2.2.2 直线的两点式方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.2.2　直线的两点式方程 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.掌握直线的两点式方程和截距式方程,以及各自的适用条件; 2.能够正确使用直线的两点式方程和截距式方程求方程. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 直线的两点式方程 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是平面直角坐标系中的任意两点,我们把过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程　　　　　　　　　　　　称为直线的两点式方程,简称两点式.  如果直线既不平行于x轴也不平行于y轴,则x2≠x1,且y2≠y1,两点式方程可以写成　　　　　　　　　　.  (y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 名师点睛 两点式方程的拓展 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若一条直线不与坐标轴平行或重合,则它的方程可以写成 .(　　) (2)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线既可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示,也可以用 表示.(　　) 2.倾斜角为多少的直线不能用 表示? √ × 知识点2 直线方程的截距式 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截距 式 直线l在x轴,y轴上的截距分别为a,b且ab≠0 　 　  　　　　　  名师点睛 1.平面直角坐标系下过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式. 2.截距式方程的特点有两个,一是中间必须用“+”号连接,二是等号右边为1. a≠0,b≠0 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)不经过原点的直线都可以用方程 =1表示.(　　) (2)方程x+y=1不是截距式方程.(　　) (3)若一条直线的方程可以写成斜截式,则一定可以写成截距式.(　　) 2.直线方程 =1中的a,b是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离? × × × 提示不是.直线方程 =1中的a,b分别表示直线在x轴,y轴上的截距. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 直线的两点式方程 【例1】 已知△ABC的三个顶点A(1,1),B(2,0),C(4,4). (1)求AB边所在直线的方程; (2)求BC边上中线所在直线的方程. 分析由于两点A,B的坐标已知,且均不相等,因此可以利用两点式写出其方程,而求BC边上中线所在直线的方程需要先利用中点坐标公式求出BC边的中点坐标,然后利用两点式写出其方程. 解 (1)因为A(1,1),B(2,0),所以由直线的两点式方程可得AB边所在直线的方 化简可得x+y-2=0. 规律方法　1.利用直线的两点式求直线方程的方法 已知平面上两点的坐标,求解直线的方程,首先判断两点的横、纵坐标是否相等.若两点的横、纵坐标不相等,则选择使用两点式的形式求直线的方程. 2.利用直线的两点式求直线方程的易错点 由于两点式方程比较复杂,因此在使用两点式求方程时一定要细心.若两点的横、纵坐标相等,则不能用含分式的两点式求解,可知直接根据点的坐标的特征写出方程. 变式训练 在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上. 求:(1)顶点C的坐标;(2)若点(t,5)在直线MN上,求t的值. 解得x=-5,y=-3. 故所求顶点C的坐标是(-5,-3). 将点(t,5)代入直线方程可得5t-15=0,解得t=3. 探究点二 直线的截距式方程 【例2】 过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数多条 B 解析 设直线的两截距均为a,①当a=0时,设直线方程为y=kx,将P(2,3)代入, 将P(2,3)代入,得a=5,因此直线l的方程为x+y-5=0. 综上所述,直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0, 即符合条件的直线有2条. 变式探究1 将本例题改为:过点A(3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 (　　) A.2条 B.3条 C.4条 D.无数多条 B 解析 当直线在两坐标轴上的截距都为零时,满足题意,此时直线的方程为 变式探究2 将本例题改为:过点(1,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线条数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 解析 当直线在两坐标轴上的截距都为零时,满足题意,此时直线方程为y=2x; 当直线在两坐标轴上的截距都不为零时,设直线方程为 =1.因为截距互为相反数,则b=-a,将点(1,2)代入,则 =1,解得a=-1,则b=1,故所求直线方程为x-y+1=0. 综上,满足过点(1,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条.故选B. 规律方法　使用直线的截距式方程的易错点 用截距式求解直线方程问题时,由于直线在坐标轴上的截距可以为0,因此在求解过定点与直线在两坐标轴上的截距有关的问题时,若题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”等条件时,一定要注意考虑“零截距”的情况. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线的两点式方程的两种形式; (2)直线的截距式方程. 2.方法归纳:根据两点的坐标求直线的两点式方程;利用待定系数法求直线的截距式方程. 3.注意事项:当直线平行于x轴或平行于y轴时,不能用含分式的两点式求方程;直线过原点或与坐标轴平行时,没有截距式方程,涉及直线在两坐标轴上的截距有关的问题时,不要忘记直线过原点时截距为零的特殊情况. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 1.过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是(　　) C 1 2 3 4 5 6 A 1 2 3 4 5 6 3.(多选题)下列方程能化为截距式的是( 　) A.y-2x=0 B.5x+4y-20=0 C.x=2 BD 1 2 3 4 5 6 4.直线x-3y+1=0在y轴上的截距为　　　　　.  解析 直线x-3y+1=0中,令x=0,得y= . 1 2 3 4 5 6 5.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,1),B(-2,0),C(3,-1),△ABC的边AB所在的直线方程为　　　　 　;边BC所在的直线方程为　　　 　　.  x-2y+2=0　 x+5y+2=0 解析 因为A(0,1),B(-2,0),C(3,-1),所以△ABC的边AB所在的直线方程 1 2 3 4 5 6 6.[2024甘肃凉州高二期中]由下列各条件,写出直线的方程. (2)经过两点A(3,-2),B(5,-4). 若x1≠x2且y1≠y2,则直线l的比例两点式:等;过两点的P1(x1,y1),P2(x2,y2)的任何直线方程都可以写成(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,而既不包括平行于x轴的直线也不包括平行于y轴的直线. 提示倾斜角为或0的直线,不能用表示. =1 程, (2)由B(2,0),C(4,4),则BC中点D(),即D(3,2). 则BC边上中线AD所在直线的方程为,化简可得x-2y+1=0. 解 (1)设点C(x,y),由AC边的中点M在y轴上得=0,BC边的中点N在x轴上得=0, (2)依题意,点M的坐标是(0,-),点N的坐标是(1,0),故直线MN的方程是,即5x-2y-5=0. 得k=, 故直线l的方程为3x-2y=0. ②当a≠0时,设直线方程为=1,即x+y=a, y=-x; 当直线在两坐标轴上的截距都不为零时,设直线方程为=1, 依题意可知解得 故所求直线方程为=1或=1. 综上所述,满足条件的直线共有3条.故选B. A.=0 B.=1 C.=1 D.=1 解析 因为直线l的两点式方程为, 所以直线l过点(-5,0),(3,-3), 所以l的斜率为=-.故选A. 2.已知直线l的两点式方程为,则l的斜率为(　　) A.- B. C.- D. D.x+y= 为,整理得x-2y+2=0. 边BC所在的直线方程为,整理得x+5y+2=0. 解 (1)因为直线在x轴和y轴上的截距分别是,-3, 所以直线的截距式方程为=1. (2)因为直线经过两点A(3,-2),B(5,-4),所以直线的两点式方程为. (1)在x轴和y轴上的截距分别是,-3; $$