汇编09 2022-2024年中考数学真题知识点 三角形（吉林专用）

2022-2024年中考数学真题汇编09 三角形 一、直角三角形 知识点1：直角三角形的两个锐角互余 （一）选择题 1．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点2：含30度角的直角三角形 （一）填空题 1．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    （二）解答题 1．（2023·吉林长春·中考真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 2．（2024·吉林长春·中考真题） 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 二、全等三角形 知识点1：全等三角形的性质 （一）填空题 1．（2022·吉林长春·中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为 厘米． 知识点2：三角形全等的判定 （一）解答题 1．（2022·吉林·中考真题）如图，，．求证：． 2．（2022·吉林长春·中考真题）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．    (1)网格中的形状是________； (2)在图①中确定一点D，连结、，使与全等： (3)在图②中的边上确定一点E，连结，使： (4)在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2． 3．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． 【问题解决】 (1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 (2)的度数为________度，的值为_________； (3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示） 4．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 5．（2023·吉林·中考真题）如图，点C在线段上，在和中，． 求证：．    6．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．                   【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 7．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：． 8．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 三、相似三角形 知识点1：相似三角形的性质 （一）解答题 1．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． (1)点D到边的距离为__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)连结，当线段最短时，求的面积； (4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值． 知识点2：相似三角形的判定与性质综合 （一）填空题 1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 2．（2024·吉林长春·中考真题）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有 ． （二）解答题 1．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整． 【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？ 解：相等．理由如下： 设与之间的距离为，则，． ∴． 【探究】 (1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则． 证明：∵ (2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则． 证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ∴ ． ∴ ． ∴． 由【探究】（1）可知 ， ∴． (3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ． 2．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）   　　   (1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示） (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 3．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）    (1)当点和点重合时，线段的长为__________； (2)当点和点重合时，求； (3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； (4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 4．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)当点是边的中点时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为________； (3)连结，当时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2024年中考数学真题汇编09 三角形 一、直角三角形 知识点1：直角三角形的两个锐角互余 （一）选择题 1．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 知识点2：含30度角的直角三角形 （一）填空题 1．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    【答案】 【解析】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． （二）解答题 1．（2023·吉林长春·中考真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 【答案】(1)见解析； (2) 【解析】（1）证明：由题意可知， ，， ， 四边形地平行四边形； （2）如图，在中，，，， ，， 四边形是菱形， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：．    2．（2024·吉林长春·中考真题） 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】问题解决：（1）见解析（2）30，；方法应用：线段长度的最小值为米 【解析】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）在等边中，， ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 二、全等三角形 知识点1：全等三角形的性质 （一）填空题 1．（2022·吉林长春·中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为 厘米． 【答案】54 【解析】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图， ∵六边形MNGHPO是正六边形， ∴∠GNM=∠NMO=120°， ∴∠FNM=∠FMN=60°， ∴△FMN是等边三角形， 同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形， ∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE， ∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE， ∵等边△ABC≌等边△DEF， ∴AB=DE， ∵AB=27cm， ∴DE=27cm， ∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm， 故答案为：54． 知识点2：三角形全等的判定 （一）解答题 1．（2022·吉林·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：在和中， ， ， ． 2．（2022·吉林长春·中考真题）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．      (1)网格中的形状是________； (2)在图①中确定一点D，连结、，使与全等： (3)在图②中的边上确定一点E，连结，使： (4)在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2． 【答案】(1)直角三角形 (2)见解析（答案不唯一） (3)见解析 (4)翙解析 【解析】（1）∵ ∴, ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）如图，点D即为所求作，使与全等：      （3）如图所示，点E即为所作，且使：    （4）如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．    3．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． 【问题解决】 (1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 (2)的度数为________度，的值为_________； (3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)22.5°， (3) 【解析】（1）证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 由折叠得，， ∴ ∴ 又AD=AF，AG=AG ∴ （2）由折叠得，∠ 又∠ ∴∠ 由得，∠ ∠ 又∠ ∴∠ ∴∠ ∴ 设则 ∴ ∴ ∴ （3）如图，连接 ∵ ∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称， 连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长； 过点P作交AD于点R， ∵∠ ∴∠ ∴ 又 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴的最小值为 4．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 【答案】A 【解析】解：O为、的中点， ，， （对顶角相等）， 在与中， ， ， ， 故选：A． 5．（2023·吉林·中考真题）如图，点C在线段上，在和中，． 求证：．    【答案】证明见解析 【解析】解：在和中， ∴ ∴． 6．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．                   【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 【答案】感知：；探究：见解析；应用：． 【解析】感知： 由圆周角定理可得， 故答案为：； 探究： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， ， ∴，， ， 是等边三角形， ， ， 即； 应用： 延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． ， ， ∴，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由线段中点的定义得到，据此可证明，进而可证明． 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴． 8．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 三、相似三角形 知识点1：相似三角形的性质 （一）解答题 1．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． (1)点D到边的距离为__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)连结，当线段最短时，求的面积； (4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，； (3) (4)或 【解析】（1）解：如图，连接DM， ∵AB=4，，点M为边的中点， ∴AM=BM=2，DM⊥AB， ∴， 即点D到边的距离为3； 故答案为：3 （2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上， ； 当1＜t≤2时，点P在BD边上，； 综上所述，当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，； （3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E， ∵作点A关于直线的对称点， ∴A′M=AM=2， ∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆， ∴当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上， ∴， 根据题意得：，， 由（1）得：DM⊥AB， ∵PE⊥DM， ∴PE∥AB， ∴△PDE∽△ADM， ∴， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴； （4）解：如图， 当点M、、C三点共线时，且点位于M、C之间时，此时点P在AD上， 连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM， ∵AB为直径， ∴∠A =90°，即A A′⊥A′B， ∴PM∥A′B， ∴∠PMF=∠AB A′， 过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N， 在中，AB∥DC， ∵DM⊥AB， ∴DM∥CN， ∴四边形CDMN为平行四边形， ∴CN=DM=3，MN=CD=4， ∴CM=5， ∴， ∵ M=2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即PF=3FM， ∵，， ∴， ∴，即AF=2FM， ∵AM=2， ∴， ∴，解得：； 如图，当点（）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，， 过点作于点G′，则，取的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T， 同理：， ∵HK⊥AB，， ∴HK∥A′′G′， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即MT=3PT， ∵，， ∴， ∴， ∵MT+BT=BM=2， ∴， ∴，解得：； 综上所述，t的值为或． 知识点2：相似三角形的判定与性质综合 （一）填空题 1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 2．（2024·吉林长春·中考真题）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②③ 【解析】解：如图：连接， ∵是的中点， ∴, ∴，即①正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∵ ∴, ∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即②正确； 在和, ， ∴， ∴,即, ∴，即, ∴, ∵， ∴，即③正确； 如图：假设半圆的圆心为O，连接， ∵，，是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即是菱形， ∴， ∵， ∴，即，解得：, ∴， ∵ ∴，即④错误． 故答案为：①②③． （二）解答题 1．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整． 【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？ 解：相等．理由如下： 设与之间的距离为，则，． ∴． 【探究】 (1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则． 证明：∵ (2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则． 证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ∴ ． ∴ ． ∴． 由【探究】（1）可知 ， ∴． (3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）证明：，， ． （2）证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ． ． ． 由【探究】（1）可知， ． （3）解：过点作于点，过点作于点，则， ， ， ， 点所对应的刻度值分别为5，，0， ，， ， 又，， ， 故答案为：． 2．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）   　　   (1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示） (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【解析】（1）解：依题意， ，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形对角线的中点， ∴，则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴ 故答案为：；． （2）解：当时，点在上，    由（1）可得， 同理可得， ∵，， 则 ； 当时，如图所示，    则，， ， ∴； 综上所述，； （3）依题意，①如图，当四边形是矩形时，此时， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 解得：，    当四边形是菱形时，则， ∴， 解得：（舍去）； ②如图所示，当时，四边形是轴对称图形，    ，解得， 当四边形是菱形时，则，即，解得：（舍去）， 综上所述，当四边形是轴对称图形时，或． 3．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）    (1)当点和点重合时，线段的长为__________； (2)当点和点重合时，求； (3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； (4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)或或 【解析】（1）解：如图所示，连接，      ∵四边形是矩形 ∴ ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴， 在中，， 故答案为：． （2）如图所示，    ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； （4）①如图所示，当点在上时，    ∵， 在中，， 则， ∵，则，， 在中，， ∴ 解得： 当时，点在矩形内部，符合题意， ∴符合题意， ②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，    则， ， 在中， ， 解得：， ③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时    综上所述，或或． 4．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)当点是边的中点时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为________； (3)连结，当时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【解析】（1）解：根据题意可知： ， 为等腰三角形，故点是边的中点时，； 在中，； （2）根据题意作，如图所示； 当时，则， 设点到直线的距离为， ， 解得：； （3）如图，当时，点落在上， 设，则，， 过点作于 则， ， ， 解得： 故， 所以正方形的边长为； （4）如图，，在异侧时； 设，，则 三边的比值为， ， ， 当，在同侧 设，则，， 三边比为， 三边比为， 设，则，， 解得： 综上所述：的长为或。 学科网（北京）股份有限公司 $$