专题11.2 三角形的内角和外角、多边形及其内角和（11考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题11.2 三角形的内角和外角、多边形及其内角和 目录 【典型例题】 1 【考点一 三角形内角和定理的证明】 1 【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】 4 【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 6 【考点四 三角形折叠中的角度问题】 8 【考点五 直角三角形的两个锐角互余】 10 【考点六 三角形的外角的定义及性质】 11 【考点七 求多边形内角和问题】 14 【考点八 正多边形的内角问题】 15 【考点九 多边形截角后的内角和问题】 16 【考点十 正多边形的外角问题】 18 【考点十一 多边形外角和的实际应用】 19 【过关检测】 21 【典型例题】 【考点一 三角形内角和定理的证明】 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（    ） A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作 C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作， 【变式训练】 1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 2．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（    ） 定理：三角形的内角和为． 已知：．    求证：． 证明：延长到点，过点作， ◎（两直线平行，内错角相等）， ___▲______（_____※______）． （平角定义）， （等量代换）． A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等 【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，过点作．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（    ）    A．45° B．60° C．90° D．105° 2．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（    ）    A．35° B．45° C．55° D．65° 【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，和分别平分和，若，则的大小为______ ．    【变式训练】 1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，，．求的度数． 2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在中，是的角平分线，作交于点E，，，求的度数．    【考点四 三角形折叠中的角度问题】 例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）如图，已知中，，现将进行折叠，使顶点、均与顶点A重合，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，将沿着平行于的直线折叠，使得点落到点处，若，，则的度数为______．    2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为(如图丙)，则的大小为______°．    【考点五 直角三角形的两个锐角互余】 例题：（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，直线，于点A，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，，，，则_________．    【考点六 三角形的外角的定义及性质】 例题：（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知直线，被直线，所截，且，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）如图，若，，，则___________． 2．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知，点A在上，点B和D在上，点C在的延长线上，，，则的度数是_____．    【考点七 求多边形内角和问题】 例题：（2024上·湖北咸宁·八年级统考期末）已知一个多边形的内角和为，则它的边数为 . 【变式训练】 1．（2023上·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期中）十一边形的内角和为 ． 2．（2023上·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期中）如图，分别是四边形的内角，外角的平分线，若，则 °．    【考点八 正多边形的内角问题】 例题：（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个内角为 度． 【变式训练】 1．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）若一个正多边形每一个内角都等于，则此正多边形的对角线总条数为 ． 2．（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的内角和是 ． 【考点九 多边形截角后的内角和问题】 例题：（2024上·北京朝阳·八年级统考期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ． 【变式训练】 1．（2023上·辽宁营口·八年级校联考期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边． 2．（2023上·四川南充·八年级校联考阶段练习）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ． 【考点十 正多边形的外角问题】 例题：（2023上·广西南宁·八年级校考期中）如图，六角螺母的横截面是正六边形，则的度数为 ．      【变式训练】 1．（2023上·重庆·八年级校联考期中）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 ． 2．（2023上·浙江·九年级校联考期中）如果一个正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为 ． 【考点十一 多边形外角和的实际应用】 例题：（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期末）如图，正三角形（图和正五边形（图2）的边长相同．点为的中心，用5个相同的拼入正五边形中，得到图3，则图3中的五角星的五个锐角均为 ． 【变式训练】 1．（2023上·吉林松原·八年级校联考期末）如图，A、B、C、D为一个外角为的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ． 2．（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为 °． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图，正五边形，平分，平行，则（　　） A． B． C． D． 4．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2023·浙江·八年级假期作业）定理：三角形的内角和是180°． 已知：、、是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 二、填空题 6．（浙江省杭州市萧山区高桥初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）若一个多边形的内角和的比一个五边形的内角和多，那么这个多边形的边数是 ． 7．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为 ． 8．（23-24八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 9．（22-23八年级上·山西太原·期中）如图，在中，是上一点，，垂足分别为D，F，若，则 ， ， ． 10．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 度． 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图①，试比较的大小；如图②，试比较的大小．    12．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）已知一个边形的每一个内角都等于． (1)求； (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 13．（22-23七年级下·广西桂林·期中）如图，在中，平分与相交于点H，． (1)试说明的理由； (2)若，求的度数． 14．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： (1)的值为______； (2)小明走出的这个多边形周长为______； (3)若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 15．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与、的数量关系．写出结论，无须证明． 16．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）在四边形中，． (1)如图①，若，求出的度数； (2)如图②，若的角平分线交于点E，且，求出的度数； (3)如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数． 17．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图所示，，则的度数为______； (3)如图，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，，，若，，求的度数． 18．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.2 三角形的内角和外角、多边形及其内角和 目录 【典型例题】 1 【考点一 三角形内角和定理的证明】 1 【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】 4 【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 6 【考点四 三角形折叠中的角度问题】 8 【考点五 直角三角形的两个锐角互余】 10 【考点六 三角形的外角的定义及性质】 11 【考点七 求多边形内角和问题】 14 【考点八 正多边形的内角问题】 15 【考点九 多边形截角后的内角和问题】 16 【考点十 正多边形的外角问题】 18 【考点十一 多边形外角和的实际应用】 19 【过关检测】 21 【典型例题】 【考点一 三角形内角和定理的证明】 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（    ） A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作 C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作， 【答案】C 【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由，则，．由，得，故符合题意． B、由，则，．由，得，故符合题意． C、由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意． D、由，得，，则．由，得，，由，得，故符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 【答案】C 【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】A、，，，由 ，得 ，故A不符合题意； B、，，，由 ，得 ，故B不符合题意； C、，，，无法证得三角形的内角和等于，故C符合题意； D、如图，，，，，，，，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键． 2．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（    ） 定理：三角形的内角和为． 已知：．    求证：． 证明：延长到点，过点作， ◎（两直线平行，内错角相等）， ___▲______（_____※______）． （平角定义）， （等量代换）． A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可． 【详解】证明：延长到点，过点作， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． （平角定义）， （等量代换）． ∴四个选项中只有B选项结论错误，符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，过点作．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质可求得出的度数，然后在中利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点．牢记三角形内角和是是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（    ）    A．45° B．60° C．90° D．105° 【答案】D 【分析】由直角三角形的性质得出，，由平行线的性质得出，再由三角形内角和定理即可求出∠CGD的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 2．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（    ）    A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得，，再根据三角形内角和定理得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键． 【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，和分别平分和，若，则的大小为______ ．    【答案】/110度 【分析】由三角形的内角和定理可求得，再由角平分线的定义可求得，从而可求． 【详解】， ， 和分别平分和， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，解答的关键是明确三角形的内角和为． 【变式训练】 1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，，．求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和为，分别列出和的内角和等式，再根据已知条件，即可求解． 【详解】，，． ， 是角平分线， ， 在中，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义，掌握三角形内角和为是解题的关键． 2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在中，是的角平分线，作交于点E，，，求的度数．    【答案】 【分析】利用三角形内角和求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质求出，再利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵，， ， 平分， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【考点四 三角形折叠中的角度问题】 例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）如图，已知中，，现将进行折叠，使顶点、均与顶点A重合，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠得到，结合三角形内角和求出的度数． 【详解】解：在中，， ∵折叠， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到角相等． 【变式训练】 1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，将沿着平行于的直线折叠，使得点落到点处，若，，则的度数为______．    【答案】100 【分析】根据三角形的内角和定理，即可求出，然后根据平行线的性质，即可求出，再根据折叠的性质可得，从而求出． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质：， ∴． 故答案为：100． 【点睛】此题考查的是三角形的内角和应用、平行线的性质和折叠的性质，掌握三角形的内角和定理、平行线的性质和折叠的性质是解决此题的关键． 2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为(如图丙)，则的大小为______°．    【答案】72 【分析】设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设，根据翻折不变性可知，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、三角形的内角和定理，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 【考点五 直角三角形的两个锐角互余】 例题：（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形两锐角互余是解题关键． 【变式训练】 1．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，直线，于点A，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两个锐角互余及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查直角三角形的两个锐角互余及平行线的性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余及平行线的性质是解题的关键． 2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，，，，则_________．    【答案】/30度 【分析】利用同角的余角相等进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查垂直的定义，互余关系．熟练掌握同角的余角相等，是解题的关键． 【考点六 三角形的外角的定义及性质】 例题：（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知直线，被直线，所截，且，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形外角的性质求出，再根据平行线的性质即可得到的度数 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线和三角形外角的性质． 【变式训练】 1．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）如图，若，，，则___________． 【答案】/149度 【分析】延长交于点，由三角形的外角性质可求得的度数，再次利用三角形的外角性质即可求的度数． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵，，是的外角， ， ∵，是的外角， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解题的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 2．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知，点A在上，点B和D在上，点C在的延长线上，，，则的度数是_____．    【答案】/40度 【分析】利用平行线的性质求出，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质是解决本题的关键． 【考点七 求多边形内角和问题】 例题：（2024上·湖北咸宁·八年级统考期末）已知一个多边形的内角和为，则它的边数为 . 【答案】8 【分析】本题考查多边形内角和公式，若多边形边数为，其内角和为，利用公式即可解题． 【详解】解：设多边形边数为， 有，解得， 所以多边形边数为8． 故答案为：8． 【变式训练】 1．（2023上·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期中）十一边形的内角和为 ． 【答案】/1620度 【分析】本题主要考查多边形内角公式，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式：． 【详解】解：十一边形的内角和等于：． 故答案为：． 2．（2023上·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期中）如图，分别是四边形的内角，外角的平分线，若，则 °．    【答案】25 【分析】本题考查了角平分线，三角形外角的性质，多边形内角和．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由角平分线可得，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵分别是四边形的内角，外角的平分线， ∴，， ∴ 故答案为：25． 【考点八 正多边形的内角问题】 例题：（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个内角为 度． 【答案】120 【分析】本题主要考查了多边形的内角和正多边形，首先设此多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的内角和除以9，即可求得答案． 【详解】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：， 解得：， ∴这个正多边形的每一个内角等于：． 故答案为：120． 【变式训练】 1．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）若一个正多边形每一个内角都等于，则此正多边形的对角线总条数为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，根据正n边形的内角和为，结合每个内角度数为求出边数n，再根据n边形一个顶点可以引条对角线进行求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴此正多边形的对角线总条数为条， 故答案为：54． 2．（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的内角和是 ． 【答案】/540度 【分析】本题考查正多边形的内角和和外角和的综合，先利用正多边形的外角和为求得边数，再根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：∵正多边形的每个外角为， ∴这个正多边形的边数为， ∴这个正多边形的内角和为， 故答案为：． 【考点九 多边形截角后的内角和问题】 例题：（2024上·北京朝阳·八年级统考期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ． 【答案】5或6或7 【分析】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数为n，则， 解得， 即得到的多边形是6边形， 当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形， 当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况： ①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形； ②不过多边形的顶点，则原来的是5边形， 综上所述，原多边形的边数为5或6或7， 故答案为：5或6或7． 【变式训练】 1．（2023上·辽宁营口·八年级校联考期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边． 【答案】或或9 【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：以五边形为例，如图所示： 剪去一个内角后，多边形的边数可能加，可能不变，也可能减 设新多边形的边数为， 则， 解得： ∴原多边形可能有或或9条边． 故答案为：或或9． 2．（2023上·四川南充·八年级校联考阶段练习）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ． 【答案】或或 【分析】根据剪去一个角后的多边形的边数有：增加1、减少1、不变三种情况求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵六边形截去一个角后的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， ∴新多边形的内角和为， ， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，难点在于判断出剪去一个角后多边形的边数． 【考点十 正多边形的外角问题】 例题：（2023上·广西南宁·八年级校考期中）如图，六角螺母的横截面是正六边形，则的度数为 ．      【答案】/60度 【分析】根据正多边形的外角相等，结合外角和为，求解即可．掌握正多边形的每个外角都相等，是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的每个外角都相等， ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023上·重庆·八年级校联考期中）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 ． 【答案】45 【分析】本题考查的是正多边形的外角问题，由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：正八边形的外角和为， ， 故答案为：45． 2．（2023上·浙江·九年级校联考期中）如果一个正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为 ． 【答案】12/十二 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数，计算即可求解． 【详解】解：这个正多边形的边数为：， 故答案为：12． 【考点十一 多边形外角和的实际应用】 例题：（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期末）如图，正三角形（图和正五边形（图2）的边长相同．点为的中心，用5个相同的拼入正五边形中，得到图3，则图3中的五角星的五个锐角均为 ． 【答案】/48度 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的性质．根据图1先求出正三角形内大钝角的度数是，则两锐角的和等于，正五边形的内角和是，求出每一个内角的度数，然后解答即可． 【详解】解：如图，图1先求出正三角形内大钝角的度数是， ， ， 正五边形的每一个内角， 图3中的五角星的五个锐角均为：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023上·吉林松原·八年级校联考期末）如图，A、B、C、D为一个外角为的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键． 连接，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】连接， 正多边形的每个外角相等，且其和为， 据此可得正多边形的边数为：， ， ． ∴ 故答案为： 2．（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的外角和以及内角与外角之间的关系，利用多边形的外角和求出一个外角的大小，然后再用度减去外角度数即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴每个外角为， ∴每个内角为， 故答案为：． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，解题的关键是熟记公式． 根据多边形的内角和公式，据此求解即可． 【详解】解：六边形的内角和为， 故选：C． 2．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据得到，然后求出，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图，正五边形，平分，平行，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形．解决问题的关键是熟练掌握多边形内角和定理，外角和定理，正多边形性质，角平分线定义． 根据正五边形内角和与角平分线定义，求出的度数，根据正五边形外角和与角平分线定义，求出的度数,在四边形中即可求出的度数． 【详解】如图： ∵正五边形中，，平分， ∴， ∵，平分正五边形的外角， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠，三角形的内角和定理，根据折叠的性质，结合角的和差关系求出，，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵，且∠1=100°， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2023·浙江·八年级假期作业）定理：三角形的内角和是180°． 已知：、、是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，，即可推出结论． 【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴． ①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意； ②@表示，故②正确，符合题意； ③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意； 综上：正确的有②④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 二、填空题 6．（浙江省杭州市萧山区高桥初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）若一个多边形的内角和的比一个五边形的内角和多，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角．设这个多边形的边数是，根据已知条件列出关于的方程式即可作答． 【详解】解：设这个多边形的边数是， ， 解得：． 故答案为：16． 7．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数，然后根据周角求出答案．几何图形镶嵌成平面的关键：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【详解】解：正六边形内角和 ， 所以每个内角度数， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义． 先根据，，求出，进而得出，最后根据三角形的外角定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：30． 9．（22-23八年级上·山西太原·期中）如图，在中，是上一点，，垂足分别为D，F，若，则 ， ， ． 【答案】 /度 /度 /度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，邻补角，余角的有关计算，先利用邻补角的定义求出，由垂线的定义得出，则有余角的定义求出，根据等边对等角求出，再利用三角形三角和定理求出，再利用余角的定义求出即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，． 10．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 度． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及分类讨论思想．当为直角三角形时，有两种情况或，依据三角形内角和定理，结合具体图形分类讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图1，当时， ∵， ∴； ②如图2，当时， ∵，， ∴， ∴， 综上，则的度数为或； 故答案为：或； 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图①，试比较的大小；如图②，试比较的大小．    【答案】图①，图② 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，即可得出结果． 【详解】图①：解：∵， ∴． 图②：解：∵， ∴． 12．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）已知一个边形的每一个内角都等于． (1)求； (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 【答案】(1) (2) (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出条对角线 【分析】此题主要考查了多边形内角和，外角和，对角线，关键是掌握各知识点的计算公式． （1）首先求出外角度数，再用除以外角度数可得答案． （2）利用内角度数乘以内角的个数即可． （3）根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，即可得答案． 【详解】（1）解：∵每一个内角都等于， ∴每一个外角都等于， ∴边数． （2）解：∵， ∴这个边形的内角和为． （3）解：从一个顶点出发可画出对角线的条数：， ∴从这个边形的一个顶点出发，可以画出条对角线． 13．（22-23七年级下·广西桂林·期中）如图，在中，平分与相交于点H，． (1)试说明的理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定和角平分线的定义，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键． （1）求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出即可． （2）根据，求出，可得，从而得到，利用三角形内角和得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 14．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： (1)的值为______； (2)小明走出的这个多边形周长为______； (3)若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的外角和等于，即可求解； （2）用多边形的边数乘以的长，即可求解； （3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：15 （2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形， ∴这n边形的周长为（米）； 故答案为：150 （3）解：设这个多边形有条边， 根据题意，得， 解得，                ∴这个正m边形的每一个内角的度数为． 15．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与、的数量关系．写出结论，无须证明． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质等知识，涉及分类讨论思想，灵活运用这些知识是关键． （1）由三角形内角和可求得，由角平分线定义、三角形外角性质及三角形内角和即可求得的度数； （2）分及两种情况考虑，利用三角形内角和定理、角平分线定义及三角形外角的性质即可得到数量关系． 【详解】（1）解：，， ； 平分， ， ； ， ， ； （2）解：猜想：或 证明如下： ①当时； ； 平分， ， ； ， ， ； ②当时，如图； ； 平分， ， ； ， ， ； 综上：或 16．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）在四边形中，． (1)如图①，若，求出的度数； (2)如图②，若的角平分线交于点E，且，求出的度数； (3)如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了四边形的内角和、三角形的内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，熟练运用平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． （1）根据四边形的内角和是结合已知条件可得，然后结合即可解答； （2）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，最后根据三角形外角的性质即可解答； （3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得，再进一步然后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵和的角平分线交于点E，， ∴，， ∴， ∴． 17．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图所示，，则的度数为______； (3)如图，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，，，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）根据三角形的内角和即可得到结论； （）由三角形外角性质得，，则，由三角形外角性质得，则，所以，又由三角形外角性质得，则，即可求解； （）根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，两等式相加得到，即，然后把，代入计算即可； 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∵， ∴； （2）如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：以为交点“字型”中，有，以为交点“字型”中，有， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 18．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 【答案】(1)；是 (2)平行，理由见解析 (3)的度数是 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“完美三角形”的概念判断； （2）根据同角的补角相等得到，根据平行线的性质得到，推出； （3）根据得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为“完美三角形”， 故答案为：；是； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵是“完美三角形”，且为钝角， ∴， ∵， ∴， 因此的度数是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$