2.3.2 两条直线的交点坐标 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.3.2　两条直线的交点坐标 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.掌握两条直线的位置关系中的相交几何意义,并能根据已知条件求出两条直线的交点坐标; 2.能够根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系; 3.能根据两条直线相交的性质求待定参数. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 基础落实·必备知识一遍过 知识点 两直线的交点坐标 设两条直线方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的关系 方程组 的解的情况 一组解 无解 无数组解 直线l1与l2的公共点个数 一个 零个 无数个 直线l1与l2的位置关系 　　   　　   　 　  相交 平行 重合 名师点睛 1.点与直线关系的几何意义及其表示 几何元素及关系 代数表示 点M M(a,b) 直线l l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0) 点M在直线l上 Aa+Bb+C=0 直线l1与l2的交点是M 方程组 的解是 2.两直线的交点坐标与两直线的方程构成的方程组之间的关系 如果两条直线相交,则交点一定同时在这两条直线上,且交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解;如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解,那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的交点. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两直线方程构成的方程组可以有两个解.(　　) (2)若两直线方程构成的方程组的解集不是空集,则两直线不会平行.(　　) (3)两直线方程构成的方程组的解集最多只有一个元素.(　　) × √ × 2.若直线l1:x-2y=0与l2:2x-ay+3=0构成的方程组无解,则实数a的值为(　　) A.2 B.3 C.-2 D.4 D 解析 依题意,直线l1,l2构成的方程组无解,则两直线平行,即(-a)-(-2)×2=0,且1×3-2×0≠0,解得a=4. 3.若直线l1:x+ay-4=0与直线l2:bx-y+5=0的交点坐标是P(2,1),则a=　　　　　,b=　　　　　.  2 -2 解析 将P(2,1)代入直线l1:x+ay-4=0,得2+a-4=0,解得a=2;将P(2,1)代入直线l2:bx-y+5=0的方程可得2b-1+5=0,解得b=-2. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 两直线的交点坐标的求法 【例1】 判断下列各组中两条直线之间的位置关系.如果相交,求出交点的坐标: (1)l1:x-y=0,　　　 l2:3x+3y-10=0; (2)l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0; (3)l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0. 分析 联立两直线的方程构成的方程组,通过方程组是否有解及解的个数,确定直线位置关系及交点的坐标. ①×2-②得9=0,矛盾. 由此可知方程组无解,所以直线l1与l2平行. ①×2得6x+8y-10=0. 说明方程②是方程①的2倍,方程①的解都是方程②的解. 因此直线l1与l2重合. 规律方法　根据两相交直线的直线方程求直线的交点的方法 将两条直线的方程联立,得方程组 若方程组有唯一解,则两直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两直线无公共点,此时两直线平行;若方程组有无数组解,则两直线重合. 变式训练1 判断下列各组中直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标: (1)l1:2x-3y=7,　　　l2:4x+2y=1; ②×6得6y=2x+4,整理得2x-6y+4=0,说明方程①是方程②的6倍,方程②的解都是方程①的解. 因此直线l1与l2重合. 探究点二 过两直线的交点的直线方程的求法 【例2】 求经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 分析 解方程组求出两直线的交点坐标,利用条件求出直线的方程,也可以设过两直线的交点的直线方程,利用条件求解. 当直线在两坐标轴上的截距不为0时,设直线的方程为x+y=a,将点(-4,3)代入可得a=-1,整理得直线方程为x+y+1=0. 综上所述,所求直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0. (方法2)由于直线2x+5y-7=0在两坐标轴上的截距不相等,设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0. 规律方法　过两直线的交点的直线方程的求法 方法 过程 结论 方程组法 解方程组求出交点坐标 根据交点及其他条件求解 直线系法 先设出过两条直线交点的直线方程 利用条件求直线系中的参数得方程 说明:过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程)(其中λ为参数). 变式训练2 求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程. (方法2)∵直线l过直线l1和l2的交点, ∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0. ∵l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,解得λ=11.∴直线l的方程为12x+9y-18=0,整理得4x+3y-6=0. 探究点三 直线过定点问题 【例3】 求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点.求出这个定点的坐标. 证明(方法1)对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0, 令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0. 将点(2,-3)代入已知直线方程左边,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11) =4m-2-3m-9-m+11=0. 这表明不论m为什么实数,所给直线均经过定点(2,-3). (方法2)以m为未知数,整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0. 所以不论m取什么实数,该直线都经过定点(2,-3). 规律方法　求解含有参数的直线过定点问题的方法 (1)给直线中的参数任意赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点. (2)分项整理,将含参数的项并为一项,不含参数的项并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参数的项分别为零,解方程组所得的解即为所求定点. 变式训练3 求证:不论m为何值时,直线l:y=(m-1)x+2m+1一定过第二象限. 证明(方法1)直线l的方程可化为y-3=(m-1)(x+2),∴直线l过定点(-2,3). 由于点(-2,3)在第二象限,故直线l总过第二象限. (方法2)直线l的方程可化为(x+2)m-(x+y-1)=0. ∴无论m取何值,直线l总经过点(-2,3). ∵点(-2,3)在第二象限, 故直线l总过第二象限. 本节要点归纳 1.知识清单: 两直线交点的坐标与两直线方程构成的方程组解的关系. 2.方法归纳:解方程组法判断两直线交点的个数及求两直线的交点,设直线系方程求解过两直线的交点的直线方程;特殊值法与转化法求直线过定点问题. 3.注意事项:两直线的交点的个数可以转化为直线的方程构成的方程组解的个数,使用直线系方程时要注意验证与参数结合的直线是否满足题意. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.下列直线与直线x+y=0只有一个交点的是(　　) A.y=-x+3 B.-x-y+ =0 C.x-y+2=0 D.2x+2y-5=0 C 解析 由题可知,A,B,D选项中的直线均与x+y=0平行,只有C选项中的直线与x+y=0相交.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.两条直线l1:2x-y-1=0与l2:x+3y-11=0的交点坐标为(　　) A.(3,2) B.(2,3) C.(-2,-3) D.(-3,-2) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.关于x,y的方程组 没有实数解,则实数a的值是(　　) A.4 B.2 C.-4 D.-2 C 解析 依题意得直线2x-ay+1=0与直线x+2y-1=0平行,且a≠0.所以 ,解得a=-4.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.已知两条直线2x+3y-k=0和x-6y+12=0的交点在y轴上,那么k的值是(　　) A.-6 B.6 C.2 D.-2 B 解析 由x-6y+12=0可得直线与y轴的交点坐标为(0,2).将点(0,2)代入2x+3y-k=0,可得k=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.三条直线x=2,x-y-1=0,x+ky=0相交于一点,则k的值为　　　　　.  -2 解析 设三条直线交于一点P, 即P点坐标为(2,1). ∵直线x+ky=0过点P,即2+k=0,解得k=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.经过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,并且与直线x+y=1平行的直线方程为　　　　　　　,与直线x+y=1垂直的直线方程为　　 　　　.  x+y-3=0 x-y-1=0 由于直线x+y=1的斜率为k=-1,因此过交点且与直线x+y=1平行的直线方程为y-1=-(x-2),整理得x+y-3=0.过交点且与直线x+y=1垂直的直线方程的斜率为1,则所求直线方程为y-1=x-2,整理得x-y-1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.已知两直线l1:3x-y+4=0和l2:x+y-4=0. (1)判断两直线是否相交,若相交,求出其交点; (2)求过直线l1与l2的交点且斜率为-2的直线方程. (2)(方法1)∵所求直线斜率为-2,且过直线l1与l2的交点,则所求的直线方程为y-4=-2(x-0),整理得2x+y-4=0. (方法2)显然x+y-4=0不是所求方程,可设所求直线方程为3x-y+4+λ(x+y-4)=0(λ∈R),整理得(3+λ)x+(λ-1)y+4(1-λ)=0,∴- = -2,解得λ=5.整理得所求直线方程为2x+y-4=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 8.[2024甘肃甘南高二期中](多选题)已知三条直线:直线l1:ax+y-3=0,l2:x+y-1=0,l3:2x-y-5=0不能围成一个封闭图形,则实数a的值可以是( 　　) A.-2 B.1 C.2 D.3 ABC 解析 若l1,l2,l3中有两条相互平行,或三条线过同一点都不可以围成封闭图形, 若l1∥l2,由两直线平行与斜率之间的关系可得a=1; 若l1∥l3,由两直线平行与斜率之间的关系可得a=-2; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点为(　　) A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1) D 解析 直线方程可化为(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,则已知直线一定过直线2x+y-5=0和直线x-y-4=0的交点.解方程组 所以所求定点为(3,-1).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.若直线kx-k+y+1=0与直线x+3y-3=0交点在第一象限,则实数k的取值范围为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.△ABC中,A(1,5),高BE,CF所在的直线方程分别为x-2y=0,x+5y+10=0,则BC所在直线的方程是(　　) A.x+4y=0 B.5x-y=28 C.3x+5y=0 D.5x-3y=28 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.(多选题)若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值可以为(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 AD 解析 由题意可得三条直线中,有两条直线互相平行. ∵直线x-y+1=0和直线2x+y-4=0不平行, ∴直线x-y+1=0和直线ax-y+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线ax-y+2=0平行. ∵直线x-y+1=0的斜率为1,直线2x+y-4=0的斜率为-2,直线ax-y+2=0的斜率为a, ∴a=1或a=-2.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.已知定点A(0,1),点B在直线x+y+1=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是　　　　　.  (-1,0) 解析 当直线AB和直线x+y+1=0垂直时,线段AB的距离最短,此时直线AB的方程的斜率为k=1,所以直线AB的直线方程为y=x+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.已知△ABC的两个顶点A(-10,2),B(6,4),垂心是H(5,2),则顶点C的坐标为　 .  (6,-6) 又kAH=0,∴BC所在直线与x轴垂直,故直线BC的方程为x=6,联立直线AC与BC的方程得点C的坐标为C(6,-6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.若△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0. (1)求点C的坐标; (2)求直线BC的方程. 解 (1)因为AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,所以kAC=-2.又因为A(5,1),所以直线AC的方程为y-1=-2(x-5),整理得2x+y-11=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)设B(a,b),因为AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 16.P1(a1,b1),P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组 的解的情况是(　　) A.无论k,P1,P2如何,总是无解 B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解 C.存在k,P1,P2,使 是方程组的一组解 D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.已知直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),求直线l的一般式方程. 解 设l与l1的交点坐标为A(a,y1),l与l2的交点坐标为B(b,y2), 解 (1)解方程组 所以直线l1与l2相交,交点坐标为. (2)解方程组 (3)解方程组 (2)l1:2x-6y+4=0, l2:y=; (3)l1:(-1)x+y=3, l2:x+(+1)y=2. 解 (1)解方程组 因此直线l1与l2相交,交点坐标为. (2)解方程组 (3) ②×(-1)-①得0=2-5,矛盾,由此可知方程组无解,因此l1∥l2. 解 (方法1)由方程组解得 当直线在两坐标轴上的截距为0时,此时直线过原点,故可得该直线斜率为=-,则直线的方程为y=-x,整理得3x+4y=0; 令x=0,得y=,令y=0,得x=. 因为直线在两坐标轴上的截距相等,则,解得λ=或λ=. 所以所求直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0. 解 (方法1)解方程组即P(0,2). ∵l⊥l3,且l3的斜率为,∴kl=-.∴直线l的方程为y-2=-x,整理得4x+3y-6=0. 解方程组解得得两直线的交点为(2,-3). 由于m取值的任意性,所以解得x=2,y=-3. 令解得 解析 解方程组 故直线l1与l2的交点坐标为(2,3). =- 则联立解得 解析 解方程组所以两直线交点坐标为(2,1). 解 (1)∵,∴两直线相交. 解方程组解得即两直线交点为(0,4). 联立l2,l3可得可知l2,l3的交点为(2,-1),若l1,l2,l3交于同一点,可得a=2.故选ABC. 解得 A. B. C.∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪ 解方程组即点B的坐标是(-1,0). 解析 ∵A(-10,2),B(6,4),垂心H(5,2),∴kBH==2. ∵直线BH与直线AC垂直,则kAC=-. 故直线AC的方程为y-2=-(x+10),整理得x+2y+6=0. 解方程组所以点C的坐标为(4,3). 所以解得 所以B(-1,-3),kBC=. 所以直线BC的方程为y-3=(x-4),整理得6x-5y-9=0. 解析 由题意则a1b2-a2b1=a1(ka2+1)-a2(ka1+1)=a1-a2. ∵直线y=kx+1的斜率存在, ∴a1≠a2,a1-a2≠0,∴方程组总有唯一解.故A,D错误,B正确; 若是方程组的一组解,则则点(a1,b1),(a2,b2)在直线x+2y=1,即y=-x+上,但已知这两个点在直线y=kx+1上,这两条直线不是同一条直线,∴不可能是方程组的一组解,故C错误.故选B. ∴y1=-4a-3,y2=-1,由中点坐标公式得=-1,=2, 即解得 将a=-2,b=0代入y1=-4a-3,y2=-1得y1=5,y2=-1,∴A(-2,5),B(0,-1), ∴l的方程为,整理得3x+y+1=0. $$