2.6.1 直线与圆的位置关系 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.6.1　直线与圆的位置关系 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.掌握直线与圆的三种位置关系及判定方法(几何法和代数法); 2.掌握直线与圆相交弦长的求法; 3.掌握直线与圆相切问题中切线方程的求法. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 基础落实·必备知识一遍过 知识点 直线与圆的位置关系 直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 　　个  　　个  　　个  判定方法 几何法 设圆心到直线的距离d= d　　r  d　　r  d　　r  代数法 由 消元得到一元二次方程,判别式为Δ Δ　　0  Δ　　0  Δ　　0  2 1 0 < = > > = < 位置关系 相交 相切 相离 图形 名师点睛 “几何法”与“代数法”是从不同的方面,用不同的思路来判断直线与圆的位置关系.“几何法”侧重于“形”,更多地结合了图形的几何性质;“代数法”则侧重于“数”,它倾向于“坐标”与“方程”.一般常用几何法而不用代数法,因为代数法计算复杂,书写量大,易出错,几何法则较简洁. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若一条直线被圆所截得的弦最长,则圆心一定在直线上.(　　) (2)过圆上一点引直线,则该直线与圆不可能相离.(　　) (3)过一点作圆的切线有两条.(　　) √ √ × 2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 B 3.直线x=2与圆x2+y2=16相交于两点A,B,则|AB|=　　　　　.  解析 圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d= =1.∵d=r,∴直线与圆相切.故选B. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 直线与圆位置关系的判断 【例1】 已知圆C的方程(x+1)2+y2=1,直线l的方程y=2x-1.试用几何法与代数法判断直线l与圆C的位置关系. 分析 ①将直线方程代入圆的方程,消元后根据方程根的个数判断;②求出圆心到直线的距离,根据距离与半径的大小关系判断. 解 (方法1)方程(x+1)2+y2=1可化为x2+y2+2x=0,将y=2x-1代入x2+y2+2x=0,整理可得5x2-2x+1=0. 由Δ=(-2)2-4×5×1=4-20=-16<0,则直线l与圆C没有交点,故直线l与圆C相离. (方法2)由题得,圆C:(x+1)2+y2=1的圆心C(-1,0),半径r=1. 将y=2x-1化为2x-y-1=0. 因为r=1,则d>r,因此直线l与圆C相离. 规律方法　直线与圆位置关系的判断方法 方法 过程 结论依据 几何法 求出圆的半径r以及圆心到直线的距离d d与r的关系 代数法 联立直线方程与圆的方程组成方程组消元得到一元二次方程 一元二次方程根的个数 变式训练1 (1)若直线l过定点P(0,1),则直线l与圆(x-2)2+(y-1)2=5的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.与m的值有关 A (2)直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2+ax+by+c=0(a2+b2-4c>0)的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.与a,b,c的值有关 C 解析 将ax+by+c=0(abc≠0)代入x2+y2+ax+by+c=0,化简可得x2+y2=0,即x=y=0. 点(0,0)不满足直线ax+by+c=0(abc≠0),故直线方程代入圆的方程后无解,所以直线与圆相离. 探究点二 直线与圆相交弦问题 【例2】 已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,画出满足题意的图形,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长. 分析 根据方程与圆的形式画出图形,联立解方程组,求出直线与圆的交点坐标,利用两点间的距离公式或利用圆的几何性质求弦长. 解 (方法1)直线与圆的图形如图所示. 消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1. 把x1=2,x2=1分别代入方程①,得y1=0,y2=3. 因此直线l与圆C有两个公共点, 所以直线与圆相交,且两个交点坐标是A(2,0),B(1,3). 规律方法　直线与圆相交弦长的求法 [提醒]过圆外一点引直线与圆相交的弦长问题的易错点 过圆外一点引直线被圆截得的弦长为定值的问题中,若弦长不等于直径,则必定有两条直线,当设直线的点斜式结合已知条件列方程只求出一个斜率k时,则斜率不存在的直线必定满足题意. 变式训练2 过点(-4,0)作直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程. 解 由题知,圆(x+1)2+(y-2)2=25的圆心坐标是(-1,2),半径r=5. ①当直线l的斜率不存在时,直线x=-4满足题意; ②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0. 探究点三 圆的切线方程的求法 【例3】 已知圆O:x2+y2=1,过点P(2,1)作圆的切线,求切线方程. 分析 结合所给点与圆的位置关系,利用直线与圆相切时切线的几何性质,求出切线的斜率写出切线方程. 故所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0. 变式探究1 本题中,过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线,切点为Q,求|PQ|的长. 变式探究2 直线x-y+4=0上的一点向圆O:x2+y2=1引切线,求该点到切点距离的最小值. 解 圆O:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0),半径为1,由直线上的点P向圆O:x2+y2=1引切线,要使切线长最小,则|PO|最小,此时 规律方法　过一点求圆的切线方程的方法 点与圆的位置关系 求法 备注 点(x0,y0)在圆上 切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为 ,由点斜式可得切线方程 过圆上一点作圆的切线只有一条 如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0 点与圆的位置关系 求法 备注 点(x0,y0)在圆外 设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,即可得切线方程 由于过圆外一点的圆的切线有两条,当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况 [提醒](1)经过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)经过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线与圆的位置关系; (2)直线与圆位置关系的判断方法. 2.方法归纳:几何法、代数法判断直线与圆的位置关系,两点间的距离公式或圆的几何性质求弦长、求圆的切线方程. 3.注意事项:几何法、代数法判断直线与圆的位置关系相比较而言,几何法较代数法要简单;求解过一点与圆相交的相交弦长一定问题,设直线方程时不要忽视直线的斜率不存在的情况.过一点求圆的切线问题,首先判断点与圆的位置关系后,最好用几何法而不用代数法求解;过圆外一点引圆的切线有两条,若是利用点斜式设切线方程,求出一个斜率的值,则斜率不存在时的直线方程一定是圆的切线方程. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 1.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(　　) D 1 2 3 4 5 6 2.[2024甘肃酒泉高二期中](多选题)下列关于直线l:y=kx+b与圆C:x2+y2=1的说法正确的是(　 　) A.若直线l与圆C相切,则b2-k2为定值 B.若4b2-k2=1,则直线l被圆C截得的弦长为定值 C.若4b2-k2=1,则圆上仅有两个点到直线l的距离相等 ABD 1 2 3 4 5 6 解析 圆C:x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1. 对于A选项,若l:y=kx+b与圆C:x2+y2=1相切, 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3.若过点P(4,5)且与圆(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0)相切的直线只有一条,则r的值是　　　　　.  5 解析 依题意,点P(4,5)在圆(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0)上,因此r2=(4-1)2+(5-1)2 =25. 因为r>0,则r=5. 1 2 3 4 5 6 4.已知圆(x+1)2+(y-1)2=2-a截直线x+y+2=0所得弦长为4,则实数a的值是　　　　　.  -4 解析 由题可得,圆心为(-1,1),r2=2-a,则圆心到直线x+y+2=0的距离为 1 2 3 4 5 6 5.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是　　　　　.  [-3,1] 解析 圆(x-a)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线x-y+1=0的距离为d,则 1 2 3 4 5 6 6.[2024甘肃凉州高二期中]已知直线l:x-y+1=0和圆C:x2+y2-2x+4y-4=0. (1)判断直线l与圆C的位置关系,若相交,求直线l被圆C截得的弦长; (2)求过点(4,-1)且与圆C相切的直线方程. 1 2 3 4 5 6 (2)若过点(4,-1)的直线斜率不存在,则方程为x=4, 此时圆心C(1,-2)到直线x=4的距离为4-1=3=r,满足题意; 若过点(4,-1)且与圆C相切的直线斜率存在, 则设切线方程为y+1=k(x-4),即kx-y-4k-1=0, 综上,过点(4,-1)且与圆C相切的直线方程为x=4或4x+3y-13=0. 4 解析 将x=2代入x2+y2=16可得y=±2,因此|AB|=|2-(-2)|=4. 圆心C(-1,0)到直线l:2x-y-1=0的距离d=. 解析 由题知圆(x-2)2+(y-1)2=5的圆心C(2,1),半径r=,则|PC|==2<,即点P在圆C内部,故直线l与圆(x-2)2+(y-1)2=5的位置关系是相交.故选A. 联立直线l与圆C的方程 因此弦长|AB|=. (方法2)圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,因此圆心C的坐标为(0,1),半径为. 圆心C(0,1)到直线l的距离d=, 所以直线l与圆C相交,有两个公共点. 所以弦长|AB|=2. 方法 过程 图示 几何法 直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有()2+d2=r2,即|AB|=2 代数法 如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 由圆的性质可得,圆心到直线l的距离d==3. 由点到直线的距离公式得3=, 解得k=-. 所以直线l的方程为y=-(x+4),整理得5x+12y+20=0. 综上所述,直线l的方程为x+4=0或5x+12y+20=0. 解 由于|OP|=>1,因此P(2,1)在圆O:x2+y2=1外. (方法1)设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0. 由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得=1.解得k=0或k=. 故所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0. (方法2)设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2). 因为切线l与圆相切,所以方程组只有一组解. 消去y,得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0.① 因为方程①只有一个解,所以Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0,解得k=0或k=. 解 由于QO⊥PQ,且|OQ|=1,|OP|=,因此|PQ|==2. |PO|min==2,因此点P到切点距离的最小值为. - x0x+y0y+D·+E·+F=0. 解析 圆心(-2,2)到直线x-y+3=0的距离d=,圆的半径r=,则截得的弦长为2. A. B. C.2 D. D.当b=时,直线与圆相交 则=1,可得b2-k2=1,故A正确; 对于B选项,若4b2-k2=1,圆心到直线的距离为,此时直线被圆截得的弦长为2,故B正确; 对于C选项,因为4b2-k2=1,圆心到直线的距离为=1-<1,此时圆上有3个点到直线l的距离相等,故C错误; 对于D选项,当b=时,直线的方程为y=kx+,即直线过定点(0,),又因为02+<1,可得点在圆内,故直线与圆相交,故D正确.故选ABD. . 由22+()2=2-a,得a=-4. d≤r=,即,则|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 解 (1)由圆C:x2+y2-2x+4y-4=0可得,圆心C(1,-2),半径r==3, 圆心C(1,-2)到直线l:x-y+1=0的距离为d==2<r, 所以直线l与圆C相交,直线l被圆C截得的弦长为2=2. 则圆心到直线kx-y-4k-1=0的距离为=3,解得k=-, 所以切线方程为-x-y+=0,即4x+3y-13=0. $$