2.1 直线的斜率 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第2章　平面解析几何初步 2.1　直线的斜率 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念; 2.掌握斜率与倾斜角之间的关系; 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 直线的倾斜角 定义  　　　　　　　　 注意旋转的方向性 当直线l与x轴相交时,我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l 　　　　　首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角  　　　　 目的是将角限定在0到π的范围内 规定 当直线l和x轴平行或重合时,规定倾斜角α=　　  记法 α 向上方向 0 图示 　 (锐角)　　　　　(钝角) 范围 0≤α<π 名师点睛 1.倾斜角定义的三个条件: ①x轴正方向;②直线向上的方向;③首次重合(即小于180°的非负角). 2.倾斜角刻画了一条直线的倾斜程度,倾斜角越接近 倾斜程度越大. 3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)对于平面直角坐标系中的每一条直线与其倾斜角α是一一对应关系.(　　) (2)若一条直线的倾斜角α=0,则该直线与x轴平行.(　　) (3)倾斜程度相同的直线,其倾斜角也一定相等.(　　) × × √ 2.下图中倾斜角α的图示是否正确? 提示(1)不正确　(2)不正确　(3)不正确　(4)不正确 知识点2 直线的斜率 1.定义:一条直线的倾斜角α(α≠ )的　　　　　　k称为这条直线的斜率,即k=tan α. 的正切值不存在 2.斜率公式:设直线l不垂直于x轴.已知直线l上任意两个不同点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的倾斜角为α,则直线l的斜率为 k=　　　　　　　　.  上式即为经过两个不同点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式. 直线上点的横坐标不相等 正切值 名师点睛 斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(取值范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率(取值 范围) 0 (0,+∞) 不存在 (-∞,0) 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)任一直线都有倾斜角,都存在斜率.(　　) (2)若α是直线l的倾斜角,且sin α = ,则直线l的斜率为k=1.(　　) (3)若一条直线的斜率为k=tan α,则它的倾斜角为α.(　　) 2.直线的倾斜角与斜率是一一对应的吗? × × × 提示不是,任意一条直线都有倾斜角,但并不是任意一条直线都有斜率,如倾斜角为α= 的直线斜率不存在.因此直线的倾斜角与斜率不是一一对应的. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 直线的倾斜角 【例1】 已知直线l过原点,直线l绕原点按顺时针方向转动α角(0<α<π)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少. 分析结合已知条件,作出满足题意的几何图形,根据倾斜角的定义求解. 解 由题意画出满足题意的几何图形,如下. 规律方法　求直线的倾斜角的方法及注意点 (1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)注意事项:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0;当直线与x轴垂直时,倾斜角为 . ②注意直线倾斜角的取值范围是0≤α<π. (3)提醒:画图时不要忘记分类讨论,讨论时标准主要有0、锐角、直角和钝角四类. 变式训练1 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α.如果将直线l绕坐标原点按逆时针方 D 解析 根据题意,画出图形,如图所示. 探究点二 斜率公式及其应用 角度1根据斜率公式求斜率 【例2】 已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1). (1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角? (2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角? (3)直线MN的倾斜角可能为直角吗? 分析根据与点的坐标有关的斜率公式计算出直线的斜率,结合倾斜角的取值范围转化为斜率的正负,建立不等式求解. 解 (1)若倾斜角为锐角,则直线MN的斜率k>0,即k= >0,解得m>-2,即当m>-2时,直线MN的倾斜角为锐角. (2)若倾斜角为钝角,则直线MN的斜率k<0,即k= <0,解得m<-2,即当m<-2时,直线MN的倾斜角为钝角. (3)当直线MN垂直于x轴时,直线MN的倾斜角为直角,此时m+3=m-2,方程无解,故直线MN的倾斜角不可能为直角. 规律方法　根据斜率公式求直线斜率及倾斜角的方法 条件 方法 直线的倾斜角α(α≠ ) 利用斜率的定义,即k=tan α 直线上两点的坐标,直线不垂直于x轴 利用过两点的直线的斜率公式 变式训练2 已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2, +1).求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角. 角度2三点共线问题 【例3】 已知A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线上,求直线的斜率k及a,b的值. 规律方法　利用斜率公式求解三点共线问题的方法 已知三个点的坐标求解三点共线问题,只需要利用三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在)即可. 变式训练3 若A(-2,3),B(3,-2),C( ,m)三点在同一条直线上,则m的值为　　　　　.  角度3利用斜率公式求解过定点的直线与线段交点问题 【例4】 直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, )为端点的线段有公共点,求直线l斜率的取值范围. 分析作出满足题意的几何图形,分别计算出kPA,kPB,结合图形求取值范围. 变式探究 若将例4中的B点坐标改为(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的取值范围. 规律方法　过定点的直线与线段相交时斜率取值范围的求法 涉及直线与线段有交点问题时,常通过数形结合利用斜率公式求解.一般地,当直线绕定点由与x轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时,斜率由0逐渐增大到+∞(即斜率不存在);按顺时针方向旋转到与x轴垂直时,斜率由0逐渐减小至-∞(即斜率不存在). 角度4利用斜率公式的几何意义求最值 【例5】 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(3,1),C(2,3).若点P(x,y)在△ABC的内部及其边界上运动,求 的取值范围. 分析 由于 表示点P(x,y)与点Q(-1,-1)两点连线的斜率,因此利用其几何意义结合图形特征求解. 变式训练4 已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求 的最大值和最小值. 解 如图所示,由于点P(x,y)满足关系式2x+y=8,且2≤x≤3,可知点P(x,y)在线段AB上移动,并且A,B两点的坐标可分别求得为(2,4),(3,2). 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线的倾斜角; (2)直线的斜率的定义及计算公式; (3)直线的倾斜角与斜率的关系. 2.方法归纳:定义法求直线的倾斜角,公式法求直线的斜率,数形结合法求斜率的取值范围. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 1.若直线l与x轴不垂直,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A.[0,π] C 1 2 3 4 5 6 2.[2024甘肃张掖高二阶段练习]已知两点A(2,-3),B(-3,2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是(　　) B 1 2 3 4 5 6 解析 如下图所示, 1 2 3 4 5 6 3.(多选题)如图,在平面直角坐标系中有三条直线l1,l2,l3,其对应的斜率分别为k1,k2,k3,则下列选项中错误的是( 　　) A.k3>k1>k2 B.k1-k2>0 C.k3>k2>k1 D.k1·k2<0 ABD　 解析 由题图可知,三条直线l1,l2,l3的倾斜角θi(i=1,2,3)满足π>θ2>θ1> >θ3>0,则k1<0,k2<0,k3>0,且k1<k2,可知选项A,B,D错误.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 4.[2024甘肃酒泉高二四校联考期中]已知直线l经过点 1 2 3 4 5 6 5.已知点A(-3,-1),B(1,3),C(a,8)三点共线,则a=　　　　　.  6 1 2 3 4 5 6 6.求图中各直线的倾斜角. 1 2 3 4 5 6 解 (1)如图1,可知∠OAB为直线l1的倾斜角, ∵∠ABO=30°,∴∠OAB=60°,即直线l1的倾斜角为60°. (2)如图2,可知∠xAB为直线l2的倾斜角, ∵∠OBA=45°,∴∠OAB=45°,∴∠xAB=135°, 即直线l2的倾斜角为135°. (3)如图3,可知∠OAC为直线l3的倾斜角, ∵∠ABO=180°-120°=60°,∴∠BAO=30°,∴∠OAC=150°, 即直线l3的倾斜角为150°. tan α= 由图可知,当α为钝角时,倾斜角为α-; 当α为锐角时,倾斜角为α+; 当α为直角时,倾斜角为0. 综上,直线l转动前的倾斜角为 向旋转得到直线l1,那么直线l1的倾斜角(　　) A.为α+ B.为α- C.为-α D.当0≤α<时,为α+;当≤α<π时,为α- 通过图形可知,当0≤α<时,l1的倾斜角为α+; 当≤α<π时,l1的倾斜角为+α-π=α-,故选D. 解 由斜率公式得kAB==0,kBC=,kAC=. 倾斜角的取值范围是0≤α<π. ∵tan 0=0,则直线AB的倾斜角为0. ∵tan,则直线BC的倾斜角为. ∵tan,则直线AC的倾斜角为. 解 由题意可知,kAB==2,kAC=,kAD=. 因为A,B,C,D四点在同一条直线上, 所以k=2=,解得a=4,b=-3, 所以直线的斜率k=2,a=4,b=-3. 解析 因为A,B,C三点在同一条直线上,所以kAB=kAC,所以,解得m=. 解 根据题意画出图形,如图所示. 由题可得,kAP==1,kBP==-. ∴要使直线l与线段AB有公共点, 则直线l的斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞). 解 如图,直线PA的倾斜角为, 直线PB的倾斜角为, 由图象知l的倾斜角的取值范围为[0,]∪[,π). 解 如图.由Q(-1,-1)及已知条件可知,kQA==1,kQC=,kQB=. 由表示点P(x,y)与点Q(-1,-1)两点连线的斜率可知. 所以的取值范围是[]. 规律方法　求代数式的最值或取值范围问题的方法 由斜率公式k=的形式,可知的几何意义是过P(x,y)与P'(a,b)两点的直线的斜率,故可以利用数形结合来求解. 由于的几何意义是直线OP的斜率,且kOA=2,kOB=,所以可求得的最大值为2,最小值为. 3.注意事项:倾斜角为的直线不存在斜率,正切函数在区间[0,)∪(,π)上不是单调函数,利用两点间的斜率公式计算斜率时,要注意x1≠x2. 解析 因为直线l与x轴不垂直,所以直线l的倾斜角α的取值范围是[0,)∪(,π),故选C. B.[0,)∪(,π] C.[0,)∪(,π) D.[0,π) A. B. C. D. 当直线l过点A时,k==-4, 当直线l过点B时,k==-, 由图知,k≤-4或k≥-.故选B. 解析 过A(3,),B(,1)两点的直线的斜率为k=. 设α是直线l的倾斜角,因为k=tan α,α∈[0,π), 所以α=. A(3,),B(,1),直线l的倾斜角是　　　　　.  解析 由题可知,kAB==1,kBC=. 又A,B,C三点共线,所以kAB=kBC,即=1,解得a=6. $$