25.2 用列举法求概率（第2课时） 画树状图法求概率 教学设计-2024-2025学年人教版九年级数学上册

25.2 用列举法求概率（第2课时） 画树状图法求概率 一、内容和内容解析 1.内容 用列举法（画树状图法）求简单随机事件的概率. 2.内容解析 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率.当每次试验涉及两个因素时，学生已经能用直接列举法和列表法来不重不漏地列举出试验的所有结果.当每次试验涉及三个及以上因素时，因为表格是二维的，列表法不再适用,又因为结果较多，直接列举法很难做到不重不漏，所以教科书给出了以树状图形式呈现的列举法——树状图法. 相对于直接列举法和列表法，用树状图列举体现了分步分析对思考复杂问题时起到的作用.将试验涉及的第一个因素的a种等可能性结果写在第一行；第二个因素涉及b种等可能性结果，则在第一行的每个结果下面分别画出b个分支，在分支下的第二行分别写上这b种结果；第三个因素涉及c种等可能性结果，则在第二行的每个结果下面分别画出c个分支，在分支下的第三行分别写上这c种结果；以此类推画出其他行.另外，通过求概率，学生将进一步体会概率的意义，逐步培养随机观念. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：用画树状图法求简单随机事件的概率. 2、 目标解析 1.目标 （1）用列举法（画树状图法）求简单事件的概率，进一步培养随机观念. （2）感受分步分析对思考复杂问题时起到的作用. 2.目标解析 达成目标(1)的标志是：学生清晰地知道，对于结果种数有限且每种结果等可能的随机试验中的事件，可以用列举法求概率；当每次试验涉及三个及以上因素时，采用树状图的方式更有利于将试验的所有结果不重不漏地列举出来.学生能够利用画树状图法正确地正确计算简单随机事件的概率，结合具体问题进一步体会概率是如何定量地刻画随机事件发生可能性大小的. 目标(2)体现在学生探索、归纳画树状图法的过程中，学生在问题的引导下思考如何才能将涉及三个因素试验的所有可能的结果不重不漏地列举出来，体会“分步”策略对解决复杂问题所起到的重要作用. 3、 教学问题诊断分析 学生已经理解了画树状图法求概率的含义，但对于涉及三个因素的试验，如何正确列举出试验所有可能的结果，怎样才能做到不重不漏地列举，如何设计出一种办法解决这个较复杂问题，“分步”分析起到了重要作用. 学生容易出现的问题是，没有真正理解画树状图法的含义，虽然能够通过模仿解决-此简单问题，但是无法灵活地使用画树状图法解决问题.基于以上分析，本节课的教学难点是:如何使用画树状图法. 4、 教学过程设计 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 知识回顾 提出问题： 1.抛掷一枚硬币，硬币正面朝上的概率是多少？ 2.抛掷两枚硬币，一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是多少？ 3.抛掷三枚硬币，两枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是多少？ 学生思考后口答，并归纳总结： 1. 当试验涉及两个因素时，用直接列举法和列表法都可以解决问题. 2. 当试验涉及三个因素时，列表法不再适用,直接列举法很难做到不重不漏. 复习直接列举法和列表法，为探究画树状图法作铺垫. 新课探究 新课探究 思考：抛掷三枚硬币，两枚正面朝上、一枚反面朝上，怎样用画树状图法求概率？ 教师和学生一起探究树状图的画法，并求出概率.教师可以通过如下问题引导学生思考： 1.试验涉及几个因素？每个因素有多少种等可性结果？ 2.怎样画出该试验的树状图？ 3.抛掷三枚硬币一共有多少种等可能性结果？ 4.一枚正面朝上、一枚反面朝上有多少种等可能性结果？ 5.抛掷三枚硬币，两枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是多少？ 学生独立思考后口答： 1. 抛掷三枚硬币涉及三个因素，即三步概率；每抛掷一枚硬币都有正、反两种等可能性结果. 2. 当一次试验涉及3个(或3个以上）的因素或经过3个（或3个以上）的步骤时，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法. 3. 画树状图：将第一枚硬币的2种等可能性结果写在第一行；第二枚硬币有2种等可能性结果，则在第一行的正、反2个结果下面分别画出2个分支，在分支下的第二行分别写上第二枚硬币的正、反2种结果；第三枚硬币有2种等可能性结果，则在第二行的4个结果下面分别画出2个分支，在分支下的第三行分别写上第三枚硬币的正、反2种结果. 4. 树状图中，从上往下的每一条分支都表示一种等可能性的结果.抛掷三枚硬币一共有8种等可能性结果. 5. 一枚正面朝上、一枚反面朝上有3种等可能性结果. 6. 抛掷三枚硬币,两枚正面朝上、一枚反面朝上的概率为 . 通过教师的一系列问题，启发学生思考，在解决问题的过程种获得树状图法的使用条件和具体画法，并能正确画出树状图、求出概率. 例题讲解 例题讲解 课本例3： 甲口袋中有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C,D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小球. （1） 取出的3个小球上恰好有1个、2个、3个元音字母的概率分别是多少？ （2） 取出的3个小球全是辅音字母的概率是多少？ 教师可以通过如下问题引导学生思考： 1.试验涉及几个因素？每个因素有多少种等可性结果？ 2.怎样画出树状图？ 3.从三个口袋中各随机取出1个小球一共有多少种等可能性结果？ 4.取出的3个小球上恰好有1个元音字母有多少种等可能性结果？概率是多少？ 5.取出的3个小球上恰好有2个元音字母有多少种等可能性结果？概率是多少？ 6.取出的3个小球上恰好有3个元音字母有多少种等可能性结果？概率是多少？ 7.取出的3个小球全是辅音字母有多少种等可能性结果？概率是多少？ 8.你能总结出画树状图法求概率的步骤吗？ 学生独立思考后口答： 1.从三个口袋中各随机取出1个小球涉及三个因素，即三步概率；取甲口袋的球会出现2种等可能结果，取乙口袋的球会出现3种等可能结果，取丙口袋的球会出现2种等可能结果. 2.画树状图：将从甲口袋取球的2种等可能性结果A和B写在第一行；从乙口袋取球有3种等可能性结果，则在第一行的A、B这2个结果下面分别画出3个分支，在分支下的第二行分别写上从乙口袋取球的C、D、E这3个结果；从丙口袋取球有2种等可能性结果，则在第二行的6个结果下面分别画出2个分支，在分支下的第三行分别写上从丙口袋取球的H、I这2个结果. 3.从三个口袋中各随机取出1个小球一共有12种等可能性结果. 4.取出的3个小球上恰好有1个元音字母有5种等可能性结果，概率是. 5.取出的3个小球上恰好有2个元音字母有4种等可能性结果，概率是. 6.取出的3个小球上恰好有3个元音字母有1种等可能性结果，概率是. 7.取出的3个小球全是辅音字母有2种等可能性结果，概率是. 8.看课本例3的解答过程，归纳总结画树状图法求概率的步骤：（1）根据题意画出树状图；（2）根据树状图写出所有可能出现的结果及数量n，并强调这些结果出现的可能性相等；（3）写出要求的随机事件包含的结果及数量m；（4）用概率公式进行计算. 通过教师的一系列问题，启发学生思考，在解决问题的过程种熟悉树状图的画法，熟悉并总结画树状图法求概率的步骤，规范书写过程. 课堂练习 课堂练习 1. 抛掷两枚硬币，一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率，能用画树状图法来求吗？ 2.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率： (1) 三辆车全部继续直行； (2) 两车向右，一车向左； (3) 至少两车向左. 3.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，依次随机摸出三个球，每摸出一个球都不再放回袋中，求其中两个球的标号和等于第三个球标号的概率是多少？ 在学生出现困难时提示：“每摸出一个球都不再放回袋中”对下次摸球的结果有什么影响？ 3. 1、2、3、4这四个数中任取3个数，可组成n个无重复数字的三位数，若三位数的十位数字比个位和百位都大，则被称为“伞数”.甲、乙两人玩游戏，将这n个三位数依次写在n个质地均匀的小球上，规则为：从这n个球中任取一球，若球上标着的三位数是“伞数”，则甲胜，否则乙胜.你认为这个游戏规则公平吗？为什么？ 在学生出现困难时提示： 1. 如何判断这个游戏规则是否公平？ 2. “无重复的三位数”有什么特点？ 1. 学生口答第1题，并且知道：画树状图法同样适用列举涉及2个因素或分两步完成的试验结果. 2. 学生在规定时间3分钟（以音乐计时)内完成第2题，老师先请1名学生给出答案，再请另外3名学生详细说出过程. 3. 学生口答第3题，可能会在写第二行的结果时出现问题，老师给予提示，让学生知道：“不放回”时后一步的结果会受前一步结果的影响. 4. 学生口答第4题，出现困难时老师给予提示：要判断游戏是否公平，需考察“是伞数”的概率与“不是伞数”的概率是否相同；“无重复的三位数”意味着个位、十位、百位的数字各不相同，个位上出现的数字不能再在十位和百位上出现，即后一步的结果受前一步的影响，类似于“从标号为1、2、3、4的四个球中不放回地取出3个球. 灵活运用画树状图法求不同类型题目的概率，进一步掌握画树状图法求概率的步骤. 课堂小结 学生回顾本节课所学主要内容，在聊天对话框分享自己的收获. 学生思考、分享后，教师进行总结. 交流分享，巩固知识. 作业布置 作业见墨水屏. 学生独立在墨水屏上完成. 进一步巩固知识. 学科网（北京）股份有限公司 $$