精品解析：吉林省长春市德惠市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

德惠市2023—2024学年度第二学期期末质量监测 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. 2024 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求解即可． 本题主要考查了负指数幂运算，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 2. 分式方程有意义条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的分母不等于0时，分式有意义，求解即可． 本题主要考查了分式有意义的条件．熟练掌握“分母不等于0时，分式有意义”是解题的关键． 【详解】解：要使分式有意义， 则， 解得， ∴分式方程有意义的条件是． 故选：C． 3. 芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了（纳米），已知，将用科学记数法可表示（ ）m．（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 在前面有个， 在前面有个， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的定义，理解定义是解题的关键． 4. 下列各点中，在的函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入各选项中点的横坐标，求出y值，再与点的纵坐标比较后，即可得出结论． 【详解】解：A．当时，，， ∴点不在函数的图象上，选项A不符合题意； B．当时，，， ∴点不在函数的图象上，选项B不符合题意； C．当时，，， ∴点不在函数的图象上，选项C不符合题意； D．当时，，， ∴点在函数的图象上，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 5. 某市测得一周大气的的日均值（单位：微克/立方米）如下：32，35，32，33，30，33，32．对于这组数据下列说法正确的是（ ） A. 众数是30 B. 中位数是32 C. 平均数是33 D. 方差是35 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数和方差的计算公式分别进行计算即可得出答案． 本题考查了众数，中位数，平均数和方差．熟练掌握众数，中位数，平均数和方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：30，32，32，32， 33， 33，35， 32出现的次数最多，因此众数为32，故A选项错误； 中位数为32，故B选项正确； 平均数为，故C选项错误； 方差为， 故D选项错误； 故选：B． 6. 如图，把矩形沿对折，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据折叠的性质和平角的概念得到，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵矩形沿对折后两部分重合，， ∴， ∵矩形对边， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形折叠问题，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高BH=( ) A. 4.6 B. 4.8 C. 5 D. 5.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵AC=8，BD=6， ∴， 在Rt△AOB中，， ∵DH⊥AB， ∴菱形ABCD的面积=， 即×6×8=5•DH， 解得：DH=4.8， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点A、B的横坐标分别为2、6，则k的值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】将点A的横坐标代入可求出点A的坐标，再根据点A到点B的平移方式就是点O到点C的移动方式可求出点C的坐标，从而得解． 【详解】解：当时， ∴ 又∵若点B的横坐标为6，， ∴ ∴点A到点B的平移方式是：向右移动4个单位长度，向上移动2个单位长度， 又∵四边形是平行四边形， ∴点O到点C的平移方式也是：向右移动4个单位长度，向上移动2个单位长度， ∴ ∴将点C的坐标代入得： ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分式方程解是：______． 【答案】 【解析】 【分析】先将原分式方程去分母化成整式方程，再解整式方程，然后再将整式方程的解带入最简公分母中检验即可． 本题考查了解分式方程，注意解分式方程时必须要进行检验，这是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 解得，， 检验：当时，； 当时，． ∴是原分式方程的增根，是原分式方程的解． 故答案为：． 10. 在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，当时，该物体所经过的路程为______米． 【答案】88 【解析】 【分析】将t=4代入路程s（米）与时间t（秒）的关系式计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ； 故答案为：88. 【点睛】本题考查了代数式的应用，明确关系式的含义，把代入计算是解题的关键． 11. 小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：小明的最终比赛成绩为分． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 12. 已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2）， ∴联立y=3x-1与y=kx的方程组的解为：， 即的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 13. 如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】在平行四边形中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B为第二象限的点，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，坐标与图形，正确作出辅助线是解题关键；过作轴，过作轴，过作，证明得出，，再根据点的坐标即可求解． 【详解】解：过作轴，过作轴，过作，如图： ， 四边形是正方形， ，， ∴ ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 即点的纵坐标为3， ∵点B为第二象限的点， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，绝对值得性质，负整数指数进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值得性质，负整数指数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16 先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【解析】 【分析】原式括号中通分并利用同分母分式的加法法则计算，所得分子分解因式，同时括号外分式的分子分解因式与分母约分后利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】原式 ， 当时，原式 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则． 17. 某毕业班班主任打算购买笔记本和书签作为毕业礼物送给学生已知书签的单价比笔记本的单价便宜元．且用元购买的书签的数量与用元购买的笔记本的数量一样．求笔记本和书签的单价． 【答案】笔记本的单价为12元，书签的单价为11元 【解析】 【分析】设书签的单价为元，则笔记本的单价为元，利用数量总价单价，结合用元购买的书签的数量与用元购买的笔记本的数量一样，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出书签的单价，再将其代入中，即可求出笔记本的单价． 【详解】解：设书签的单价为元，则笔记本的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：笔记本的单价为元，书签的单价为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18. 如图，在四边形中，，，为边上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等角对等边、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． （1）根据一组对边平行且相等判定平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； （2）先证，由等角对等边可得，结合矩形性质和勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 证明：即，， 四边形是平行四边形， 又， 是矩形． 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 矩形中，， 在中，． 19. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．的顶点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图①中以为边作正方形； （2）在图②中以为边作菱形（除正方形之外）； （3）在图③中以为对角线作平行四边形，且其面积为3． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质作图即可解题； （2）作出四条边相等的四边形即可； （3）确定另一条对角形即可确定四个顶点解题． 【小问1详解】 如图所示，正方形即为所求； 【小问2详解】 如图所示, 菱形即为所求； 【小问3详解】 如图所示，平行四边形即为所求． 20. 2023年新春伊始，中国电影行业迎来了期盼已久的火爆场面，《满江红》、《流浪地球2》、《无名》、《深海》等一大批电影深受到广大影迷的青睐．下面的统计图是其中两部电影上映后前六天的单日票房信息． 根据以上信息，回答下列问题： （1）1月22日—27日的六天时间内，影片甲单日票房的中位数为______亿元（精确到0.01亿元）． （2）求1月22日—27日的六天时间内影片乙的平均日票房．（精确到0.01亿元） （3）对于甲、乙两部影片上映前六天的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是______． ①影片甲的单日票房逐日增加； ②影片乙的单日票房逐日减少； ③在前六天的单日票房统计中，甲单日票房和乙单日票房之间的差值在1月26日达到最大． 【答案】（1）3.96 （2）3.30亿元 （3）②③ 【解析】 【分析】（1）先将1月22日—27日的6天时间内影片甲的单日票房数从小到大排列，再求中位数即可． （2）根据平均数的计算公式计算即可． （3）观察折线统计图可知①错误，②正确．再分别计算出1月22日—27日甲乙单日票房每日的差，即可判断③正确． 本题主要考查了折线统计图，中位数和平均数，正确读懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：将1月22日—27日的6天时间内影片甲的单日票房数从小到大排列为：3.69，3.70， 3.92，3.99，4.32，4.33． 中位数（亿元）． 故答案为： 3.96． 小问2详解】 1月22日—27日的6天时间内，影片乙的平均日票房为 （亿元）． 【小问3详解】 由图知：影片甲的单日票房数先减少，再增加，再逐日减少，故①错误； 由图知：影片乙的单日票房数逐日减少，故②正确． 在前6天的单日票房统计中，甲、乙单日票房每日的差为： 1月22日：（亿元）； 1月23日：（亿元）； 1月24日：（亿元）； 1月25日：（亿元）； 1月26日：（亿元）； 1月27日： （亿元）； ∴1月26日甲乙票房之间的差达最大值． 故③正确． 故答案为：②③． 21. 通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）______． （2）当时，求y与x的函数关系式． （3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由． 【答案】（1）20 （2） （3）能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、不等式组的实际应用： （1）根据描述可直接得出答案； （2）设双曲线解析式为，将C点坐标代入求出k值，进而求出点D、点A坐标，再利用待定系数法求y与x的函数关系式； （3）根据一次函数、反比例函数解析式列出不等式组，求出不等式组的解集，即可判断． 【小问1详解】 解：20分钟后注意力开始分散， ， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：由（1）可知，点C的坐标为， 设双曲线解析式为， 将代入，得：，解得， 将代入，得， 点A的坐标为， 由图可得点B的坐标为， 设时，求y与x的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， y与x的函数关系式为； 【小问3详解】 解：经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60． 理由如下： 由题意得：， 解得， ， 经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60． 22. 【问题呈现】如图是李老师在一节课中的例题内容． 已知：如图，在中，E、F是对角线上的两点，并且．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ，． ． 又， ． ． 结论应用】 如图①，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且，，连接、，请判断四边形的形状，并证明． 【拓展提升】 如图②，点G、H是正方形对角线上的两点，且，；E、F分别是、的中点，连接与相交于点O． （1）则四边形的形状为______； （2）若，则的面积为______． 【答案】【结论应用】见解析；【拓展提升】（1）矩形，（2） 【解析】 【分析】[结论应用]先证，则可得，进而可得，则∥，再结合，即可得四边形是平行四边形． [拓展提升] （1）先证四边形是平行四边形，再证，则可得四边形是矩形． （2）过E点作于M点．由（1）得，，，则可得．又由，可得，则可得．再求出的长，则可求出的面积． 【详解】［结论应用］ 解 ：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ， 又，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ［拓展提升］ （1）∵四边形是正方形， ，， ， ∵E、F分别是、的中点， ∴， 又， ， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，，且E、F分别是、的中点， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ， ， 又， ， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形 （2）过E点作于M点， 由（1）知， 又∵E点是的中点， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ， 由（1）四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，在▱ABCD中，AB＝15，BC＝27，AE⊥BC于点E，且BE＝9．点P从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点Q从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止，连结PQ．设点P运动的时间为t秒（t＞0）． （1）求AE的长； （2）分别求AQ和PE的长（用含t的代数式表示）； （3）当线段PQ最短时，求t的值； （4）在整个运动过程中，当以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【答案】（1）12；（2）当0＜t≤3时，PE＝BE﹣BP＝9﹣3t；当3＜t≤9时，PE＝BP﹣BE＝3t﹣9；AQ＝27﹣2t；（3）t＝；（4）t＝或9 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABE中，利用勾股定理可解； （2）利用时间乘以速度等于路程可解，其中AQ＝AD﹣DQ，PE的长需要分类讨论； （3）当PQ最短时，四边形AQPE为矩形，AQ＝PE进行求解； （4）需要分类讨论，点P在E点左侧还是右侧时，分别进行求解． 【详解】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝15，BE＝9， ； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝27， 当P点运动到点E时，，当点P运动到点C时，， ①当0＜t≤3时，PE＝BE﹣BP＝9﹣3t； ②当3＜t≤9时，PE＝BP﹣BE＝3t﹣9； AQ＝AD﹣DQ＝27﹣2t（0＜t≤9）， （3）当线段PQ最短时，四边形AQPE为矩形，AQ＝PE，此时t＞3， ∴3t﹣9＝27﹣2t， 解得t＝（s）， （4）以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形PEDQ为平行四边形时，0＜t≤3，PE＝DQ， ∴9﹣3t＝2t， 解得， ②当四边形EPDQ为平行四边形时，3＜t≤9，EP＝DQ， ∴3t﹣9＝2t， 解得t＝9， 综合上述，当t＝或9时，以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、勾股定理和动点问题，解题关键是能够分情况讨论PE关于t的表达式并能确定取值范围求解． 24. 如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B．过点且垂直于x轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设． （1）求直线的解析式和点B的坐标； （2）求的面积（用含n的代数式表示）； （3）当的面积为2时，以为边在第一象限作等腰直角三角形，求出点C的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据求解即可； （3）分以为腰和底边两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵直线：交y轴于点， ∴， ∴直线为， 当时，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴D的横坐标为1， 当时，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得， ∴， ①以为腰时， 当B为直角顶点时，如图，过点C作轴于点H， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点； 当P为直角顶点时，如图，过点C作于点G， ， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点； ②以为底时，如图，过点C作于点G，作轴于点H， 则，， ∴， ∴， ∴∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴点； 综上，符合题意的点C坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质等知识，正确进行分类讨论是解决第三问的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德惠市2023—2024学年度第二学期期末质量监测 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. 2024 B. 1 C. 0 D. 2. 分式方程有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了（纳米），已知，将用科学记数法可表示（ ）m．（    ） A. B. C. D. 4. 下列各点中，在的函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 5. 某市测得一周大气的的日均值（单位：微克/立方米）如下：32，35，32，33，30，33，32．对于这组数据下列说法正确的是（ ） A. 众数是30 B. 中位数是32 C. 平均数是33 D. 方差是35 6. 如图，把矩形沿对折，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高BH=( ) A. 4.6 B. 4.8 C. 5 D. 5.2 8. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点A、B的横坐标分别为2、6，则k的值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分式方程的解是：______． 10. 在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，当时，该物体所经过的路程为______米． 11. 小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 12. 已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________． 13. 如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B为第二象限的点，则点B的坐标为______． 三、解答题（共78分） 15 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 某毕业班班主任打算购买笔记本和书签作为毕业礼物送给学生已知书签的单价比笔记本的单价便宜元．且用元购买的书签的数量与用元购买的笔记本的数量一样．求笔记本和书签的单价． 18. 如图，在四边形中，，，为边上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 19. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．的顶点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图①中以为边作正方形； （2）在图②中以边作菱形（除正方形之外）； （3）在图③中以为对角线作平行四边形，且其面积为3． 20. 2023年新春伊始，中国电影行业迎来了期盼已久的火爆场面，《满江红》、《流浪地球2》、《无名》、《深海》等一大批电影深受到广大影迷的青睐．下面的统计图是其中两部电影上映后前六天的单日票房信息． 根据以上信息，回答下列问题： （1）1月22日—27日六天时间内，影片甲单日票房的中位数为______亿元（精确到0.01亿元）． （2）求1月22日—27日的六天时间内影片乙的平均日票房．（精确到0.01亿元） （3）对于甲、乙两部影片上映前六天的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是______． ①影片甲单日票房逐日增加； ②影片乙的单日票房逐日减少； ③在前六天的单日票房统计中，甲单日票房和乙单日票房之间的差值在1月26日达到最大． 21. 通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）______． （2）当时，求y与x的函数关系式． （3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由． 22. 【问题呈现】如图是李老师在一节课中的例题内容． 已知：如图，在中，E、F是对角线上的两点，并且．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ，． ． 又， ． ． 【结论应用】 如图①，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且，，连接、，请判断四边形的形状，并证明． 【拓展提升】 如图②，点G、H是正方形对角线上的两点，且，；E、F分别是、的中点，连接与相交于点O． （1）则四边形的形状为______； （2）若，则的面积为______． 23. 如图，在▱ABCD中，AB＝15，BC＝27，AE⊥BC于点E，且BE＝9．点P从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点Q从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止，连结PQ．设点P运动的时间为t秒（t＞0）． （1）求AE的长； （2）分别求AQ和PE的长（用含t的代数式表示）； （3）当线段PQ最短时，求t的值； （4）在整个运动过程中，当以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 24. 如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B．过点且垂直于x轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设． （1）求直线解析式和点B的坐标； （2）求的面积（用含n的代数式表示）； （3）当的面积为2时，以为边在第一象限作等腰直角三角形，求出点C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $