专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 1．（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 2．（23-24六年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）写出下列各数的相反数：16，，0，，m，． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（    ） A．和0.25不是互为相反数 B．－a是负数 C．任何一个数都有相反数 D．正数与负数互为相反数 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知是有理数，有下列判断：①是正数；②是负数；③与必有一个是负数；④与互为相反数，其中正确的序号是 . 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各组数中，不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 1．（23-24七年级上·广东韶关·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）化简下列各式的符号： （1）﹣（＋4）； （2）＋（﹣）； （3）﹣[﹣（﹣）]； （4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}． 化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数与什么关系吗？ 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·北京海淀·期末）已知点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，且相邻两点之间的距离均为1个单位长度．若点A，B，C，D分别表示数，b，c，d，且满足，则b的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，已知四个有理数m，n，p，q在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，且m与p是相反数，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是 ． 3．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题： (1)如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是______，点表示的数是______；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是______． (2)数和在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为______． 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）在数轴上与原点的距离不大于3的点表示的数x的取值范围为 ． 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）在数轴上表示数，2，，，0，1.5，3，并回答下列问题： （1）表示哪些数的点与原点的距离相等？ （2）表示的点与表示3的点相距几个单位长度？ （3）用“＜”把各数连接起来． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，则（   ） A． B． C．0 D．或 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若与互为相反数，则 等于 . 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）写出下列各数的绝对值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·重庆垫江·期中）已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，⑤，其中一定成立的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 3．（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数． (1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置； (2)化简：． 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】（23-24六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 1．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（    ） A．2023 B．4046 C．20 D．0 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A，C之间，且满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合． (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①的最小值为_____，此时x可以取_____；（写出满足条件的一个数即可） ②当代数式取得最小值时，_____，最小值为_____． 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）适合的整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 3．（23-24七年级上·甘肃白银·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ； ③数轴上表示和3的两点之间的距离是 ； (2)归纳： 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ． (3)应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么 ； ②若数轴上表示数a的点位于0与1之间，求的值； 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川成都·期中）在数轴上，点在原点的两侧，分别表示数，将点向右平移1个单位长度，得到点．将点向左平移2个单位长度，得到点，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）p、q、r、s在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于 （     ）     A．7 B．9 C．11 D．13 4．（23-24七年级上·山东德州·期中）2023年7月2日，在一度落后的情况下，中国女篮经过顽强拼搏，击败日本队夺得亚洲杯的冠军．这个振奋人心的消息掀起了校园篮球热，某中学开学后购买了一批篮球，随机检测了4个，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，最不接近标准的球是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）若有理数a，b在一条不完整的数轴上的位置如图所示，则下列各式：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 7．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 8．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 9．（2024七年级·全国·竞赛）有理数在数轴上的位置如图所示，化简 ．    10．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，错误的结论是 （填写序号）． 11．（23-24七年级上·北京密云·期末）已知点O是数轴的原点，点A、B、M分别是数轴上的三个动点（点A在点B的左侧），且，将点A，B，M表示的数分别记作a，b，m． (1)当，时，直接写出m的值； (2)当时，计算的值； (3)若，求a的值． 12．（23-24七年级上·江苏·周测）有理数a、b、c在数轴上位置如图，求的值． 13．（23-24七年级上·山东日照·期中）（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： Ⅰ：当x取何值时，有最小值，这个最小值是多少？ Ⅱ．当x取何值时，有最大值，这个最大值是多少？ （2）已知数a，b，c在数轴上的位如图所示，化简：    14．（23-24七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______． (5)若，求的值． 15．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足． (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 1．（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 2．（23-24六年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）写出下列各数的相反数：16，，0，，m，． 【答案】，3，0，，， 【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：16的相反数为，的相反数为3，0的相反数为0，的相反数为，m的相反数为，的相反数为n． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数和化简多重符号等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合化简多重符号法则、绝对值性质进行化简，然后根据相反数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，故两数不是相反数，不符合题意； B、，，两数互为相反数，符合题意； C、，，故两数不是相反数，不符合题意； D、，，故两数不是相反数，不符合题意． 故选：B． 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（    ） A．和0.25不是互为相反数 B．－a是负数 C．任何一个数都有相反数 D．正数与负数互为相反数 【答案】C 【分析】根据相反数、负数的定义逐项排查即可． 【详解】解：A. +0.25=0，即和0.25互为相反数，故A选项错误；     B. 当a＜0时，－a是正数，故B选项错误；     C. 任何一个数都有相反数，故C选项正确；     D. 6是正数，-3是负数，它俩就不是相反数应，故D选项错误． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了相反数、负数的定义，灵活应用相反数、负数的定义和举反例方法的应用成为解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知是有理数，有下列判断：①是正数；②是负数；③与必有一个是负数；④与互为相反数，其中正确的序号是 . 【答案】④ 【分析】a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，同样-a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，当a=0时，a和-a都是0，不论a是正数、0负数，a与-a都互为相反数，根据以上内容判断即可． 【详解】解：∵a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，同样-a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，①错误；②错误； ∵当a=0时，a和-a都是0，都不是负数，∴③错误； ∵不论a是正数、0负数，a与-a都互为相反数，∴④正确. 故答案为：④. 【点睛】本题考查了对正数、0、负数，有理数，相反数等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1)3，与互为相反数 (2)1.2，，与互为相反数 (3)， (4)， 【分析】首先化简各对数，然后根据相反数的概念求解即可． 【详解】（1）， 所以与互为相反数； （2），， 所以与互为相反数； （3），， 所以与相等； （4），， 所以与相等． 【点睛】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“”号，结果为正，一个数前面有奇数个“”号，结果为负，0前面无论有几个“”号，结果都为0．只有符号不同的两个数互为相反数． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各组数中，不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，化简绝对值，根据多重符号的化简法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，两数相等，不符合题意； B、，，两数不相等，符合题意； C、，，两数相等，不符合题意； D、，，两数相等，不符合题意； 故选B． 1．（23-24七年级上·广东韶关·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 【答案】 5 12 3.2 27 【分析】本题主要考查了正负号的化简，熟练掌握相反数的定义，是解决问题的关键． 根据正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，逐步化简正负号，即得（方法不唯一）． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：（1）5；（2）12；（3）3.2；（4）；（5）27；（6）． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）化简下列各式的符号： （1）﹣（＋4）； （2）＋（﹣）； （3）﹣[﹣（﹣）]； （4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}． 化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数与什么关系吗？ 【答案】（1）-4；（2）；（3）；（4）π；最后结果的符号与﹣的个数有着密切联系，如果一个数是正数，当﹣的个数是奇数，最后结果为负数，当﹣的个数是偶数，最后结果为正数 【分析】根据已知数据结合去括号的法则化简各数，进而得出结果的符号与原式中的“-”号的个数的关系． 【详解】解：（1）﹣（+4）＝﹣4； （2）； （3）﹣[﹣（﹣）]＝﹣； （4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}＝π． 最后结果的符号与“﹣”的个数有着密切联系，如果一个数是正数，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的个数是偶数，最后结果为正数． 【点睛】本题考查了相反数的意义，正确发现数字变化规律是解题的关键． 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键； 根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可． 【详解】点表示的数为x， 表示的数是， 点和点A表示的数互为相反数， 点所表示的数是， 故选：． 1．（23-24七年级上·北京海淀·期末）已知点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，且相邻两点之间的距离均为1个单位长度．若点A，B，C，D分别表示数，b，c，d，且满足，则b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可知a、d互为相反数，从而得到原点是AD的中点，进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴a、d互为相反数， ∴原点是AD的中点， ∵相邻两点之间的距离均为1个单位， ∵BC =1， ∴b=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查数轴的应用，熟练掌握互为相反数的两个点，分别位于原点的两旁，并且到原点的距离相等是解决此题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，已知四个有理数m，n，p，q在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，且m与p是相反数，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是 ． 【答案】q 【分析】根据题意得到m与p化为相反数，且中点为坐标原点，即可找出绝对值最小的数． 【详解】解：∵m与p是相反数， ∴m+p=0， 则原点在线段MP的中点处， ∴绝对值最小的数是q， 故答案为：q． 【点睛】此题考查了有理数大小比较，数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 3．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题： (1)如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是______，点表示的数是______；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是______． (2)数和在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为______． 【答案】(1)-2，3，-0.5； (2)b<-a<a<-b． 【分析】（1）根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答； （2）根据各点之间的相对位置、原点位置及相反数的性质解答 ． 【详解】（1）解：由题意可知：AB=2，AC=5，BC=3， ∴以为原点时，点表示的数是-2，点表示的数是3， 若，表示的两个数互为相反数，则AC的中点（如图，设为D）为原点， ∴AD=2.5，BD=0.5，且D在B的右边， ∴点表示的数是-0.5； （2）如图，可以把-a、-b在数轴上表示出来， ∴根据数轴的意义可得： b<-a<a<-b． 【点睛】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握点在数轴上的表示、数轴的意义及三要素、相反数的意义和性质等是解题关键． 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值的定义，根据绝对值越大的数表示的点离原点越远进行解答便可，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 【详解】解：∵， ∴离原点最远的是， 故选：A． 1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值．根据非正数的绝对值等于他的相反数，可得答案． 【详解】解：非正数的绝对值等于他的相反数，， ∴一定是非正数， 故选：C． 2．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）在数轴上与原点的距离不大于3的点表示的数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示点和绝对值的定义，解题的关键是掌握绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．利用绝对值的定义得出，求解即可． 【详解】解：∵数轴上表示数x的点与原点的距离不大于3， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）在数轴上表示数，2，，，0，1.5，3，并回答下列问题： （1）表示哪些数的点与原点的距离相等？ （2）表示的点与表示3的点相距几个单位长度？ （3）用“＜”把各数连接起来． 【答案】数轴见解析；（1）表示和1.5的点、表示和2的点、表示和3的点与原点的距离相等；（2）5个单位长度；（3） 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义、数轴上两点间的距离，利用数轴比较大小，先根据题意在数轴上标出各点即可； （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据数轴上两点间的距离作答即可； （3）根据数轴上左边的数总比右边的数小进行作答即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】如图所示： （1）表示和1.5的点到原点的距离均为1.5， 表示和2的点到原点的距离均为2， 表示和3的点与原点的距离均为3， ∴表示和1.5的点、表示和2的点、表示和3的点与原点的距离相等； （2）表示的点与原点之间的距离是2个单位长度，表示3的点与与原点相距3个单位长度，则表示的点与表示3的点相距5个单位长度； （3）从小到大依次排列为：． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【详解】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键； 根据有理数的比较大小，即可找出最小的数. 解：∵，，， 最小的数是. 故选：D. 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，则（   ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，根据，可得，即可求解． 【详解】解：，， ， ． 故本题选：D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若与互为相反数，则 等于 . 【答案】 【详解】此题考查了相反数，绝对值问题，根据相反数的定义可得，再整体代入算式计算即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键． 【解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）写出下列各数的绝对值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查绝对值，解题关键是理解绝对值的定义． 根据绝对值的定义逐个进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．根据a、b在数轴上的位置进行化简即可． 【详解】解：根据a、b在数轴上的位置，得：且， ，， ． 故选A． 1．（23-24七年级上·重庆垫江·期中）已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，⑤，其中一定成立的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了根据数轴比较大小，绝对值的化简，有理数的加减，绝对值的性质，弄清各数之间的关系，根据，，逐个判断是解题的关键．①根据，，得出，即可判断；②根据，即可判断；③易得，则，即可判断；④根据，，即可判断；⑤先得出，即可判断． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴，故②正确，符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴，故③不正确，不符合题意； ④∵，， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确，符合题意； 综上：综上正确的有：①②④⑤，共4个， 故选：B． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 3．（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数． (1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置； (2)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数的有关概念、绝对值的性质． （1）由c为最小的正整数，确定出，再由，，，得出b到原点的距离大于a到原点的距离，从而确定出在数轴上的大概位置； （2）根据A，B，C三点在数轴上的位置得到，，，然后化简求解即可． 【详解】（1）解：A，，三点的大致位置，如图所示， （2）解：由数轴可得，，，， ∴，，， ∴ ． 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】（23-24六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键． 1．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（    ） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【答案】A 【分析】根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：∵绝对值具有非负性 ∴， ∵有最大值， ∴当时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确． 故选：A. 【点睛】本题考查的是绝对值的意义，掌握绝对值具有非负性是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据，得到, 代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A，C之间，且满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合． (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①的最小值为_____，此时x可以取_____；（写出满足条件的一个数即可） ②当代数式取得最小值时，_____，最小值为_____． 【答案】(1)；1；9； (2)； (3)①6，中任一个数都可以；②1，12． 【分析】（1）根据题意及非负数的性质求解即可； （2）先求出的中点表示的数，由此即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） 故答案为：；1；9； （2）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为1， ∴AB中点表示的数为， ∴点C到AB中点的距离为10， ∴点C与数表示的点重合， 故答案为：； （3）①表示数轴上的点到5和-1的距离之和， ∴的最小值为， 此时x可以取的值为中任一个数都可以； 故答案为：6；（中任一个数都可以）； ②由题意得 ， ∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和， 如图3-1所示，当点P在A点左侧时 如图3-2所示，当点P在线段AB上时， 如图3-3所示，当点P在线段BC上时， 如图3-4所示，当点P在C点右侧时， ∴综上所述，当P与B点重合时，． 【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键． 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）适合的整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查解绝对值方程，可理解为到和5的距离的和，由此可得出的值，进而可得出答案． 【详解】解：， 该方程表示到和5的距离的和为12， ， ， 整数的值有，，0，1，共4个， 故选C． 2．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程．分，和时三种情况讨论，分别列得方程，再解方程可得． 【详解】解：当时， ，解得； 当时, ，此方程无解； 当时, ，解得； 故答案为：或． 3．（23-24七年级上·甘肃白银·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ； ③数轴上表示和3的两点之间的距离是 ； (2)归纳： 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ． (3)应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么 ； ②若数轴上表示数a的点位于0与1之间，求的值； 【答案】(1)①3②4③7 (2) (3)①10或② 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义，两点间距离的求法是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式，可得答案；②根据两点间的距离公式，可得答案；③根据两点间的距离公式，可得答案； （2）根据两点间的距离公式，可得答案； （3）①根据两点间的距离公式，可得答案；②根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案． 【详解】（1）解：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离是； ③数轴上表示和3的两点之间的距离是； 故答案为：3；4；7； （2）解：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． 故答案为：； （3）解：①， 或， 或， 故答案为：10或； ② a的点位于0与1之间， ， ， ． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 【答案】B 【分析】根据O、A、B、C、五个点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC ∵， ∴MD=BD， 又∵-5＜d＜-1＜3 ∴M点介于O、C之间， 故选：B． 【点睛】本题考查的是数与数轴，利用数形结合思想解题是关键． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 【答案】 2 －5或3 【分析】（1）根据数轴可直接得出答案； （2）根据绝对值的几何意义，结合数轴进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，由数轴可知，表示1和3两点之间的距离是2； （2）由题意可知，的意义为：x到2的距离加上x到－4的距离等于8， ∴由数轴可知，当x＝－5或x＝3时，x到2的距离加上x到－4的距离等于8，即此时， 故答案为：（1）2；（2）－5或3． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）5，x，4；（2）或；（3）①的最小值为6；②的最小值为7 【分析】（1）根据绝对值的意义即有理数的加减法法则计算即可； （2）利用绝对值的双值性建立方程求解即可； （3）根据材料正确理解计算即可． 【详解】解：（1）， 表示表示数x和数4这两点的距离， 故答案为：5，x，4； （2）， ， 或， 解得：或； （3）①由探究材料3得，当时，有最小值，最小值为6． ， ∴最小值为6． ②由探究材料3得，这是在求点x到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为7， ． 的最小值为7． 【点睛】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于及分类思想的应用． 1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴与绝对值，解题的关键在于掌握数轴上点的意义以及绝对值的含义．根据图逐一判断即可． 【详解】解：由图可知数表示的点在左侧， ，故选项A错误，不符合题意； 到的距离大于到的距离， ，，故选项B错误，不符合题意； 到的距离大于到的距离， ，故选项C正确，符合题意； ， ，故选项D错误，不符合题意； 故选C． 2．（23-24七年级上·四川成都·期中）在数轴上，点在原点的两侧，分别表示数，将点向右平移1个单位长度，得到点．将点向左平移2个单位长度，得到点，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，由题意得出点表示的数为，点表示的数为，再根据，得出，求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点向右平移1个单位长度，得到点， 点表示的数为， 点向左平移2个单位长度，得到点， 点表示的数为， ， ， ， 解得：或， 点在原点的两侧， ， 故选：D． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）p、q、r、s在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于 （     ）     A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了数轴及有理数大小比较．掌握数形结合的数学思想成为解题的关键． 先根据数轴判断p、q、r、s四个数的大小，再去绝对值得出等式，然后整体代入计算即可． 【详解】解：由数轴可知： ∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 4．（23-24七年级上·山东德州·期中）2023年7月2日，在一度落后的情况下，中国女篮经过顽强拼搏，击败日本队夺得亚洲杯的冠军．这个振奋人心的消息掀起了校园篮球热，某中学开学后购买了一批篮球，随机检测了4个，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，最不接近标准的球是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查正数与负数、绝对值的意义等知识点，根据正数与负数的意义以及绝对值的大小比较即可解答；掌握一个数绝对值大小的比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴选项B中的球最不接近标准质量． 故选：B． 5．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）若有理数a，b在一条不完整的数轴上的位置如图所示，则下列各式：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查根据数轴上点的位置，判断式子的符号．熟练掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．根据数轴，得出，，再逐一判断式子的符号即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴，故①不正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵， ∴，故④正确，符合题意； ∵，， ∴，故⑤正确，符合题意； 综上：正确的有②④⑤，共3个， 故选：C． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，掌握绝对值的几何意义是解题关键．根据绝对值的几何意义可得，当时，有最小值3；当时，有最小值6，再根据、的取值得出答案即可 ． 【详解】解：当时，有最小值3； 当时，有最小值6； ， 当，时，有最大值为5；当，时，有最小值为； 故答案为：， 7．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 8．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查数轴上两点间距离的表示方法、绝对值的意义等知识点，将代数问题转化为几何问题也是解题的关键． 分、、三种情况分别求值，然后比较即可解答． 【详解】解：当时，； 当时，，当时，有最大值5； 当时，． 综上， 的最大值为5． 故答案为5． 9．（2024七年级·全国·竞赛）有理数在数轴上的位置如图所示，化简 ．    【答案】 【分析】本题考查化简绝对值，利用数轴判断式子的符号，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再进行化简即可，解题的关键是根据点在数轴上的位置，确定式子的符号． 【详解】解：由题意可知， ， ∴，，，， ∴ ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，错误的结论是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有三种情形：或或或， 当时，原式； 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：②③④． 11．（23-24七年级上·北京密云·期末）已知点O是数轴的原点，点A、B、M分别是数轴上的三个动点（点A在点B的左侧），且，将点A，B，M表示的数分别记作a，b，m． (1)当，时，直接写出m的值； (2)当时，计算的值； (3)若，求a的值． 【答案】(1)1 (2)4 (3)或 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识和线段的和差，线段中点的定义． （1）利用数轴知识，已知A、B两点表示的数，求线段中点M表示的数； （2）已知中点表示的数，根据线段中点的定义，求出的值； （3）根据线段的和差，线段中点的定义求出a的值． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ， 或， 或， 或， 或， 综上所述，a的值为或． 12．（23-24七年级上·江苏·周测）有理数a、b、c在数轴上位置如图，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较，绝对值的化简．熟练熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 由题意知，，即，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， ∴的值为． 13．（23-24七年级上·山东日照·期中）（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： Ⅰ：当x取何值时，有最小值，这个最小值是多少？ Ⅱ．当x取何值时，有最大值，这个最大值是多少？ （2）已知数a，b，c在数轴上的位如图所示，化简：    【答案】（1）Ⅰ：当时，最小值为0；Ⅱ．当时，最大值为；（2） 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意令绝对值里的数为0，即可求解； （2）根据数轴可知，且，可得，，，根据正数的绝对值使其本身，负数的绝对值使其相反数，对代数式进行化简即可得出结果． 【详解】解：（1）I：当时，有最小值，这个最小值是0； Ⅱ：当时，有最小值，为；则有最大值，这个最大值是； （2）根据题意，得，且， ∴，，， ∴ ． 14．（23-24七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______． (5)若，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) (5)或 【分析】本题考查了数轴，绝对值，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据绝对值几何意义求出最小值即可； （4）将 变形为的形式再求最值即可； （5）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等，因此到和距离相等的点表示的数为， 表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等，因此到和距离相等的点表示的数为， 故答案为：，； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示和两点的距离之和为，可得，因此x的最大值为，最小值为；故答案为：，； （3）表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3， 由（2）可知， ∴当取最小值时，， 故答案为：； （4） 根据绝对值几何意义，当时，有最小值，最小值为 故 的最小值为：； 故答案为:； （5）当 时， ，去绝对值为： ， 当 时，去绝对值为：9(不成立)， 当 时，去绝对值为：， ， 综上，或． 15．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足． (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点） 【答案】(1)；1；7 (2)点Q的运动速度是每秒个单位长度或者每秒个单位长度 【分析】（1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为0，则每个非负数都为0成为解题的关键； （2）本题主要考查了数轴上的动点问题，先求出点Q表示的数是，进而得到，然后分当点P在和上两种情况解答即可；掌握数轴上的动点问题成为解题的关键． 【详解】（1）解：因为b是最小的正整数，所以． 因为，所以，． 故答案为；1；7． （2）解：因为点Q运动到的位置恰好是线段的中点， 所以点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； 所以点P运动的时间为， 所以点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， 所以点P的运动时间是， 所以点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是每秒个单位长度或者每秒个单位长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$