＝S1+S2+S3+S2+S3＝S1+2S2+2S3． 故选：A． 【点评】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 3．如图，正八边形ABCDEFGH的半径为4，则它的面积是 　 　． 【分析】根据正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OF、OG，则OF＝OG＝4，过点G作GM⊥OF于点M， ∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O， ∴∠FOG45°， 在Rt△OGM中，∠GOM＝45°，OG＝4， ∴OM＝GMOG＝2， ∴S△FOGOF•GM4×24， ∴S正八边形ABCDEFGH＝8S△FOG＝32． 故答案为：32． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键》 4．如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为 　 　． 【分析】如图，连接OB，OF，根据题意得：△BFO是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形，求得△ABC的高和底即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：如图，连接OB，OF， 根据题意得：△BFO是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形， ∴BF＝OB＝2， ∴△BFO的高为：，CD＝2（2）＝4﹣2， ∴BC（2﹣4+2）1， ∴阴影部分的面积＝4S△ABC＝4（）•6﹣2． 故答案为：6﹣2． 【点评】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解题的关键是知道阴影部分的面积等于4个三角形的面积． 1．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝40°，即可得到结论． 【解答】解：连接OA，OB， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB＝20°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝40°， ∴这个正多边形的边数9． 故选：C． 【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 2．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　） A．108° B．129° C．130° D．144° 【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108°，由切线的性质可得出∠OAE＝∠OCD＝90°，在五边形CDEAO中由内角和可求出答案． 【解答】解：∵正五边形ABCDE， ∴∠D＝∠E108°， 又∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点， ∴∠OAE＝∠OCD＝90°， 在五边形CDEAO中， ∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣90°×2﹣108°×2＝144°， 故选：D． 【点评】本题考查正多边形与圆，切线的性质，掌握正多边形的内角、内角和的计算方法以及切线的性质是正确计算的前提． 3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，等边△AEF的顶点E，F分别在，上，EF交BC，CD于点G，H，则的值等于（　　） A． B． C． D．2 【分析】根据正方形、正三角形的性质以及勾股定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接AC，交EF于点M，则AC所在的直线是正三角形，正方形及圆的对称轴， ∴AC⊥EF， 设半径为r，则EFr， 在Rt△AEM中，EMEFr，∠AEM＝60°， ∴AMEMr， ∴MC＝2rrr， 在Rt△CMG中，∠MCG＝45°， ∴GM＝CMr， 同理HM＝CMr， ∴GH＝2CM＝r， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查正多边形和圆，正方形的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系，掌握正三角形，正方形的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（　　） A． B． C． D．（2，4） 【分析】作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，根据正六边形的性质及等边三角形的性质得出MO＝2OH＝4，再由勾股定理确定即可得出结果． 【解答】解：如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME， ∵正六边形OABCDE的边长是4， ∴OH＝HE＝2，△OME为等边三角形，∠OMH＝30°， ∴MO＝2OH＝4， ∴ ∴点M的坐标为： 故选：A． 【点评】本题主要考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坐标与图形，理解题意，作出图形辅助线是解题关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（　　） A．（1，） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1） 【分析】由题意旋转8次应该循环，因为2020÷8＝252…4，所以∁i的坐标与C4的坐标相同． 【解答】解：由题意旋转8次应该循环， ∵2020÷8＝252…4， ∴∁i的坐标与C4的坐标相同， ∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称， ∵AB＝AC＝1，∠OAB＝120°， ∴OB， ∴C4（1，）， ∴顶点∁i的坐标是（1，）， 故选：A． 【点评】本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化﹣性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 6．如图，点M在正六边形的边EF上运动．若∠ABM＝x°，写出一个符合条件的x的值 　 　． 【分析】由正多边形的性质和平行线的性质求得∠ABF＝30°，∠ABE＝60°可得x的取值范围30°≤x≤60°，即可得到答案． 【解答】解：连接BF，BE， ∵六边形ABCDEF是正六边形，AF∥BE， ∴∠A＝∠ABC＝∠AFE120°，AB＝AF， ∴∠ABF30°， ∠ABE＝180°﹣∠A＝60°， ∵点M在正六边形的边EF上运动，∠ABM＝x°， ∴30°≤x≤60°， ∴x＝50°． 故答案为：50°（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆，根据正多边形的性质和平行线的性质求得∠ABF＝30°，∠ABE＝60°得到x的取值范围是解决问题的关键． 7．如图，AE，DF是正八边形ABCDEFGH的两条对角线，则　 　． 【分析】设正八边形ABCDEFGH中心为O，连接OF、OD，设OD＝OF＝a，表示出DF和AE，再计算即可解答． 【解答】解：设正八边形ABCDEFGH中心为O，连接OF、OD，如图， ∵多边形为正八边形， ∴中心角∠DOF＝360°90°， 设OD＝OF＝a， ∴AE＝2a，DFa， ∴AE：DF＝2a：a． 故答案为：． 【点评】本题考查了正多边形与园，正多边形的性质及园的性质的综合应用是本题的解题关键． 8．两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则A点的坐标是 　 　． 【分析】根据正六边形的性质和解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：如图，设正六边形的中心为C，连接CD，过D作DH⊥BC于H， 则BD＝CB＝CD＝2，∠BDH＝30°， ∴DHBD， ∴A（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接AE，C1F相交于点G，则∠AGF的度数为 　 　°． 【分析】连接OA，OB1，OC1，根据正五边形的性质得到∠AOB1＝∠B1OC172°，根据圆周角定理得到∠AFC1AOC1＝72°，根据等腰三角形的性质得到∠GAF＝30°，于是得到结论． 【解答】解：连接OA，OB1，OC1， ∵点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心， ∴∠AOB1＝∠B1OC172°， ∴∠AOC1＝144°， ∴∠AFC1AOC1＝72°， ∵AF＝EF，∠AFE＝120°， ∴∠GAF＝30°， ∴∠AGF＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣30°﹣72°＝78°， 故答案为：78． 【点评】本题考查了正多边形与圆，等由三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．如图，在正六边形ABCDEF中，经过点E，F的⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，与边DE交于点M，连接GM，FH交于点N，则∠GNF的度数为 　 　°． 【分析】连接FG、OG、OH，根据切线的性质求出∠OGB，∠OHC，再求出∠O＝60°，再在圆内接四边形EFGM中，求出∠FGM＝60°，再根据内角和定理解答即可． 【解答】解：连接FG、OG、OH，如图， ∵⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H， ∴OG⊥AB，OH⊥CD， ∴∠OGB＝90°，∠OHC＝90°， ∵∠B＝∠C＝120°， ∵五边形OGBCH的内角和为540°， ∴∠O＝120°， ∴∠GFH＝60°， 在圆内接四边形EFGM中， ∵∠E＝120°， ∴∠FGM＝60°， ∴∠GNF＝60°． 故答案为：60． 【点评】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键． 11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C． （1）求证：矩形ABCD是正方形； （2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是 　 　． 【分析】（1）连接AC，证明△AOF≌△AOE（SAS），可得AF＝AE，然后证明AB＝CB，即可解决问题； （2）根据勾股定理求出OC＝2，进而可以求出正方形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形， ∴AC是⊙O的直径， ∵EF与⊙O相切于点C， ∴AC⊥EF， ∵OE＝OF， ∴CF＝CE，∠FOC＝∠EOC， ∴∠AOF＝∠AOE， ∵OA＝OA， ∴△AOF≌△AOE（SAS）， ∴AF＝AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠FAE＝90°， ∴ACEF＝CF＝CE， ∴∠CAE＝45°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∴AB＝CB， ∴矩形ABCD是正方形； （2）解：∵OCAC，AC＝CF， ∴CF＝2OC， ∵OF＝10，OF2＝OC2+CF2， ∴102＝OC2+4OC2， ∴OC＝2， ∴ABOC＝2， ∴AB2＝40， ∴正方形ABCD的面积是40． 故答案为：40． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，矩形的性质，正方形的判定与性质，切线的性质，解题关键是利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长． 12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于 　 　． 【分析】（1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出∠OCD＝90°即可； （2）得出以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出BC的长即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵AC＝CCD， ∴∠OAC＝∠ODC＝30°， ∴∠OCD＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 即OC⊥CD， 又∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠BOC＝60°， ∴以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∴BCAB＝3， ∴以BC为边的圆内接正六边形的周长为3×6＝18． 故答案为：18． 【点评】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． 13．如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小． 【分析】△BCM是等腰三角形，只要求出顶角∠CBM就可以，这个角是正六边形与正方形内角的差． 【解答】解：∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠ABC＝120°，AB＝BC． ∵四边形ABMN为正方形， ∴∠ABM＝90°，AB＝BM．（2分） ∴∠MBC＝120°﹣90°＝30°，BM＝BC． ∴∠BCM＝∠BMC． ∴∠BCM（180°﹣30°）＝75°．（5分） 【点评】本题就是一个求正多边形的内角的问题，注意到△BCM是等腰三角形是解决本题的关键． 14．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，连接BD、DF、FB， （1）设△BDF的面积为S1，正六边形ABCDEF的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　 　； （2）△ABF通过旋转可与△CBD重合，请指出旋转中心和最小旋转角的度数． 【分析】（1）先连接OD、OF、OB，根据正六边形、正三角形的性质可知△ABF、△BDC、△DEF、△DOF、△BOF、△BOD都是全等的，易求S2＝2S1； （2）由于正n边形关于对称中心O旋转与自身重合，易求旋转角度． 【解答】解：（1）S2＝2S1，如图所示，连接OD、OF、OB， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴△BDF是正三角形， ∴△ABF、△BDC、△DEF、△DOF、△BOF、△BOD都是全等的， ∴S2＝2S1； （2）旋转中心是O，最小旋转角是120°， 由于正n边形关于对称中心O旋转与自身重合，而通过观察可知△ABF必须逆时针旋转才可以与△CBD重合， 故旋转的角度120°． 【点评】本题考查了正多边形的定义、性质和旋转的性质．正三边形的中心与顶点的连线构成的3个三角形全等，正n边形关于对称中心O旋转与自身重合． 15．如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动． （1）求图1中∠APN的度数是 　 　；图2中，∠APN的度数是 　 　，图3中∠APN的度数是 　 　． （2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） 　 　． 【分析】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可． 【解答】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动， ∴∠BAM＝∠CBN， 又∵∠APN＝∠BPM， ∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°； 同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°． （2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，． 【点评】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数． 16．（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，BM＝CN，证明△ABM≌△BCN，并求出∠BQM的度数． （2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表： 正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形 ∠BQM的度数 　 　 　 　 　 　 … 　 　 【分析】（1）根据等边三角形的性质、SAS定理证明△ABM≌△BCN，根据三角形的外角的性质求出∠BQM； （2）仿照（1）的结论，计算即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝60°， 在△ABM和△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BQM＝∠BAM+∠ABQ＝∠CBN+∠ABQ＝60°； （2）正方形ABCD中，由（1）得，△ABM≌△BCN， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BQM＝∠BAM+∠ABQ＝∠CBN+∠ABQ＝90°， 同理正五边形ABCDE中，∠BQM＝108°， 正六边形ABCDEF中，∠BQM＝120°， 正n边形ABCD…中，∠BQM， 故答案为：90°；108°；120°；． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的概念和性质、三角形的外角的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$