2.5.1 圆的标准方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.5.1　圆的标准方程 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征; 2.能根据所给条件求圆的标准方程; 3.理解点与圆的位置关系. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 圆的标准方程 圆的图示 圆的定义 圆是平面内到一定点的距离等于　　　　　的所有的点组成的集合,这个定点即圆心,而定长就是半径  　　　　　 　这些点构成了圆的圆周 圆的标准方程 　 r>0 圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程　　　　　　　　　　,把它叫作圆的标准方程.  特别地,圆心在原点(0,0),半径为r的圆的方程为　　　　　　  定长 (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2 名师点睛 1.圆心在原点,半径为r=1的圆称为单位圆,其方程为x2+y2=1. 2.同一个圆,由于建立的坐标系不同,圆的方程也不同. 3.几种特殊形式的圆的标准方程 条件 方程形式 圆心在原点 x2+y2=r2(r≠0) 过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0) 圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2(r≠0) 条件 方程形式 圆心在x轴上且过原点 (x-a)2+y2=a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2+(y-b)2=b2(b≠0) 与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0) 与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0) 与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-a)2=a2(|a|≠0) 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圆.(　　) (2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此圆的半径一定是a.(　　) (3)圆x2+y2=r2上的所有点都在两条平行线x=r,x=-r和两条平行线y=-r,y=r围成的正方形内.(　　) × × √ 2.确定圆的基本要素是什么? 3.若M(x0,y0)在圆x2+y2=25上,则x0,y0的取值范围分别是什么? 提示确定圆的基本要素有两个,即圆心(位置)与半径(大小). 提示x0∈[-5,5],y0∈[-5,5]. 知识点2 点与圆的位置关系 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在 圆上 d=r 此时点的坐标可以代入圆的方程 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在 圆内 d<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 知识点3 点与圆的位置关系 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上.(　　) (2)点(a,b)一定在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)内.(　　) (3)点P(1,3)在以A(2,-1)为圆心,5为半径的圆外.(　　) 2.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不确定 × √ × B 解析 ∵12+32<24,故点在圆内. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 圆的标准方程 【例1】 求圆心C在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程. 分析 解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,还可以利用几何性质求出圆心和半径. 解 (方法1)∵点C为圆心,且点C在直线x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a). ∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|, 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. (方法2)线段AB的中点坐标为(0,-4),直线AB的斜率kAB= , ∴弦AB的垂直平分线的斜率为k=-2,∴弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,整理得2x+y+4=0. 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. (方法3)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 变式探究1 将本例改为“过点A(2,-3),B(-2,-5)且以线段AB为直径”,求圆的标准方程. 解 由于圆的直径为线段AB,因此圆的圆心即为线段AB的中点(0,-4). 变式探究2 将本例改为“过点A(2,-3),B(-2,-5)且圆心C在x轴上”,求圆的标准方程. 解 (方法1)因为该圆过A(2,-3),B(-2,-5)两点,所以圆心一定在线段AB的中垂线上. 由kAB= ,则线段AB中垂线的斜率为k=-2.又线段AB的中点坐标为(0,-4),因此线段AB的中垂线的方程为y+4=-2x. (方法2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). 故所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=5. 规律方法　求圆的标准方程的方法 确定圆的标准方程就是确定圆心C(a,b)及半径r,其求解方法:首先考虑几何法,通过借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径(如方法1、方法2).一般地,在解决有关圆的问题时,利用圆的几何性质可以简化计算.其次是利用待定系数法,如方法3,建立关于a,b,r的方程组,进而求得圆的方程,此法思路清晰,但是计算量较大. 探究点二 点与圆的位置关系 【例2】 已知圆心为点C(-3,-4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点P1(-1,0),P2(1,-1),P3(3,-4)和圆的位置关系. 分析 根据题意求出圆的标准方程,然后判断点与圆心的距离与半径的大小关系. 规律方法　点与圆的位置关系及其应用 (1)位置关系的判断 ①几何法:判断点到圆心的距离与半径的大小关系; ②代数法:将点的坐标代入圆的方程左边,判断与r2的大小关系. (2)位置关系的应用 代入点的坐标,利用不等式求参数的取值范围. 变式训练 (1)点M(a,a+1)与圆C:(x-1)2+y2=1的关系是(　　) A.点M在圆C外 B.点M在圆C上 C.点M在圆C内 D.不确定与a的取值有关 A (2)若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,则实数m的取值范围为　 .  (0,5) 解析 由于点P(-2,4)在圆的外部,所以有(-2+1)2+(4-2)2>m,解得m<5.又方程(x+1)2+(y-2)2=m表示圆,所以m>0.因此实数m的取值范围是(0,5). 本节要点归纳 1.知识清单: (1)圆的标准方程; (2)点与圆的位置关系. 2.方法归纳:利用圆的定义求圆的标准方程,几何性质法、待定系数法求圆的方程;几何法、代数法判断点与圆的位置关系. 3.注意事项:求圆的标准方程时,依据题意恰当地运用圆的几何性质解题,可以化繁为简,提高解题效率,而使用待定系数法则运算较为复杂.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,圆心是(a,b),半径为r>0. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2,4)的圆的标准方程为(　　) A.(x-1)2+y2=17 B.(x+1)2+y2=25 C.(x+1)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=25 D 解析 由圆(x-1)2+y2=4的方程可知圆心为(1,0). 设所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=r2,点P(-2,4)代入得(-2-1)2+42=r2,解得r2=25,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=25.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.圆心在y轴上,半径长为1,且过点(1,2)的圆的标准方程为(　　) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 A 解析 设圆心(0,b),圆的标准方程为x2+(y-b)2=1,则12+(2-b)2=1,解得b=2. 所以圆心为(0,2),所以圆的标准方程为x2+(y-2)2=1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的标准方程是(　　) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y+1)2=1 C.(x-2)2+(y-1)2=5 D.(x+2)2+(y+1)2=5 A 解析 圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的半径为1,故该圆的标准方程是 (x-2)2+(y-1)2=1,故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.圆C:(x+2)2+(y-4)2=2的圆心关于原点的对称点为(　　) A.(4,-2) B.(-2,4) C.(2,-4) D.(4,2) C 解析 由题知,圆C:(x+2)2+(y-4)2=2的圆心为(-2,4),该点关于原点对称的点为(2,-4).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.(多选题)下列说法正确的是(　　) AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.(多选题)已知点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的值不可能是(　　) AD 解析 由已知条件可得(1-a)2+(1+a)2<4,即2a2+2<4,解得-1<a<1.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.已知圆C的圆心在直线2x-y+3=0上,半径为r,且与直线l:x-y+4=0相切于点P(-2,2),则圆C的圆心为　　　　　;半径r=　　　　　.  (-1,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.已知圆C过O(0,0),A(1,1),B(4,2). (1)求圆C的标准方程; (2)判断P(3,2)和圆C的位置关系. 解 (1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 因为圆C过O(0,0),A(1,1),B(4,2), 故所求圆C的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25. (2)因为(3-4)2+(2+3)2=26>25,所以点P(3,2)在圆C外. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 D 9.[2024甘肃兰州高二期末]已知点A(3,0),点P为圆x2+y2=1上的动点,则AP的中点的轨迹方程是(　　) A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 解析 设AP的中点B(x,y),则P(2x-3,2y), 因为点P为圆x2+y2=1上的动点,所以(2x-3)2+4y2=1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.已知直线l平分圆x2+(y-3)2=4,且与直线x+y=0垂直,则直线l的方程是 (　　) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 D 解析 因为直线l平分圆x2+(y-3)2=4,且与直线x+y=0垂直,所以直线l过圆心(0,3),且斜率为1,所以直线l的方程是y-3=x,整理得x-y+3=0.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.(多选题)关于圆(x-2)2+y2=5的说法,正确的是(　 　) A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x-y+2=0对称 D.关于直线x+3y-2=0对称 ABD 解析 由题可知,该圆圆心的坐标为(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,所以选项A正确; 圆是关于直径对称的轴对称图形,直线必过圆心,直线x-y+2=0不过圆心,直线x+3y-2=0过圆心,所以选项B,D正确,选项C不正确; 故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.(多选题)圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为 ,则圆的标准方程可能是(　　) A.x2+y2=5 B.(x-1)2+y2=5 C.x2+(y+1)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 ∵圆上的点A(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在这个圆上,∴圆心在直线x+y=0上. 设圆心坐标为(a,-a),圆的标准方程为(x-a)2+(y+a)2=5, 则(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1. 则该圆的圆心为(1,-1)或(0,0), 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5. 故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列说法正确的是(　 　) A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π ABD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,故A正确; 令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0. ∵Δ=36-40=-4<0,∴2k2-6k+5=0无实数根,故B正确; 由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0. ∵Δ=16-8=8>0,则方程k2-4k+2=0有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,故C错误; 由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D正确. 故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.圆心在第一象限,半径为1,且同时与x,y轴相切的圆的标准方程为　　　　　　 　　.  (x-1)2+(y-1)2=1 解析 因为圆心在第一象限,半径为1,且同时与x,y轴相切,则该圆的圆心为(1,1),故该圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以P(2,-1)为圆心作一个圆,使得A,B,C三点中的一个点在圆内,一个点在圆上,一个点在圆外,则该圆的标准方程为　　　　　　　　　　.  (x-2)2+(y+1)2=13　 则|PA|<|PB|<|PC|. 要使A,B,C三点中的一个点在圆内,一个点在圆上,一个点在圆外,则该圆以|PB|为半径,故圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,5),B(5,5),C(6,-2). (1)求△ABC外接圆的标准方程; (2)动点D在△ABC的外接圆上运动,点E坐标为(7,4),求线段DE中点M的轨迹. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 所以△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 由题意,圆M与两坐标轴都相切,因此可设圆心坐标为M(a,a)或 M(a,-a)(a≠0),则半径r=|a|. d=PC=. d=PC=. 即,解得a=-2.∴圆心为C(-1,-2),半径长r=. 又圆心是直线2x+y+4=0与直线x-2y-3=0的交点,解方程组∴圆心坐标为(-1,-2), ∴圆的半径长r=, 由题设条件知 解得 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 又|AB|==2,则r=.故所求圆的标准方程为x2+(y+4)2=5. 令y=0,得x=-2,即圆心坐标为C(-2,0),所以r=|CA|==5,故所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=25. 则解得 解 因为圆心是C(-3,-4),且经过原点,所以圆的半径r==5, 所以圆的标准方程是(x+3)2+(y+4)2=25. 因为|P1C|==2<5, 所以P1(-1,0)在圆内; 因为|P2C|==5, 所以P2(1,-1)在圆上; 因为|P3C|==6>5, 所以P3(3,-4)在圆外. 解析 由题可得,圆心C(1,0),|MC|=>1,则点M 在圆C外.故选A. A.圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1,2),半径为 B.圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2,0),半径为b C.圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(,-),半径为 D.圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(2,2),半径为 解析 圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1,2),半径为,故A正确; 圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2,0),半径为|b|,故B错误; 圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(,-),半径为,故C正确; 圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(-2,-2),半径为,故D错误. 故选AC. A.-2 B.- C. D.2 解析 设圆心坐标为(m,n), 则由题可得解得 则圆C的圆心为(-1,1). 所以r=. 则解得 C.+y2= D.+y2= 即+y2=.故选D. 解析 由题可得|PA|=,|PB|=,|PC|=5, 解 (1)因为A(-1,5),B(5,5),C(6,-2),所以kAB==0,线段AB的中点为(2,5),则AB的垂直平分线的方程为x=2. kBC==-7,BC的中点为,则BC的垂直平分线的方程为 y-,整理得x-7y+5=0. 解方程组解得所以圆心坐标为(2,1),半径为=5, (2)设M(x,y),D(x0,y0),由中点坐标公式得将 (2x-7,2y-4)代入(x-2)2+(y-1)2=25得DE中点M的轨迹方程为 (2x-7-2)2+(2y-4-1)2=25,整理得,所以线段DE中点M的轨迹是以点为圆心,以为半径的圆. 17.(多选题)已知圆M与两坐标轴都相切,且M到直线y=2x-2的距离为,则圆M的直径为(　　) A.4 B. C.8 D.10 若圆心为M(a,a),由点到直线的距离公式得d=, 解得a=4,a=0(舍去),所以圆M的直径为2r=2|a|=8; 若圆心M(a,-a),由点到直线的距离公式得d=,解得a=,a=0(舍去),所以圆M的直径为2r=2|a|=. 故选BC. $$