精品解析：安徽省亳州市蒙城县第八中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年度高一数学考试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知是两个单位向量，且，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ） A. 若，，那么 B. 若，，那么 C. 若，，那么 D. 若，，那么 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物在它们之间的地面上的点三点共线）处测得楼顶､楼顶的仰角分别是和在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象，则（ ） A. B. C. 点是图象的一个对称中心 D. 的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数 10. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 11. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 角的终边经过点，则的值为__________． 13. 已知向量，，则在上的投影向量为____． 14. 下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，，且，． （1）求和； （2）若，，求向量和向量的夹角的大小． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及最值； （2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 18. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：‖平面； （2）上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 已知向量，． （1）当时，求x的值； （2）当时，求的值； （3）求在上的单调递减区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度高一数学考试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二倍角公式即可求出． 【详解】． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，属于容易题． 3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，不可以作为基底，A错误； 对于B，，共线，不可以作为基底，B错误； 对于C，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确； 对于D，，共线，不可以作为基底，D错误. 故选：C. 4. 已知是两个单位向量，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，再求，则即可求. 【详解】已知是两个单位向量，， 若，则， ， 故. 故选：B 5. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法还原图形，根据梯形的面积计算，可得答案. 【详解】由斜二测画法还原图形可得下图： 则，，，，， 所以梯形的面积为. 故选：C. 6. 若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ） A. 若，，那么 B. 若，，那么 C. 若，，那么 D. 若，，那么 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的性质，线面平行的性质和判定定理逐一判断即可. 【详解】当，时，可以相交，故选项A不正确； 当，时，，可以是异面直线，因此选项B不正确； 当，时，存在这一情况，所以选项C不正确； 根据面面平行的性质可知选项D正确， 故选：D 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 8. 黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物在它们之间的地面上的点三点共线）处测得楼顶､楼顶的仰角分别是和在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别在，及应用正弦定理求解. 【详解】在中，则 在中，因为， 所以 因为，所以，故. 故选：C. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象，则（ ） A. B. C. 点是图象的一个对称中心 D. 的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据图象得到最小正周期，从而求出；B选项，代入，求出；C选项，得到函数解析式，求出，故C正确；D选项，求出平移后的解析式，利用函数奇偶性定义得到答案. 【详解】A选项，由图象可得到函数最小正周期，故， 因为，所以，解得，A正确； B选项，将代入解析式得， 因为，解得，B错误； C选项，，故， 故点是图象的一个对称中心，C正确； D选项，的图象向左平移个单位后得到， 因为的定义域为R，且， 故为偶函数，D正确. 故选：ACD 10. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，利用与直线平行的直线和平面相交，可得直线AB与平面MNQ不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和平行的直线平行平面，可得平面；对于D，利用和平行的直线平行平面，可得平面. 【详解】对于A，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交，即直线与平面不平行； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于D，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 11. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可判断AB选项，再根据向量夹角公式可判断C选项，结合向量垂直的坐标表示及基本不等式可判断D选项. 【详解】由，， A选项：， 则，解得，则，， 所以不存在，使，即，不共线，A选项错误； B选项：，则，解得， 即，，， 所以与同向的单位向量为，B选项正确； C选项：时，， 又与的夹角为锐角， 则，解得，且， 即，C选项错误； D选项：由，得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，D选项正确； 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 角的终边经过点，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由终边上的点求角的正余弦值，即可得答案. 【详解】由题设， 所以. 故答案为： 13. 已知向量，，则在上的投影向量为____． 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的定义及向量夹角的坐标运算求在上的投影向量. 【详解】由在上的投影向量为，而， 所以. 故答案为：. 14. 下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由正方体、正四面体的结构特征，结合点线、线线位置关系判断四点是否共面. 【详解】图①：，，故，即四点共面，满足； 图②：，若为中点，则，故，即共面， 而，，故，即共面， 且三点不共线，故共面，满足； 图③：由题设，，故，则共面，满足； 图④：若为中点，则，故，即共面， 而面，面，则面， 又，且三点不共线，故面即为面，故面，即不共面，不满足； 故答案为：①②③ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，，且，． （1）求和； （2）若，，求向量和向量的夹角的大小． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）由列方程可求出，再由列方程可求出，从而可求出和； （2）先求出向量和向量的坐标，再利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 故，； 【小问2详解】 ，， 设向量和向量的夹角为， 则， 因为，所以， 即向量和向量的夹角的大小为． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及最值； （2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】（1），最大值为，最小值为 （2）偶函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简得到，再利用周期公式和三角函数性质求最值得到答案. （2）代入计算得到，再根据奇偶函数的定义判断奇偶性. 【小问1详解】 ， 故， 当，即时，函数有最大值为； 当，即时，函数有最小值为. 【小问2详解】 ， ，函数为偶函数. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 18. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：‖平面； （2）上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接交于，连接． 正方体，底面为正方形，， 为的中点，又为的中点， 是的中位线，‖， 又平面，平面， ‖平面． （2）存在，点为的中点 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，则由三角形的中位线定理得‖，再由线面平行的判定理可证得结论； （2）当点为的中点时，即满足平面‖平面，连接，，可证得‖平面，由（1）知‖平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当点为的中点时，即满足平面‖平面，理由如下： 连接，， 为的中点，为的中点，‖，， 四边形为平行四边形，‖， 又平面，平面， ‖平面． 由（1）知‖平面， 又，，平面， 平面‖平面． 19. 已知向量，． （1）当时，求x的值； （2）当时，求的值； （3）求在上的单调递减区间． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，再由二倍角公式及正弦函数的性质计算可得； （2）根据向量共线的坐标表示得到方程，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； （3）首先求出的坐标，再根据数量积的坐标运算及三角恒等变换公式化简函数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得； 【小问1详解】 解：因为，，且， 所以，即， 所以，解得； 【小问2详解】 解：因为，，且， 所以，即，所以； 【小问3详解】 解：因为，，所以， 所以 ， 即， 令，解得， 所以函数在上的单调递减区间为， 因为，所以函数在上的单调递减区间为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $