1.2一定是直角三角形吗教学设计2024-2025学年北师大版八年级数学上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 一定是直角三角形吗 教科书 书名：义务教育教科书数学教材 出版社：北京师范大学出版社 教学目标 1.经历从实验到验证的过程，掌握勾股定理逆定理，发展推理能力； 2.通过勾股定理逆定理的简单应用，了解勾股数的概念，体会数学的应用价值，发展几何直 观 . 教学内容 教学重点： 1.理解勾股定理逆定理的具体内容，了解及勾股数的概念，能根据所给三角形三边的条件判 断是否是直角三角形. 教学难点： 1.弄清勾股定理和勾股定理逆定理之间的互逆关系. 教学过程 一、复习回顾 1.上节课我们从边的角度对直角三角形进行了深入认识，一起研究了勾股定理，反过来， 一个三角形满足什么条件就是直角三角形呢?除了从角的角度去判断，你还能用其他方法判 断一个三角形是直角三角形吗? 2.视频引入.观看视频，展示古埃及人的智慧，了解古埃及人得到直角的方法，开启今 天的学习之旅! 设计意图：通过思维导图展示直角三角形，温故知新引导学生从角和边两个角度进行梳 理直角三角形性质和判定；通过古埃及人结绳得直角进行引入，展示古埃及人的智慧，让学生 感受到生活中处处有数学，为本堂课的学习做铺垫. 二、探究新知 1. 探索发现. 聪明的埃及人制作了这样一条神奇的绳子，在一条绳子上打了一些等距的结，用这条绳 子围成一个三角形一定是直角三角形吗? 2. 特殊验证. 下面有四组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: ①5,12,13; ②7,24,25;③8,15,17. 回答下列问题： (1)这三组数都满足 a²+ b²=c² 吗? (2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?分 别以每组数为三边长作出三角形，它们都是直角三角形吗?你是怎么判断的? 经过计算发现三组数据满足a²+ b²=c² ①5,12,13满足a²+b²=c², 可以构成直角三角形； ②7,24,25满足 a²+b²=c², 可以构成直角三角形； ③8,15,17满足a²+b²=c², 可以构成直角三角形. 借助几何画板软件进行探究. 3.大胆猜想. 从上面的探究，我们能不能得出一个更一般的结论? 如果一个三角形的三边长a,b,c, 满足 a²+b²=c², 那么这个三角形是直角三角形. 4.推理求证. 如何来论证这个猜想?结合图形写出这个猜想的条件和结论. 构造全等三角形进行证明： 已知：如图，在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b, 且a²+b²=c². 求证：△ABC是直角三角形. 证明：作一个直角∠MC₁N,在C₁M上截取C₁B₁=a=CB,在C₁N上截取C₁A₁=b=CA,连接A₁B₁ 在Rt△A₁C₁B₁ 中，由勾股定理，得A₁B₁²=a²+b²=AB² 在△ABC和△A₁B₁C₁ 中， ∴△ABC≌△A₁B₁C₁ (SSS) ∴∠C=∠C=90° ∴△ABC是直角三角形. 通过以上探究得到如下定理： 勾股定理的逆定理： 文字语言：如果一个三角形的三边长a,b,c,满足a²+b²=c², 那么这个三角形是直角三角形. 符号语言： ∵在△ABC中，BC=a,CA=b,AB=c,且a²+b²=c², ∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°. 图形语言(如图) 设计意图：文字语言，几何语言，图形语言是数学常用的的三大语言.将勾股定理的条件 和结论互相交换得到一个新的命题，探索并证明这个命题是真命题，这也是勾股定理逆定理 的内容，它是我们数学中研究问题的常用视角.同时，勾股定理的逆定理属于事实性知识，与 勾股定理互为逆定理，是从边的角度判定一个三角形是直角三角形，和前面学过的一些判定 方法不同，它是通过数的计算来作形的判断，体现了数形结合的数学思想.探索定理的过程让 学生经历科学探索的一般方法“实验—猜想—论证”,从特殊到一般再回到特殊，积累数学基 本活动经验，通过几何画板直观感受，再到推理求证引导学生条理化，规范学生书写几何推 理的正确格式，体会到数学和其他自然学科最大的区别就是通过严格的逻辑推理证明得到结 论. 三 、应用新知 例 1 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC 都应为直角，工人师 傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗? ( 图 1 ) 解：符合要求. 在△ABD 中，AB²+AD²=9²+16²=25=BD², 所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角. 在△BCD中，BD²+BC²=25+144=169=CD², 所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 设计意图：本题属于问题解决，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形从而指出直角， 先独立思考，再进行板演，规范书写过程. 四 、课堂练习 1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长?说说你的理由. (1)9,12,15; (2)12,18,22 ; (3)15,36,39; (4)0.3,0.4,0.5. 解：(1)5²+12²=169=132,可以构成直角三角形； (2)12²+18²=468≠22²,不能构成直角三角形； (3)15²+36²=1521=392,可以构成直角三角形； (4)0.3²+0.4²=0.25=0.5²,可以构成直角三角形. 满足a²+b²=c² 的三个正整数，称为勾股数.观察上面验证的数据中有没有勾股数，哪 些都是勾股数呢? 答：第一组和第三组. 判断勾股数的方法：1.确定是不是三个正整数；2.确定最大数；3.计算：看较小两数的 平方和是否等于最大数的平方.其中(1)中9,12,15可以看成是3×3,4×3,5×3,(3) 中15,36,39;可以看成是5×3,12×3,13×3,得到结论：勾股数的任意正整数倍仍是 勾股数. 设计意图：使用定理判定时需要先找到最长边，再进行关系验证，在此基础上了解勾股 数的概念，得到边长是勾股数的三角形是直角三角形，直角三角形的三边长不一定是勾股数. 2.如图3,在正方形ABCD中，AB=4,AE=2,DF=1,图中有几个直角三角形，你是如 何判断的? 解：易知△ABE,△DEF,△FCB均为直角三角形. 因为AB=BC=CD=DA=4,ED=4-2=2,CF=4-1=3,由勾股定理得： 在Rt△ABE中，BE²=2²+4²=20, 在Rt△EDF中，EF=2²+1²=5, 在Rt△BCF中，BF=32+4²=25. ∴BE²+EF²=BF². ∴△BEF是直角三角形. 图3 设计意图：图中有四个直角三角形.其中，有三个是根据直角来判断的，除了从角的角度 去判断，还可以根据边的关系判断△BEF是直角三角形. 五、课堂小结 回顾本节课，我们获得了什么结论?如何探究的?说说自己的感受. 设计意图：数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，启发学生从数 学的角度思考，直角三角形作为基本几何图形之一，掌握几何图形的研究路径从性质，判定 到应用，同时从“四基”(基础知识，基本技能，基本思想，基本活动经验)角度建构本章知 识框架结构. 六 、 作业布置 1.基础巩固：课本第10页，第11页的第1、2、3、4题； 2.实践拓展：请同学们做一条古埃及人“神奇的绳子”围成一个直角三角形，有哪些 方法?收集有关勾股数组规律的研究的资料，最后以手抄报或思维导图的形式呈现自己的学 习成果 . 设计意图：巩固基础知识，动手实践方法多样，思考交流拓宽学生视野. 学科网（北京）股份有限公司 $$