6.3.1 二项式定理 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章计数原理 6.3.1二项式定理 李思 目录 CONTENT 03 04 01 02 典型例题 课堂总结 知识回顾 二项式定理 知识回顾 PART.01 小标题 知识回顾 1.排列数公式是什么？ 2.组合数公式是什么？ 小标题 引入 上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的(a+b)n展开的问题. 问题1：我们知道， (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 .... (1)观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ (2)根据你发现的规律，你能写出(a+b)4的展开式吗？ (3)进一步地，你能写出(a+b)n的展开式吗？ 分析 恰有1个取b的情况有2种,则ab前的系数为2， 恰有2个取b的情况有1 种,则b2前的系数为1， 每个都不取b的情况有1种,则a2 前的系数为1， 我们先来对(a+b)2展开式的分析： 两个括号相乘，每一个括号里面都要有一个字母做出贡献，我们对b进行考虑， 则(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2= (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2 类比 都 不 取 b 项 系数 再来分析(a+b)3展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？ 取 一 个 b 取 两 个 b 取 三 个 b (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) a3 a2b ab2 b3 则(a+b)3= 类比 都 不 取 b 项 系数 再来分析(a+b)4展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？ 取 一 个 b 取 两 个 b 取 三 个 b 取 四 个 b (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) a4 a3b a2b2 ab3 b4 则(a+b)4= 类比 都 不 取 b 项 系数 再来分析(a+b)n展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？ 取 一 个 b 取 两 个 b 取 三 个 b 取 n 个 b (a+b)n=(a+b)(a+b)(a+b)......(a+b) an an-1b an-2b2 an-3b3 ...... bn 则(a+b)n= ...... 二项式定理 PART.02 二项式定理 n＋1 k＋1 典型例题 PART.03 根据二项式定理求展开式 二项式定理的逆用 B D 二项式展开式的通项的应用 二项式展开式的通项的应用 二项式展开式的通项的应用 二项式展开式的通项的应用 二项式定理的应用之整除问题 二项式定理的应用之整除问题 二项式定理的应用之整除问题 课堂总结 PART.04 课堂总结 1.二项式定理； 2.二项展开式； 3.二项展开式的逆用； 4.二项展开式的通项公式； 5二项展开式的通项公式的应用； 6.二项展定理的应用之整除问题。 统计学是对令人困惑费解的问题做出数字设想的艺术。 李思 THANK A＝n(n-1)(n-2)...(n-m+1)＝(m，n∈N*，m≤n). C＝＝ C＝(n，m∈N*，且m≤n). Can－kbk 注意:(1)每一项中a与b的指数和为n,a与b的位置不能交换． (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止， 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止． (a＋b)n＝_____________________________________________，n∈N*.这个公式叫做二项式定理． 展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项. 二项式系数：各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． 二项展开式的通项：(a＋b)n展开式的第_______项叫做二项展开式的通项，记Tk＋1＝_______． Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn 解：(2)根据二项式定理， (x+1)7=Cx710+Cx611+Cx512+Cx413+Cx314+Cx215+Cx116+Cx017 =x7+7x6+21x5+35x4+35x3+21x2+7x+1 例1：(1)求（x+2y）6的展开式; (2)求（x+1）6的展开式. 解：(1)根据二项式定理， (x+2y)6=Cx6+Cx5(2y)+Cx4(2y)2+Cx3(2y)3+Cx2(2y)4+Cx(2y)5+C(2y)6 =x6+12x5y+60x4y2+160x3y3+240x2y4+192xy5+64y6 例2：(1)化简C2＋C22＋…＋C210等于(　　) A．210－1 B．310－1 C．210＋1 D．310＋1 (2)化简(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1等于(　　) A．(2x＋2)5 B．2x5 C．(2x－1)5 D．32x5 例3：在二项式(x－)12的展开式中，求： (1)第4项； (2)求展开式中第4项的二项式系数和第4项的系数； (3)求展开式中二项式系数最大的项； (4)求含x－4的项的系数； (5)常数项； (6)有理项． Tk＋1＝Cx12－k·(－)k＝(－1)kCx. 解：(1)令k＝3，则T4＝(－1)3Cx＝－220x8. (2)由(1)知，T4＝(－1)3Cx8＝－220x8. ∴第4项的二项式系数是C＝220,第4项的系数是(－1)3C＝－220. (3)展开式中二项式系数最大的项是第7项．T7＝C(－1)6x＝924x4. (4)由题意得，12－k＝－4，解得k＝12，∴x－4的系数为(－1)12C＝1. (5)令12－k＝0，解得k＝9，所以常数项为(－1)9C＝－220. (6)当k＝0，3，6，9，12时，Tk＋1是有理项，分别为T1＝x12，T4＝－Cx8＝－220x8， T7＝Cx4＝924x4，T10＝－C＝－220，T13＝Cx－4＝. 例4：(1)(x2－x－2)5的展开式中，含x3项的系数为________. (2)(x2＋2)(－1)5的展开式中的常数项是______. 解：(1)∵(x2－x－2)5＝(x＋1)5·(x－2)5， (x＋1)5＝Cx5＋Cx4＋Cx3＋Cx2＋Cx＋1， (x－2)5＝Cx5－2Cx4＋22Cx3－23Cx2＋24Cx－25， ∴含x3项的系数为C×(－25)＋C×(24×C)＋C×(－23×C)＋1×22×C＝120. 解：(2)二项式(－1)5的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k·Cx2k－10. 当2k－10＝－2时，k＝4，此时有x2·(－1)4Cx－2＝5； 当2k－10＝0时，k＝5，此时有2·(－1)5Cx0＝－2. 故(x2＋2)(－1)5的展开式中的常数项是5－2＝3. 例5：(1)试求1 99510除以8的余数； (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除． 解：　(1)1 99510＝(8×249＋3)10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴1 99510除以8的余数与310除以8的余数相同． 又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即1 99510除以8的余数也为1. (2)证明：32n＋2－8n－9 ＝(8＋1)n＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋8C＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82　①. ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除． 举一反三: (1)6715+a可以被17整除，0<a≤17,a为整数，求a的值； (2)求（1.03）7精确到小数点后两位的值。 答案：(1)1；(2)23。 $$