第2章 平面解析几何初步（培优课 对称问题的解法）课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

培优课　对称问题的解法 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.掌握平面上点关于点、线的对称问题的解法; 2.能够根据对称思想,求解实际问题. 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 重难探究·能力素养速提升 探究点一 点关于点、线的对称问题 【例1】 直线l:2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是(　　) A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0 C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0 D 解析 (方法1)设所求对称直线方程上的点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的对称点的坐标为(-2-x,4-y).因为点(-2-x,4-y)在直线l:2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,整理得2x+3y-2=0.故选D. (方法2)设直线l:2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线为l1,则l∥l1. 设直线l1的方程为2x+3y+t=0(t≠-6). 在直线2x+3y-6=0上任取一点P(0,2),点P(0,2)关于(-1,2)的对称点为P'(-2,2),将P'(-2,2)代入2x+3y+t=0(t≠-6)得t=-2.故所求方程为2x+3y-2=0.故选D. 规律方法　1.点关于点成中心对称的解法 若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于点P0(x0,y0)中心对称,则 2.线关于点成中心对称问题的解法 (1)设出所求直线上的点的坐标P(x,y),求出点P(x,y)关于M的对称点P'的坐标,将点P'的坐标代入已知直线,所得方程即为所求直线的方程; (2)根据直线l关于直线外一点M的对称直线与已知直线互相平行可得对称直线l'的斜率,再取直线l上任意一特殊点,求其关于点M的对称点,将该点代入直线l'中,即可求出直线l'的方程. 变式训练1 已知直线l1与l2关于原点对称,若l1的方程是x+2y-3=0,则l2的方程是(　　) A.x+2y+3=0 B.x-2y+3=0 C.2x+y+3=0 D.2x-y+3=0 A 解析 因为直线l1与l2关于原点对称,则只需将l1的方程中x改为-x,y改为-y,可得l2的方程是-x+2(-y)-3=0,即x+2y+3=0,故选A. 探究点二 轴对称问题 角度1点关于直线的对称问题 【例2】 求点A(-2,3)关于直线3x-y-1=0对称的点A'的坐标. 分析 设A(-2,3)关于直线的对称点为A'(x0,y0),根据对称性的特征建立方程组求解. 解 设A'(x0,y0),由题意, 所以点A关于直线3x-y-1=0对称的点A'为(4,1). 规律方法　1.点关于直线对称问题的解法 若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)对称,则线段P1P2的中点在直线l上,且直线P1P2⊥直线l, 2.点关于特殊的直线的对称问题的结论 点的坐标 对称直线 结论 点P(x0,y0) y=x (y0,x0) y=-x (-y0,-x0) x+y+t=0 (-t-y0,-t-x0) x-y+t=0 (y0-t,x0+t) 变式训练2 [2024甘肃高二期末](多选题)已知点M(1,0)关于直线mx-y+1=0(m∈R)的对称点N在直线x+y=0上,则实数m的值为(　　) AC 解析 因为点N在直线x+y=0上,设点N(a,-a), 又M(1,0), 化简为m(a+1)+a+2=0.① 因为MN与直线mx-y+1=0垂直, 角度2线关于线成轴对称问题 【例3】 已知直线l:x-y-1=0,l1:x-y+3=0,l2:2x-y-1=0. (1)求直线l1关于直线l的对称直线l1'的方程; (2)求直线l2关于直线l的对称直线l2'的方程. 解 (1)因为l1∥l,所以l1'∥l. 设直线l1'的方程为x-y+c=0(c≠3,且c≠-1). 在直线l1上取点M(0,3),设点M关于直线l的对称点为M'(a,b), 把点M'的坐标代入直线l1'的方程,得4-(-1)+c=0,解得c=-5. 所以直线l1'的方程为x-y-5=0. 规律方法　直线关于直线的对称直线方程的求解方法 设直线l1关于直线l的对称直线为l2. 直线l1与直线l的关系 方法 过程 平行 l1∥l2∥l,取直线l1上一点,求该点关于直线l的对称点 利用两直线平行及点关于直线对称求解 相交 求l与l1的交点,再在直线l1上取一点(不是交点),求该点关于直线l的对称点 利用点关于直线对称求方程 变式训练3 (1)求直线l1:2x-y+6=0关于直线l:2x-y+1=0对称的直线l2的方程; (2)求直线2x+y-4=0关于直线x-y+1=0对称的直线的方程. 解 (1)设直线l2的方程为2x-y+c=0(c≠6且c≠1),在直线l1:2x-y+6=0上取点 P(-2,2),设点P关于直线l:2x-y+1=0的对称点为P'(m,n),则 (2)因为直线2x+y-4=0与直线x-y+1=0相交,联立直线方程可得 探究点三 点关于直线对称问题的应用 【例4】 在直线l:3x-y-1=0上,求点P和Q,使得(1)点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小. 解 (1)如图所示,设点B关于直线l的对称点B'的坐标为(a,b), 联立①②可得a=3,b=3,即B'点的坐标为(3,3). 即直线l与直线AB'的交点坐标为P(2,5),且此时点P到点A,B的距离之差最大. (2)如图所示,设点C关于直线l的对称点为C'(m,n), 规律方法　求直线上一点到两定点的和(差)距离最值问题的求法 两定点A,B与定直线l的关系 直线上寻找一点到两定点的和最小 直线上寻找一点到两定点的差的绝对值最大 两定点A,B在定直线l的同侧 过一定点A(或B)关于直线l的对称点A'(或B'),连接AB'(或A'B)与直线l的交点即为所求 连接AB,则AB与直线l的交点即为所求 两定点A,B在定直线l的异侧 连接AB,则AB与直线l的交点即为所求 过一定点A(或B)关于直线l的对称点A'(或B'),连接AB'(或A'B)与直线l的交点即为所求 变式训练4 (1)已知A(1,4),B(8,3),点P在x轴上,求使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标; (2)已知点A(1,3),B(5,-2),在x轴上找一点P使|AP|-|BP|最大,求点P的坐标. 解 (1)A(1,4)关于x轴的对称点为A'(1,-4),因为|AP|+|BP|=|A'P|+|BP|≥|A'B|,当A',P,B三点共线时取等号, 此时点P为直线A'B与x轴的交点,直线A'B的直线方程为 ,整理得y=x-5. 令y=0,得x=5,所以P点坐标为(5,0). (2)如图所示,作点B关于x轴的对称点B'(5,2),由对称性可知|BP|=|B'P|,则|AP|-|BP|=|AP|-|B'P|. 当A,B',P三点不共线时,由三角形三边关系得|AP|-|B'P|<|AB'|; 当A,B',P三点共线时,|AP|-|B'P|=|AB'|. 所以|AP|-|B'P|≤|AB'|,当且仅当A,B',P三点共线时,等号成立,此时,直线AB' 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.点A(1,4)关于原点对称的点的坐标是(　　) A.(-1,4) B.(1,-4) C.(-1,-4) D.(-4,-1) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.点A(1,4)关于点M(0,-1)的对称点坐标是(　　) A.( ) B.(-1,2) C.(-1,6) D.(-1,-6) D 解析 由题意可知,点M是所求点与点A的中点,设所求点为A'(x,y),则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.点A(1,4)关于x轴的对称点的坐标是(　　) A.(-1,4) B.(1,-4) C.(-1,-4) D.(-4,-1) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.点P(2,5)关于直线x=4的对称点的坐标是(　　) A.(6,5) B.(6,-5) C.(5,6) D.(5,-6) A 解析 设点Q(a,b)为所求的对称点,则由题意知b=5,且点Q与点P的中点在直线x=4上,因此 =4,得a=6.故所求对称点是(6,5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是(　　) A.(5,2) B.(-5,-2) C.(-2,-5) D.(5,-2) B 解析 设对称点P'(m,n), 故点P关于直线x+y=0的对称点的坐标是(-5,-2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.直线2x-y=2关于直线2x-y+3=0的对称直线方程是　　　　　　　.  2x-y+8=0 解析 直线2x-y=2可化为2x-y-2=0,则直线2x-y-2=0与直线2x-y+3=0平行. 设所求直线的方程为2x-y+t=0(t≠-2,且t≠3),在直线2x-y=2上任取一点M(1,0),设点M关于直线2x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则 方程2x-y+t=0,解得t=8.故所求直线方程为2x-y+8=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.直线l与l1关于点(1,-1)中心对称,若直线l的方程是2x+3y-6=0,则直线l1的方程是　　　　　　　.  2x+3y+8=0 解析 在直线l1上任取一点A(x,y),则点A关于点(1,-1)的对称点B(2-x,-2-y)一定在直线l:2x+3y-6=0上,故有2(2-x)+3(-2-y)-6=0,整理得2x+3y+8=0.故直线l1的方程为2x+3y+8=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.已知直线l:y=3x+3. 求:(1)点P(4,5)关于直线l的对称点坐标; (2)直线y=x-2关于直线l对称的直线的方程. 解 (1)设点P(4,5)关于直线l:y=3x+3的对称点的坐标为(a,b), 故点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标为(-2,7). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7x+y+22=0,即直线x-y-2=0关于直线l对称的直线的方程为7x+y+22=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 9.已知点A(5,7)与点B关于直线l:y=x+1对称,则点B的坐标为(　　) A.(7,6) B.(4,7) C.(6,-7) D.(6,6) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.一束光线从点M(5,3)射出,经x轴反射后的光线经过点N(7,3),则反射光线所在的直线方程为(　　) A.y=3x-18 B.y=-3x-12 C.y=3x+12 D.y=-3x+18 A 解析 根据光线的反射原理,入射光线上的点关于反射面对称的点在反射光线的反向延长线上. 由题可知,点M(5,3)关于x轴对称的点为M'(5,-3),则M'(5,-3)在反射光线的反向延长线上. 则kM'N= =3,所以反射光线所在的直线方程为y-3=3(x-7),即y=3x-18.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.（多选题）光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射线恰好过点D(-1,6),则BC所在直线的方程是(　　) A.5x-2y+7=0 B.3x+y-1=0 C.3x-2y+4=0 D.2x-y-3=0 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b的方程是　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点A(2,0)与点B(-2,4)重合,则与点C(5,8)重合的点的坐标是　　　　　.  (6,7) 解析 由已知得折线为线段AB的垂直平分线,设垂直平分线的方程为y=kx+b,线段AB的中点为(0,2),斜率为kAB= =-1,则线段AB的垂直平分线的斜率k为1,将点(0,2)代入,可得b=2,故垂直平分线的方程为y=x+2. 设点C(5,8)关于直线y=x+2的对称点为P(x0,y0), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.已知点A(0,4)与点B关于直线l0:x+2y-3=0对称. (1)求B点的坐标; (2)一条光线沿直线l:x-y+4=0入射到直线l0后反射,求反射光线所在的直线方程. 解 (1)设B(a,b), 所以B点坐标为(-2,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)设反射光线所在的直线为l'. 因为点A在直线l上,所以点B在直线l'上. 设l与l0的交点为P, y=7x+14. 故反射光线所在的直线方程为y=7x+14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.在△ABC中,点A(2,-1),AB边上中线所在的直线方程为x+3y-6=0,∠ABC的内角平分线所在的直线方程为x-y+1=0. (1)求点B的坐标; (2)求△ABC的边BC所在直线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 17.如图,光线从P(a,0)(a>0)出发,经过直线l:x-3y=0反射到Q(b,0),该光线在Q点被x轴反射,若反射光线恰与直线l平行,且b≥13,则实数a的最小值是　　　　　.  5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 如图,设P关于直线l的对称点为M,则点M一定在第一次反射的反射光线所在直线上,设点M关于x轴的对称点为N,则点N在第二次反射的反射光线所在直线上. 得解得 即 A. B.2 C.- D.-2 则MN的中点坐标为(), 其必在直线mx-y+1=0上, 则m×+1=0, 当a≠1时,×m=-1,化简为am=a-1.② 联立①②,可解得 当a=1时,MN斜率不存在,故直线mx-y+1=0斜率为0,即m=0. 将a=1代入①式,得m=-,矛盾,故a=1不满足题意. 综上,m=±.故选AC. 则解得即点M'的坐标为(4,-1). (2)由所以l2与l的交点坐标为A(0,-1). 取直线l2上不同于点A的一点B(1,1),设B(1,1)关于l的对称点为B'(m,n),则解得即点B'的坐标为(2,0). 所以过A(0,-1)与B'(2,0)的直线l2'的方程为y=×(x-2),整理得x-2y-2=0. 解得即P'的坐标为(2,0).将P'的坐标代入方程2x-y+c=0,解得c=-4.故所求直线l2的方程为2x-y-4=0. 解方程组可得即两条直线的交点坐标为Q(1,2). 在直线2x+y-4=0上取一个点P(0,4),设P(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点为P'(m,n). 由中点坐标公式及斜率关系可得解方程组可得 所以P'点坐标为(3,1). 因为直线P'Q方程的斜率为k==-,由点斜式可得直线P'Q的方程为 y-2=-(x-1),整理得x+2y-5=0,即直线2x+y-4=0关于直线x-y+1=0对称的直线方程为x+2y-5=0. 则kBB'·kl=-1,即3×=-1,化简得a+3b-12=0.① 线段BB'的中点坐标为,且中点在直线l上, ∴3×-1=0,即3a-b-6=0.② 于是直线AB'的方程为,整理得2x+y-9=0. 解方程组 由题可知解得故C'的坐标为. ∴AC'所在直线的方程为,整理得19x+17y-93=0. 解方程组 即直线AC'和直线l交点坐标为,故Q点坐标为,且此时点Q到点A,C的距离之和最小. 的斜率为k==-,直线AB'的方程为y-3=-(x-1),即x+4y-13=0. 令y=0,解得x=13,即点P的坐标为(13,0). 解得即所求点的坐标为(-1,-6).故选D. 则解得 解得即点M'的坐标为(-3,2).将点M'的坐标代入 则由题意可得解得 (2)由解得 即直线x-y-2=0与y=3x+3的交点坐标为E(-,-). 在直线x-y-2=0上取一点C(0,-2), 设点C关于直线y=3x+3的对称点为N(m,n), 则解得即N(-3,-1), 又由kEN==-7,所以直线EN的方程为y-(-1)=-7[x-(-3)],整理得 解析 设B(x,y),则AB的中点坐标是(),则由题意可得解得即B(6,6).故选D. 12.很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如,与相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,对于函数f(x)=,f(x)的最小值为 (　　) A.2 B.2 C.2 D.2 y=-x+ 解析 由题意得,直线AB与直线y=kx+b垂直,且线段AB的中点(-,2)在直线y=kx+b上. 由kAB=,可得解得故直线方程为y=-x+. 则解得因此所求点的坐标是(6,7). 则解得 联立方程解得 所以P(-). 反射光线所在的直线即为直线BP,其直线方程为y=(x+2),整理得 解 (1)设点B(x0,y0),则解得故点B的坐标为(). (2)设点A(2,-1)关于x-y+1=0对称的点为A'(m,n),则AA'的中点坐标为(),kAA'=,解方程组 则A'(-2,3). 由(1)知B(),所以kA'B=, 所以直线BC的方程为y-(x-),整理得x-9y+29=0.故△ABC的边BC所在直线的方程为x-9y+29=0. 设M(x,y),则解得即M(a,a). 则点N坐标为(a,-a). 由题意kQN=,整理得b=a. ∵b≥13,∴a≥13,解得a≥5.故a的最小值为5. $$