2.3.1 两条直线平行与垂直的判定 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.理解两条直线平行或垂直的条件,会判断两条直线是否平行或垂直; 2.能根据两条直线平行或垂直,求解实际问题. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 两条直线平行的判定 设在xOy平面上的两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,它们的方程分别是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则对应关系如下: 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1=α2　　　　  α1=α2　　　　  对应 关系 l1∥l2⇔　　　　　　　　　  l1∥l2⇔两直线斜率都不存在,与x轴垂直,在x轴上的截距不同 图示 k1=k2且b1≠b2 名师点睛 利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,v1=(A1,B1),v2=(A2,B2)分别是直线l1,l2的法向量:(1)l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线,即A1B2≠A2B1. (2)l1与l2平行的充要条件是v1与v2共线,且截距不相等,即 (3)l1与l2重合的充要条件是v1与v2共线,且截距相等,即 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是两条直线的斜率都存在.(　　) (2)直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0平行的条件是 .(　　) (3)若两条不重合的直线l1与l2倾斜角相等,则l1∥l2.(　　) 2.如果两条直线平行是这两条直线的斜率相等的什么条件? × × √ 提示若两直线平行,两直线的斜率不一定相等,因为两直线的斜率可能不存在;若两直线的斜率相等,还有可能重合(此时两直线在y轴上的截距相等),因此两条直线平行是这两条直线的斜率相等的既不充分又不必要条件. 知识点2 两条直线垂直与斜率之间的关系 图示 对应 关系 l1⊥l2(两条直线的斜率都存在,且都不为零)⇔　　　　　  l1的斜率不存在,l2的斜率为0⇒　　　　  名师点睛 利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,v1=(A1,B1),v2=(A2,B2)分别是直线l1,l2的法向量,则两直线垂直的充要条件是v1·v2=0,即A1A2+B1B2=0. k1k2=-1 l1⊥l2 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若直线l1与l2倾斜角互余,则l1⊥l2.(　　) (2)若l1⊥l2,则直线l1与l2倾斜角互余.(　　) (3)若两条直线垂直,那么它们的斜率乘积为-1.(　　) × × × 2.若直线l1:2x+3y=4与直线l2:4x+ay=10垂直,则a=　　　　　.  3.写出与直线x=5垂直的一条直线方程为　　　　　.  y=1 解析 与直线x=5垂直的直线方程是y=t(t∈R).取t=1,则与直线x=5垂直的一条直线方程为y=1. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 两条直线平行的判定 【例1】 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行. (1)l1:4x+2y-6=0,l2:10x+5y+15=0; (2)l1:8x-4y+14=0,l2:3x-y+8=0; (3)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7); 分析 根据题意,分别求出直线的斜率与截距,根据斜率及截距的关系判断. 解 (1)将两直线方程分别化为斜截式,l1:y=-2x+3,l2:y=-2x-3, 则k1=-2,b1=3,k2=-2,b2=-3, ∵k1=k2,b1≠b2,∴l1∥l2. (2)将两直线方程分别化为斜截式,l1:y=2x+ ,l2:y=3x+8,则k1=2,b1= ,k2=3,b2=8. ∵k1≠k2,b1≠b2, ∴l1与l2不平行. 规律方法　1.判断两条不重合直线是否平行的步骤 2.判断两直线平行的误区 判断两条斜率存在的直线平行不但要考虑斜率相等,而且还要考虑截距是否相等. 变式训练1 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行. (1)直线l1为y轴,l2经过点P(3,3),Q(3,6); (2)直线l1:2x+5y-10=0,l2:2x+5y-15=0; (3)直线l1的一个法向量为(3,-1),过点(0,2),直线l2的斜率为k=3,过点(0,3); (4)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3). 解 (1)由题意可知l1:x=0,l2:x=3,所以l1∥l2. (3)由直线l1的一个法向量为(3,-1),可知直线l1的一个方向向量为(1,3),因此其斜率为k1=3.直线l2的斜率为k=3.由题知,两直线在y轴上的截距不相等,因此l1∥l2. 探究点二 两条直线垂直的判定 【例2】 判断下列各题中l1与l2是否垂直. (1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点M(-3,-1),N(5,3); (2)l1的一个方向向量是m=(2,6),直线l2:x+3y=2. 分析 根据题意,分别求出直线的斜率,判断斜率乘积是否为-1. 规律方法　两直线垂直的判定方法 斜率 直线 一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在 垂直 斜率均存在且积为-1 垂直 斜率均存在且积不是-1 不垂直 变式训练2 判断下列各题中l1与l2是否垂直. (1)直线l1经过点A(3,5),B(3,8),直线l2经过点M(-10,20),N(10,20); (2)l1:2x+3y=0,l2:3x-2y+5=0. ∵k1k2=-1, ∴l1⊥l2. 探究点三 两直线平行与垂直的应用 角度1利用两直线平行与垂直的关系求直线方程 【例3】 已知点A(3,2)和直线l:x+3y-2=0. 求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;(2)过点A和直线l垂直的直线方程. 分析 根据条件求出满足题意的直线的斜率,利用点斜式求解,或设出满足题意的直线系,利用待定系数法求解. (2)设过点A与l垂直的直线为l2. 因为kl·=-1,所以=3,故直线l2的方程为y-2=3(x-3),整理得3x-y-7=0. (方法2)(1)设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为x+3y+m=0. 由点A(3,2)在直线l1上,得3+3×2+m=0,解得m=-9. 故直线l1的方程为x+3y-9=0. (2)设直线l2的方程为3x-y+n=0. 因为l2经过点A(3,2),所以3×3-2+n=0,解得n=-7. 故l2的方程为3x-y-7=0. 规律方法　求解过定点且与已知直线平行或垂直的直线的方法 过点A(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0平行或垂直的直线方程的求法有两种方法. 名称 方法 过程 待定系数法 先求斜率(斜率存在时) 点斜式求直线方程 直线系 与Ax+By+C=0平行 设方程为Ax+By+m=0 与Ax+By+C=0垂直 设方程为Bx-Ay+m=0 变式训练3 已知直线l的方程为4x-3y=0,求过点(1,3)分别与直线l平行与垂直的直线的一般式方程. 解 设过点(1,3)与直线l:4x-3y=0平行的直线方程为4x-3y+m=0.将点(1,3)代入得4×1-3×3+m=0,解得m=5,故所求直线的一般式方程为4x-3y+5=0. 过点(-1,3)与直线l:4x-3y=0垂直的直线方程为3x+4y+n=0,将点(1,3)代入得3×1+4×3+n=0,解得n=-15,故所求直线的一般式方程为3x+4y-15=0. 角度2利用两直线平行与垂直的条件求参数 【例4】 (1)已知直线l1:ax+y+3=0与l2:2x+(a-1)y+a+1=0平行,则a=(　　) A.-1或2 B.1或-2 C.-1 D.1 C 解析 因为直线l1:ax+y+3=0与l2:2x+(a-1)y+a+1=0平行,所以由a(a-1)-2×1=a2-a-2=0,且3(a-1)≠a+1,解得a=-1.故选C. (2)若直线ax+y-a+1=0与直线(a-2)x-3y+a=0垂直,则实数a的值为(　　) A.-1或3 B.1或-3 C.-1或-3 D.1或3 A 解析 由题知a(a-2)+1×(-3)=0,即a2-2a-3=0,解得a=-1或a=3. 规律方法　直线方程的一般式方程的平行与垂直问题的解法 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 两直线的位置关系 结论 l1∥l2 A1B2=A2B1且A1C2-A2C1≠0 l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 变式训练4 (1)[2024甘肃酒泉高二四校联考期中]直线l1:mx-3y-1=0,l2:(3m-2)x-my+2=0,若l1⊥l2,则实数m的值为(　　) A.0 B.3 C 解析 因为l1:mx-3y-1=0,l2:(3m-2)x-my+2=0,l1⊥l2, (2)已知直线l1:x-ay+1=0,直线l2:ax-y-1=0,若l1∥l2,则实数a的值为　　　　　.  1 角度3利用两直线平行或垂直的条件判断平面几何图形的形状 【例5】 已知四点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),若顺次连接A,B,C,D四点,试判定图形ABCD的形状. 规律方法　利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤 描点→在坐标系中描出给定的点 　↓ 猜测→根据描出的点,猜测图形的形状 　↓ 求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率 　↓ 结论→由斜率之间的关系判断形状 变式训练5 (1)已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是 (　　) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 B 故AD∥BC,AB∥CD,AB与AD不垂直,BD与AC不垂直,所以四边形ABCD为平行四边形. (2)已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2),则四边形MNPQ的形状为　　　　　.  矩形 所以MQ∥NP,所以四边形MNPQ为平行四边形.因为kMN·kMQ=-1,所以MN⊥MQ,所以平行四边形MNPQ为矩形. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)两条直线平行的判定; (2)两条直线垂直的判定. 2.方法归纳:利用斜率之间的关系判断两条直线的平行与垂直;利用待定系数法求解与过定点且与已知直线平行或垂直的直线;利用平面几何图形的边的斜率之间的关系判断平面几何图形的形状. 3.注意事项:两条直线平行与垂直的判定不要忽视斜率不存在的情况,根据两条直线的平行与垂直求直线方程中的参数不要忽视斜率不存在的情况. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.[2024甘肃凉州高二期中]已知点A(3,4),B(-1,3),直线l:y=kx+3与直线AB垂直,则实数k=(　　) D 1 2 3 4 5 2.(多选题)下列各组直线中平行的是(　 　) A.3x+4y-5=0与6x+8y-7=0 B.3x-y+4=0与2y-6x+1=0 C.x+y=0与x-y=0 D.x=3与3x+5=0 ABD 1 2 3 4 5 3.若经过点M(m,4)和N(2,m)的直线与斜率为-1的直线l互相垂直,则m的值是　 .  3 解析 由题知,直线MN的斜率存在. 因为MN⊥l,所以直线MN的斜率为1, 所以kMN= =1,解得m=3. 1 2 3 4 5 4.经过两点A(2,3),B(-1,x)的直线l1与直线l2:y=-x+1平行,则实数x的值为　 .  6 1 2 3 4 5 5.△ABC的顶点A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形,求m的值. 解 因为∠A为直角,则AC⊥AB,所以kAC·kAB=-1,即 =-1,解得m=-7. ≠ = - 解析 直线l1:2x+3y=4的斜率为k=-,由直线l1:2x+3y=4与直线l2:4x+ay=10垂直,可知直线l2的斜率存在,且斜率为k2=.因此-,解得a=-. (4)直线l1的一个方向向量为(1,),l2经过点M(1,),N(3,3). (3)由题意知,k1==-,k2==-, ∴直线l1与直线l2平行或重合.又kBC==-≠-,故l1∥l2. (4)由题意知k1=,k2=,因此k1=k2, ∴直线l1与直线l2平行或重合. (2)直线l1的斜截式方程为y=-x+2,直线l2的斜截式方程为y=-x+3,则 k1=-,b1=2,k2=-,b2=3. 由于k1=k2,b1≠b2,所以l1∥l2. (4)由题意知,k1==1,k2==1,所以直线l1与直线l2平行或重合.又kFG==1,故直线l1与直线l2重合. 解 (1)l1的斜率为k1==2,l2的斜率为k2=. ∵k1k2=1,∴l1与l2不垂直. (2)由l1的一个方向向量是m=(2,6),可得k1==3.直线l2:x+3y=2的斜率为k2=-. ∵k1k2=-1,∴l1⊥l2. 解 (1)由A,B的横坐标相等,得直线l1的倾斜角为,则l1⊥x轴. k2==0,则l2∥x轴,∴l1⊥l2. (2)直线l1:2x+3y=0的斜率为k1=-,直线l2:3x-2y+5=0的斜率为k2=. 解 (方法1)(1)由直线l:x+3y-2=0,得kl=-. 设过A点且平行于l的直线为l1,则=kl=-. 又直线l1过点A(3,2),所以l1的方程为y-2=-(x-3),整理得x+3y-9=0. C.0或- D.0或3 所以m(3m-2)-3×(-m)=0,即3m2+m=0,解得m=0或m=-. 故选C. 解析 ∵l1∥l2,∴解得a=1. 解 由题意知A,B,C,D四点在坐标平面内的位置如图所示,由斜率公式可得kAB=,kCD=,kAD==-3,kBC==-.因为kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,所以AB∥CD. 因为kAD≠kBC,所以AD与BC不平行. 又因为kAB·kAD=×(-3)=-1,所以AB⊥AD. 同理,AD⊥CD.故四边形ABCD为直角梯形. 解析 如图所示,易知kAB=-,kBC=0,kCD=-,kAD=0,kBD=-,kAC=,所以kAB=kCD,kBC=kAD,kAB·kAD=0,kAC·kBD=-, 解析 如图所示,易知kMN==-1,kPQ==-1,且点P不在直线MN上,所以MN∥PQ. 因为kMQ==1,kNP==1,且点N不在直线MQ上, A.- B. C.4 D.-4 解析 直线AB的方程为,即y=. 因为直线l:y=kx+3与直线AB垂直,所以k=-1,解得k=-4.故选D. 解析 由题知,直线l1的斜率k1=.因为直线l1与直线l2平行,则=-1,解得x=6. $$