4.5.3 函数的应用（二）（2知识点+4题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

4.5.3函数的应用（二） 明确学习目标 课标要求 1.能利用已知函数模型求解实际问题． 2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题． 重点难点 1.能利用已知函数模型求解实际问题． 2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 常见函数模型 1.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 分段函数模型 2.函数模型解析式的方法 (1)待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数的模型，这种情况下，运用待定系数法求出解析式中的相关参数，就可以确定函数的解析式． (2)归纳法：先给自变量一些特殊值，计算出相应函数值，从中发现规律，在推广到一般情形，从而得到函数的解析式． (3)方程法：用表示自变量或其他相关量，根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理的方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上与列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数的解析式就是关于的方程． 3.用函数模型求解应用问题的步骤 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模——求解数学模型，得出数学模型． (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 知识点2 拟合函数模型的建立 1.数学建模：研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模． 2.函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）． 3.函数拟合与预测的一般步骤 (1)绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； (2)连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； (3)列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； (4)判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； (5)预测：利用选取的拟合函数进行预测； (6)结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 提升学科能力 题型一 指数函数模型 例1．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（    ） A．10分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟 【答案】B 【分析】由时，，代入求得，再由求解. 【详解】解：由题意得：当时，， 即，解得， 所以， 由题意得， 即，两边取对数得， 所以， 所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟， 故选：B 跟踪训练1 1．假设有机体生存吋碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（    ） A．10550年 B．7550年 C．8550年 D．9550年 【答案】D 【分析】根据已知指数函数模型列方程组求得，推测此古生物的死亡时间为年，再列方程求得（利用对数的运算）． 【详解】由已知，解得，即， 推测此古生物的死亡时间为年，则，， 所以，． 故选：D． 2．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（    ）（参考数据：） A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h 【答案】C 【分析】根据所给模型解不等式即得． 【详解】由题意，，，， 故选：C． 3．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量(单位：毫克/升)不断减少，已知与时间(单位：小时)满足，其中为时的污染物数量．又测得当时，污染物数量的变化率是，则 毫克/升． 【答案】 【分析】由时，污染物数量的变化率是可求出，从而可求出函数解析式，然后将代入可求得答案 【详解】因为当时，污染物数量的变化率是， 所以，解得， 所以， 所以 (毫克/升)． 故答案为： 题型二 对数函数模型 例2．大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为（    ） A．900 B．1200 C．2700 D．8100 【答案】C 【分析】首先根据条件求，再代入求的值. 【详解】由题意可得，解得，所以. 令，解得，所以游速为时耗氧量的单位数为2700， 故选C. 跟踪训练2 1．天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（　　） （注：当较小时，） A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27 【答案】C 【分析】根据题意可得，求出即可得解. 【详解】根据题意可得，所以，解得， 根据参考公式可得， 故与最接近的是1.26． 故选：C. 2．里氏震级是由来自美国加州理工学院的地震学家里克特（C．F.Richter）和古登堡（B．Gutenberg）于1935年提出的．里氏震级M的计算公式是，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6.0级地震给人的震撼已十分强烈．按照里氏震级M的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6.0级地震最大振幅的 倍． 【答案】1000 【分析】结合已知条件，利用对数运算以及指数和对数的互化即可求解. 【详解】， ，所以， 所以． 故答案为：1000. 3．声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 【答案】(1)30（分贝） (2) (3) 【分析】（1）令，代入求出声音强度； （2）根据题意，得到，解出； （3）令，，解得即可 【详解】（1）当时，代入公式，可得（分贝）． （2）噪音的强度大于60分贝，代入公式可得， 解得． 故噪音的能量范围为． （3）人在100分贝至120分贝的空间内会暂时失聪．令， 解得，令，解得， 所以当能量达到时会暂时失聪． 题型三 根据实际问题增长率选择模型 例3．有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数据判断函数的增长速度选择函数模型. 【详解】，，，， 通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快， AC选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B正确. 故选：B. 跟踪训练3 1．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/100kg）与上市时间（单位：天）的数据如下表： 时间 60 100 180 种植成本 116 84 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系.，，，.利用你选取的函数，求得西红柿种植成本最低时的上市天数是（   ） A．120 B．100 C．110 D．118 【答案】A 【分析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数进行描述，将表格所提供的三组数据代入，即得函数解析式，进而求解. 【详解】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，所以函数不单调， 所以选取，且开口向上， 将表格中的三组数据分别代入， 得解得 即，对称轴，开口向上， 在对称轴处即120天时函数取最小值. 西红柿种植成本最低时的上市天数是120天. 故选：A. 2．今有一组实验数据及对应散点图如下所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（    ） 10 20 29 41 50 58 70 1 2 3.8 7.4 11 15 21.8 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图的变化趋势及散点的分布情况判断回归方程的类型. 【详解】由散点图中各点的变化趋势：非线性、且在第一象限内上单调递增， 对于，由题意可得： 10 20 29 41 50 58 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.57 可知，近似于线性，所以适合二次函数模型. 故选：C 3．2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、指对数函数的增长趋势判断是否可以描述变化规律即可. 【详解】由图知：电影放映场次逐年递增，且增速有变快的趋势， 函数、、均可以描述变化规律， 而可以描述逐年递增，但增速有变慢的趋势，故不能描述变化规律. 故选：D 题型四 建立合适的拟合函数模 例4．数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 月收入（万元） 1.4 2.56 5.31 11 21.3 根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择. (1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； (2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，） 【答案】(1)用函数这一模型较好，理由见解析 (2)大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元 【分析】（1）由题意，描点并和函数图象比较，可得答案； （2）解法一：根据题意建立不等式，利用对数运算即可；解法二：指数函数的单调性试根. 【详解】（1）对已知数据进行描点： 由图可知点，，，，基本上是落在函数的图像的附近， 因此用函数这一模型较好 （2）解法一：当时，即，∴，即， ∴， 故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元. 解法二：当时，即，∵，， 故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元 跟踪训练4 1．由于惯性作用，行驶中的汽车在刹车后要滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．下表是对某种型号汽车刹车性能的测试数据． 刹车时车速 15 30 40 50 60 80 刹车距离 1.23 6.20 11.5 17.80 25.20 44.40 (1)试选择合适的函数模型拟合测试数据，并写出函数解析式； (2)若车速为，刹车距离为多少？若测得刹车距离为，刹车时的车速是多少？（可以使用计算器辅助计算） 【答案】(1)选择二次函数模型， (2)， 【分析】（1）选择二次函数模型，结合图象经过点，再代入两个点，求出答案； （2）在（1）的基础上，代入求值即可. 【详解】（1）选择二次函数模型，显然函数图象经过点，再近似地选取两个点和， 设二次函数为， 故，解得， 可求得； （注：本题选取的点不同，所得到的函数解析式和下面所得的结果均可能不同．） （2）当时，； 当时，有，解得（负舍）． 2．国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第x天的指导价为每件（元），且满足，第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第x天 1 2 5 10 Q(x)（万件） 14.01 12 10.8 10.38 (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数. 请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 【答案】(1)选择模型②， (2)，4 【分析】（1）根据数据的变化得到选择模型②，并选择中间两组数据，待定系数法求出，检验后得到答案； （2）求出的解析式，分和两种情况，结合函数单调性求出最小值，比较后得到结论. 【详解】（1）由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数， 又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②， 观察表格中的4组数据， 从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据， 即，解得， 可以检验相对合理， 从而； （2）由（1）可得 ， 当时，由基本不等式得， 当且仅当时取到最小值， 当时，， 由单调性的性质可得在上单调递减， 故在时，有最小值，最小值为万元， 又， 综上所述，当时取得最小值. 3．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含）.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，. (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)选择, (2)当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 【分析】（1）结合模型函数的定义域，单调性，利用排除法可以选出结果； （2）结合（1）中所求出的关系式，利用二次函数，对勾函数性质，分别求出每一段路线耗电量的最小值即可. 【详解】（1）对于，当时，它无意义，所以不合题意； 对于，它显然是个减函数，这与矛盾； 故选择. 根据提供的数据，有 ，解得，当时，. （2）国道路段长为，所用时间为， 所耗电量为 ，因为，当时，； 高速路段长为，所用时间为， 所耗电量为， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以； 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 质量检测评价 一、单选题 1．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据半衰期是5730年，可解得年衰变率. 【详解】设年衰变率为，放射性元素在时的原子核总数为 由题意可得：经过一年原子核总数衰变为，经过5730年原子核总数衰变为， 所以，所以，； 故选：C 2．声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可计算出、，而后代入计算即可得. 【详解】由题意可得，故， 则当时，有， 解得. 故选：B. 3．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（取：）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可. 【详解】 的物块经过后的温度， 的物块经过后的温度. 要使得两块物体的温度之差不超过，则， 即，解得. 故选：A. 4．在一次物理实验中，某同学采集到如下一组数据： x 0.5 0.99 2.01 3.98 y ﹣0.99 0.01 0.98 2.00 在四个函数模型中，最能反映，函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所给数据代入各函数求值判断即可. 【详解】对于A，当时，，与表格相差过大，故排除， 对于B，当时，，与表格相差过大，故排除， 对于C，当时，，与表格相差过大，故排除， 对于D，由对数函数性质知，表格里的数与上的点相差较小，故正确. 故选：D 5．已知火箭的最大速度（单位:km/s）和燃料质量M（单位:kg）、火箭质量（单位:kg）的关系是.若火箭的最大速度为9240 km/s，则≈（　　）（参考数值: ） A． B． C．10 D．100 【答案】D 【分析】根据已知数据和公式直接求解即可 【详解】由题意得，则， 所以，得， 故选：D 6．某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（    ）（附：） 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 A．924万元 B．976万元 C．1109万元 D．1231万元 【答案】C 【分析】观察表格中数据，越往后的年份的产值比上一年增加的越多，由此可结合函数的性质确定最符合实际的函数模型，再代入数值计算，即得答案. 【详解】由表中数据可知该企业年产值（万元）随着新政策实施年数（年）的增加而增加， 结合2012年比2011年增加31万元，2021年比2020年增加82万元， 可知越往后的年份比上一年增加的产值越多，即y的增长速度越来越快， 结合三种函数模型：，（，且），（，且）， 可知（，且）为最符合实际的函数模型； 则，故， 故预测该企业2024年的年产值约为，则（万元）， 即预测该企业2024年的年产值约为1109万元， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据表中数据分析数据的增加趋势，即函数值的增加速度越来越快，从而确定最符合实际的函数模型，还要注意选择接近于2024年的产值去计算，更为精确一些. 二、多选题 7．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14的含量为y（把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位），则下列叙述正确的是（    ） A．函数解析式为， B．碳14的年衰减率为 C．经过九个“半衰期”后，碳14的含量不足死亡前的千分之一 D．在2010年，某遗址检测出碳14的残留量为，则该遗址大概是公元前2903年建成的 【答案】AD 【分析】根据半衰期的定义可直接得出函数解析式及衰减率，将相应的数据代入解析式即可求解. 【详解】依题意， 对于A：因为机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减， 大约每经过5730年衰减为原来的一半， 所以年后体内的碳14应为原来的， 所以函数解析式为，， 所以A选项正确； 对于B：设每年的衰减率为，原来的碳14含量为， 则有， ，解得， 所以B选项错误； 对于C：经过九个“半衰期”后，， 所以C选项错误； 对于D：因为碳14的残留量为， 所以，即， 解得，由， 可知则该遗址大概是公元前2903年建成的，所以D选项正确； 故选：AD. 8．（多选）根据三个函数，，，以下四个选项正确的是（　　） A．的增长速度始终不变 B．的增长速度越来越快 C．的增长速度越来越快 D．的增长速度越来越慢 【答案】ACD 【分析】运用数形结合的思想画出三个函数即可判断三个函数增长速度快慢. 【详解】   由图可知A、C、D正确． 故选：ACD. 9．图，某池塘里的浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系式为（且，）.则下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月增加的面积都相等 B．浮萍面积每月的增长率均为100% C．浮萍面积从蔓延到只需经过5个月 D．若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则 【答案】BCD 【分析】由函数过点和点可求出函数关系式，再根据解析式逐一判断各选项得答案． 【详解】由题意可知，函数过点和点，代入函数关系式：，且；，且， 得，解得， 函数关系式为． 由不是常数，可知浮萍每个月增加的面积不等，且，故浮萍面积每个月是上个月的2倍，每月的增长率为100%，故A错误，B正确； 令时，，令时，得：；所以C正确， 令得：；令得：；令得：， ，故D正确． 故选：BCD 三、填空题 10．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时． 【答案】24 【分析】结合题意可得，计算即可得，则将代入计算即可得. 【详解】由题意得，即， 所以该食品在的保鲜时间是： ． 故答案为：24. 11．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为 ．（参考数据：，） 【答案】6 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 故答案为：6. 12．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①，②，③ (其中为正常数，且).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选 作为模拟函数(填序号)；若，则所选函数的解析式为 ． 【答案】 ③ 【分析】根据该同学的成绩变化选定函数模型，然后根据已知条件求得解析式. 【详解】由于指数函数增长迅速，而对数型函数增长缓慢， 因此满足先上升后下降再上升的是， ∵，且， ∴，解得， ∴. 故答案为：③； 四、解答题 13．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18 m2，经过3个月其覆盖面积约为27 m2. 现水葫芦覆盖面积y（单位:m2）与经过个月的关系有两个函数模型与可供选择.（参考数据:lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1） (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式; (2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍? 【答案】(1)； (2)约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍. 【分析】（1）根据函数的增长速度的不同来选择函数模型,用待定系数法求出函数解析式； （2）根据题目列出指数不等式求解即可. 【详解】（1）∵的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢， ∴依题意应选函数， 则  解得， 故； （2）由（1）知，当时，， 设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍，则， 则， 故， ∵x∈N+，故. 即约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍. 14．某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 4 浮萍的面积 3 5 9 17 现有以下两种函数模型可供选择：①，②，其中，，，，均为常数，且． (1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式； (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，写出一种，，满足的等量关系式，并说明理由． 【答案】(1)应选择函数模型②， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据给定数据，选出函数模型并取3组数建立方程组求解即得. （2）利用（1）中函数模型，代入计算判断即得. 【详解】（1）由表中数据知，时间每增加1个月，浮萍的面积增加量逐渐变大，而函数模型①成线性关系， 因此应选择函数模型②， 当依次取1，2，3得，解得，即，当时，，符合题意， 所以关于的函数解析式为． （2）由（1）知，，则有，理出如下： 依题意，得，，， 即，，，于是， 则， 所以． 15．物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃（），则分钟后物体的温度满足（为常数）.实验测算，当时满足. (1)求的值； (2)茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面．经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚彻出来时茶水温度为75℃，等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳．已知空气温度为25℃，则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果保留一位小数，参考数值：，，） 【答案】(1) (2)8.6分钟 【分析】（1）将代入和即可求解； （2）根据题意，得到，，，代入函数的解析式，结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知， ①÷②，得，即， 所以； （2）设刚沏出来的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感， 由题意可知，，，， 所以，即， 所以， 所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6分钟才能达到最佳饮用口感． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5.3函数的应用（二） 明确学习目标 课标要求 1.能利用已知函数模型求解实际问题． 2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题． 重点难点 1.能利用已知函数模型求解实际问题． 2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 常见函数模型 1.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 分段函数模型 2.函数模型解析式的方法 (1)待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数的模型，这种情况下，运用待定系数法求出解析式中的相关参数，就可以确定函数的解析式． (2)归纳法：先给自变量一些特殊值，计算出相应函数值，从中发现规律，在推广到一般情形，从而得到函数的解析式． (3)方程法：用表示自变量或其他相关量，根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理的方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上与列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数的解析式就是关于的方程． 3.用函数模型求解应用问题的步骤 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模——求解数学模型，得出数学模型． (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 知识点2 拟合函数模型的建立 1.数学建模：研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模． 2.函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）． 3.函数拟合与预测的一般步骤 (1)绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； (2)连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； (3)列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； (4)判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； (5)预测：利用选取的拟合函数进行预测； (6)结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 提升学科能力 题型一 指数函数模型 例1．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（    ） A．10分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟 跟踪训练1 1．假设有机体生存吋碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（    ） A．10550年 B．7550年 C．8550年 D．9550年 2．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（    ）（参考数据：） A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h 3．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量(单位：毫克/升)不断减少，已知与时间(单位：小时)满足，其中为时的污染物数量．又测得当时，污染物数量的变化率是，则 毫克/升． 题型二 对数函数模型 例2．大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为（    ） A．900 B．1200 C．2700 D．8100 跟踪训练2 1．天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（　　） （注：当较小时，） A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27 2．里氏震级是由来自美国加州理工学院的地震学家里克特（C．F.Richter）和古登堡（B．Gutenberg）于1935年提出的．里氏震级M的计算公式是，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6.0级地震给人的震撼已十分强烈．按照里氏震级M的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6.0级地震最大振幅的 倍． 3．声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 题型三 根据实际问题增长率选择模型 例3．有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 跟踪训练3 1．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/100kg）与上市时间（单位：天）的数据如下表： 时间 60 100 180 种植成本 116 84 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系.，，，.利用你选取的函数，求得西红柿种植成本最低时的上市天数是（   ） A．120 B．100 C．110 D．118 2．今有一组实验数据及对应散点图如下所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（    ） 10 20 29 41 50 58 70 1 2 3.8 7.4 11 15 21.8 A． B． C． D． 3．2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（    ）    A． B． C． D． 题型四 建立合适的拟合函数模 例4．数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 月收入（万元） 1.4 2.56 5.31 11 21.3 根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择. (1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； (2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，） 跟踪训练4 1．由于惯性作用，行驶中的汽车在刹车后要滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．下表是对某种型号汽车刹车性能的测试数据． 刹车时车速 15 30 40 50 60 80 刹车距离 1.23 6.20 11.5 17.80 25.20 44.40 (1)试选择合适的函数模型拟合测试数据，并写出函数解析式； (2)若车速为，刹车距离为多少？若测得刹车距离为，刹车时的车速是多少？（可以使用计算器辅助计算） 2．国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第x天的指导价为每件（元），且满足，第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第x天 1 2 5 10 Q(x)（万件） 14.01 12 10.8 10.38 (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数. 请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 3．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含）.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，. (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 质量检测评价 一、单选题 1．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（   ） A． B． C． D． 2．声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（    ） A． B． C． D． 3．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（取：）（   ） A． B． C． D． 4．在一次物理实验中，某同学采集到如下一组数据： x 0.5 0.99 2.01 3.98 y ﹣0.99 0.01 0.98 2.00 在四个函数模型中，最能反映，函数关系的是（　　） A． B． C． D． 5．已知火箭的最大速度（单位:km/s）和燃料质量M（单位:kg）、火箭质量（单位:kg）的关系是.若火箭的最大速度为9240 km/s，则≈（　　）（参考数值: ） A． B． C．10 D．100 6．某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（    ）（附：） 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 A．924万元 B．976万元 C．1109万元 D．1231万元 二、多选题 7．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14的含量为y（把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位），则下列叙述正确的是（    ） A．函数解析式为， B．碳14的年衰减率为 C．经过九个“半衰期”后，碳14的含量不足死亡前的千分之一 D．在2010年，某遗址检测出碳14的残留量为，则该遗址大概是公元前2903年建成的 8．（多选）根据三个函数，，，以下四个选项正确的是（　　） A．的增长速度始终不变 B．的增长速度越来越快 C．的增长速度越来越快 D．的增长速度越来越慢 9．图，某池塘里的浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系式为（且，）.则下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月增加的面积都相等 B．浮萍面积每月的增长率均为100% C．浮萍面积从蔓延到只需经过5个月 D．若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则 三、填空题 10．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时． 11．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为 ．（参考数据：，） 12．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①，②，③ (其中为正常数，且).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选 作为模拟函数(填序号)；若，则所选函数的解析式为 ． 四、解答题 13．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18 m2，经过3个月其覆盖面积约为27 m2. 现水葫芦覆盖面积y（单位:m2）与经过个月的关系有两个函数模型与可供选择.（参考数据:lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1） (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式; (2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍? 14．某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 4 浮萍的面积 3 5 9 17 现有以下两种函数模型可供选择：①，②，其中，，，，均为常数，且． (1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式； (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，写出一种，，满足的等量关系式，并说明理由． 15．物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃（），则分钟后物体的温度满足（为常数）.实验测算，当时满足. (1)求的值； (2)茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面．经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚彻出来时茶水温度为75℃，等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳．已知空气温度为25℃，则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果保留一位小数，参考数值：，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$