精品解析：湖北省荆州市江陵县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下学期期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1.本试卷共三大题，25小题；试卷满分132分，考试时间120分钟. 2.本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上.解题中的辅助线和标注角的字母、符号等务必添在答题卡的图形上. 3.在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答. 一、选择题（本大题10各小题，每题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，则x的值不可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　） A. 2，2，3 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 10，10，10 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一次函数的图象向上平移2个单位长度后所对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟个，方差分别是，你认为派哪一个同学去参赛更合适（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，蜂巢结构具有高度稳定性和力学强度，蜂巢形态呈六边形，这种形态还可以最大限度地节约材料，被广泛应用于建筑、交通、航空和医疗领域，下图是蜂巢的横截面正六边形，连接，则四边形为（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 正方形 D. 矩形 7. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 一次数学测试，甲、乙两班同学的成绩统计并分析如图所示，则下列说法正确的是（ ） 参加人数 平均数 中位数 方差 甲 50 85 83 5.1 乙 50 85 85 4.6 A. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B. 小明得84分将排在甲班的前25名 C. 甲，乙两班竞赛成绩的众数相同 D. 甲班的整体成绩比乙班好 9. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得之间的距离为，点之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在长方形中，动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若，则长方形的周长为（　　） A. 20 B. 18 C. 16 D. 24 二、填空题（本大题5各小题，每题3分，共15分） 11. 写出一个图象只经过第一、二、四象限的函数表达式______． 12. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，，，垂足为点E，若，则的长为________． 13. 已知P1（1，y1），P2（2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，则y1　 ___y2（填“＞”或“＜”）． 14. 体育课上，小明和小亮练习掷实心球，下面是两人7次练习成绩的折线统计图，则这两人中掷实心球成绩较稳定的是______．（填“小明”或“小亮”） 15. 如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、上，将纸片沿直线折叠，点落在的一点处，点落在点处．有以下三个结论： ①四边形是菱形； ②当时，平分； ③当点与点重合时，； 其中正确的结论有________（把所有正确结论的序号都写在横线上）． 三、解答题（本大题10各小题，共87分） 16. 计算：． 17. 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，．求CD的长． 18. 如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图像交于点P． （1）求出点P的坐标； （2）求两函数图像与y轴围成的图形面积． 19. 已知：直线l和l外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A． 作法：①在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C；②连接AB，分别以点A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D（点D在l的上方）；③作直线AD．所以直线AD即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接CD． ∵ AD=BC，DC=AB， ∴四边形ABCD是 ，（ ）（填推理依据）． ∴（ ）（填推理依据）． 即． 20. 《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？ 21. 在学校组织的科学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次为100分、90分、80分、70分．马老师将一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中二班成绩在80分及其以上的人数是______人； （2）求出下表中a，b，c的值； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 一班 87.6 b 90 106.2 二班 a 80 c 138.2 ______； ______； ______ （3）学校准备在这两个班中选一个班参加市级科学素养竞赛，你建议学校选哪个班参加？说说你的理由． 22. 如图，在中，，，分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，连接，若，，求的长． 23. 我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 24. 阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分. 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？ 问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来． 问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来 问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分． 问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式．     25. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．小腾根据学习函数的经验，对函数与进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）绘制函数图象 ①列表：下表是与，的几组对应值； … 0 1 … … 0 2 … … b 5 … 其中，b=________； ②描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数，的图象． （2）结合函数图象，探究函数性质 ①函数，的图象的交点坐标为______，则关于x，y的二元一次方程组的解是________； ②过点作垂直于x轴的直线与函数，的图象分别交于点P，Q，当点P位于点Q下方时，的取值范围是_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下学期期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1.本试卷共三大题，25小题；试卷满分132分，考试时间120分钟. 2.本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上.解题中的辅助线和标注角的字母、符号等务必添在答题卡的图形上. 3.在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答. 一、选择题（本大题10各小题，每题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，则x的值不可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 四个选项中，只有D选项不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握二次根式的被开方数是非负数． 2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　） A. 2，2，3 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 10，10，10 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理运算判断． 【详解】解：A、22+22≠32，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； B、42+52≠72，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； C、52+122=132，故该三条线段能组成直角三角形，故该项符合题意； D、102+102≠102，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理的计算方法：两条较小线段的平方和等于较长线段的平方，则该三角形即为直角三角形是解题的关键． 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误； B、，原式计算错误； C、，原式计算错误； D、，正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 将一次函数的图象向上平移2个单位长度后所对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用一次函数平移规律，“左加右减”进而得出即可． 【详解】解：将函数的图象向上平移2个单位长度后， 所得图象对应的函数关系式为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 5. 八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟个，方差分别是，你认为派哪一个同学去参赛更合适（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差越小，成绩越稳定，进行判断即可． 【详解】∵甲、乙、丙、丁四位同学的平均成绩相同，方差分别是， ∴方差最小的为丁， ∴派丁同学去参赛更合适． 故选：D． 【点睛】本题考查利用方差作决策．熟练掌握方差越小，成绩越稳定是解题的关键． 6. 蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，蜂巢结构具有高度稳定性和力学强度，蜂巢形态呈六边形，这种形态还可以最大限度地节约材料，被广泛应用于建筑、交通、航空和医疗领域，下图是蜂巢的横截面正六边形，连接，则四边形为（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 正方形 D. 矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正六边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵多边形是正六边形， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，正六边形的性质，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 7. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． 根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可． 【详解】解：把点代入与得， ， ， ， 直线与相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 8. 一次数学测试，甲、乙两班同学的成绩统计并分析如图所示，则下列说法正确的是（ ） 参加人数 平均数 中位数 方差 甲 50 85 83 5.1 乙 50 85 85 4.6 A. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B. 小明得84分将排在甲班的前25名 C. 甲，乙两班竞赛成绩的众数相同 D. 甲班的整体成绩比乙班好 【答案】B 【解析】 【分析】数据分析中的方差越小，成绩越稳定；由中位数判断成绩排名；整体成绩需要参考各项分析数据方可得出结论． 【详解】解：A选项，甲班方差大于乙班方差，所以乙班成绩稳定，A错误； B选项，甲班中位数是83，共50人参加，，排名在25名之前，B正确； C选项，数据分析中未给出众数的相关信息，C无法判断，不选； D选项，甲、乙两班平均数相等，甲班中位数小于乙班中位数，且甲班方差大于乙班方差，乙班成绩更加稳定，因此甲班整体成绩不如乙班好，D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查数据整理和分析，掌握平均数、中位数、众数、方差的含义是解题的关键，易错点是方差越小越稳定． 9. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得之间的距离为，点之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据菱形的判定可得四边形ABCD是菱形，再根据菱形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】如图，连接AC、BD，交于点O，过点B作于点E，过点D作于点F，则， 由题意得：， 四边形ABCD是平行四边形， 在和中，， ， ， 平行四边形ABCD是菱形， ， 则在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 10. 如图，在长方形中，动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若，则长方形的周长为（　　） A. 20 B. 18 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象、结合图形可知，，所以，根据，，得，求出的值即可得出答案． 【详解】解：根据图2的点，可知， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴长方形的周长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键． 二、填空题（本大题5各小题，每题3分，共15分） 11. 写出一个图象只经过第一、二、四象限的函数表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数解析式中k与b与函数图象的关系是解题的关键． 根据图象经过第一、二、四象限的一次函数，得，代入符合条件的数即可． 【详解】解：设经过第一、二、四象限的一次函数为， 则由题意得：， ∴取， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，，，垂足为点E，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质及题意可得，从而证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质及垂直的定义可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】四边形为矩形 ， 为等边三角形 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 13. 已知P1（1，y1），P2（2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，则y1　 ___y2（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：∵k=-3＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵1＜2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 14. 体育课上，小明和小亮练习掷实心球，下面是两人7次练习成绩的折线统计图，则这两人中掷实心球成绩较稳定的是______．（填“小明”或“小亮”） 【答案】小亮 【解析】 【分析】根据折线统计图的形状来判定即可． 【详解】解：通过折线统计图可以看出，小明的成绩折线上下浮动很大，小亮的折线图上下浮动较小，所以成绩较稳定的是小亮． 故答案为：小亮． 【点睛】考查统计折线图，关键要掌握折线图的特点，能根据折线图分析理解其中的数据变化情况，进而解答题目． 15. 如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、上，将纸片沿直线折叠，点落在的一点处，点落在点处．有以下三个结论： ①四边形是菱形； ②当时，平分； ③当点与点重合时，； 其中正确的结论有________（把所有正确结论的序号都写在横线上）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；当时，求出，根据菱形的性质，得到平分，判断出②正确；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的值，判断出③正确．本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故①正确； ∴，， ∵四边形是菱形 ∴ ∵ 平分，故②正确； 点与点重合时，设，则， 在中，， 即， 解得， ，故③正确； 综上所述，结论正确的有①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题10各小题，共87分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，．求CD的长． 【答案】3 【解析】 【分析】求出∠ABD=30°，得到AD=AB=，利用勾股定理求出BD，再根据2CD2=BD2，得到2CD2=18，即可求出CD． 【详解】解：∵∠ADB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABD=30°， ∴AD=AB=． ∴BD=， ∵BC＝CD，∠C＝90°， ∴CD=CB， ∴2CD2=BD2， ∴2CD2=18， ∴CD=3． 【点睛】此题考查了勾股定理，直角三角形中30°角的性质，正确掌握勾股定理的计算方法是解题的关键． 18. 如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图像交于点P． （1）求出点P的坐标； （2）求两函数图像与y轴围成的图形面积． 【答案】（1）（﹣2，﹣5） （2）2 【解析】 【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组可求两函数图象交点P的坐标； （2）求得两直线与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得． 【小问1详解】 解：联立， 解得， ∴P点坐标为（﹣2，﹣5）． 【小问2详解】 当x=0时，y＝2x﹣1=-1，y＝x﹣3=-3， ∴两条直线与y轴的交点分别为（0，﹣1），（0，﹣3）， ∴两函数图象与y轴围成的图形面积为：×2＝2． 【点睛】本题考查了两条直线的交点，求两函数图象的交点坐标，联立两函数解析式，解方程组即可；也考查了求三角形面积． 19. 已知：直线l和l外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A． 作法：①在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C；②连接AB，分别以点A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D（点D在l的上方）；③作直线AD．所以直线AD即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接CD． ∵ AD=BC，DC=AB， ∴四边形ABCD是 ，（ ）（填推理依据）． ∴（ ）（填推理依据）． 即． 【答案】（1） 如图， （2）平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行 【解析】 【分析】（1）按题中作法过程画出图形即可； （2）根据平行四边形的判定（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）和性质（平行四边形的对边平行）填写即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形，熟练掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形、平行四边形的对边平行的解题的关键． 20. 《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？ 【答案】绳索长为尺 【解析】 【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长． 【详解】设绳索长为x尺 ∴根据题意得： 解得． ∴绳索长为尺． 【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题． 21. 在学校组织的科学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次为100分、90分、80分、70分．马老师将一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中二班成绩在80分及其以上的人数是______人； （2）求出下表中a，b，c的值； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 一班 87.6 b 90 106.2 二班 a 80 c 138.2 ______； ______； ______ （3）学校准备在这两个班中选一个班参加市级科学素养竞赛，你建议学校选哪个班参加？说说你的理由． 【答案】（1）21 （2），，； （3）一班，理由如下 【解析】 【分析】（1）根据题意和扇形统计图中的数据，表格中的数据，可以计算出此次竞赛中二班成绩在80分及其以上的人数； （2）根据题意和表格中的数据，可以计算出、、的值； （3）根据表格中的数据，可以得到选择哪一个班参加，本题答案不唯一，只要合理即可． 本题考查方差、加权平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【小问1详解】 解：此次竞赛中二班成绩在80分及其以上的人数是：（人）， 故答案为：21； 【小问2详解】 解：由一班竞赛成绩统计图可知， ∵成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次为100分、90分、80分、70分 ∴排在中间位置是B等级 ∴， 二班参加的总人数和一班一样多，二班参加的人数是：， ， ， 即，，； 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：选择一班参加， 理由：由表格可知，两个班的平均数相同，但一班的中位数高于二班，并且一班的方差小于二班，学生成绩发挥比较稳定，故选择一班． 22. 如图，在中，，，分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵，． 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 点是的中点， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 四边形是菱形，， ，， ，分别是，的中点， ， ， 又， ， ． 23. 我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；（2）购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元． 【解析】 【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可得答案； （2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，根据甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的可得m的取值范围，根据需甲、乙两种奖品共60件可得购买乙种奖品为（60-m）件，根据（1）中所求单价可得w与m的关系式，根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元， ∵1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元， ∴， 解得：， 答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元． （2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件， ∵需甲、乙两种奖品共60件， ∴购买乙种奖品为（60-m）件， ∵甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元， ∴w=20m+10（60-m）=10m+600， ∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的， ∴m≥（60-m）， ∴20≤m≤60， ∵10>0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=20时，w有最小值，最小值为10×20+600=800（元）， ∴购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确得出等量关系及不等关系列出方程组及不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 24. 阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分. 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？ 问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来． 问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来 问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分． 问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式．     【答案】 问题1：如图直线平分平行四边形的面积： 问题2：如图直线平分图8的面积； 问题3：如图直线平分整个图形的面积 问题4：见详解， 【解析】 【分析】问题1：设平行四边形对角线交于，过作直线即可； 问题2：通过平分平行四边形的面积，可知过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积，过圆心作直线即可平分图8的面积； 问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，，作直线即可平分整个图形的面积； 问题4：如图作直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分；用待定系数法可得该直线的表达式为． 本题考查一次函数的应用，涉及平分图形的面积，解题的关键是掌握过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积． 【详解】解：问题1：略 问题2：略 问题3：略 问题4：如图： ， 直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分； 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， 该直线的表达式为． 25. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．小腾根据学习函数的经验，对函数与进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）绘制函数图象 ①列表：下表是与，的几组对应值； … 0 1 … … 0 2 … … b 5 … 其中，b=________； ②描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数，的图象． （2）结合函数图象，探究函数性质 ①函数，的图象的交点坐标为______，则关于x，y的二元一次方程组的解是________； ②过点作垂直于x轴的直线与函数，的图象分别交于点P，Q，当点P位于点Q下方时，的取值范围是_________． 【答案】（1）①6； ②画出函数，的图象如下图； （2）①，；②． 【解析】 【分析】（1）①依据题意，通过解析式代入可以得解； ②依据题意，结合①可以得解； （2）①借助图象可得交点坐标，再结合方程组的解即对应交点坐标，进而得解； ②依据题意画出图象分析即可得解； 【小问1详解】 ①当时， 故； ②略 【小问2详解】 ①由（1）中图像可知：函数，的图象的交点坐标为 则方程组的解为： 故答案为：， ②如图：显然在A左侧时点P位于点Q下方， 又 故答案为 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质及一次函数与二元一次方程，解题时要熟练掌握并理解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $