2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（6大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点 1 一元二次不等式 1、一元二次不等式的定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2、一元二不等式的一般形式：，，(其中，均为常数)． 3、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 知识点 2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1、二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2、三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点 3 一元二次不等式的解法 1、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 2、含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 1、“已知解集求参数”问题的基本求解方法 若已知一元二次不等式的解集，则由一元二次不等式解集可逆向推知它的系数所满足的条件（即相应的一元二次方程的根或根的判别式的情况及二次项系数的正负性），再利用根于系数的关系即可解决问题． 2、一元二次不等式恒成立问题的求解 利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题 （1）未说明不等式为一元二次不等式时，有 不等式对任意实数恒成立； 不等式对任意实数恒成立； （2）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是； （3）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是． 3、解决一元二次不等式应用问题的关键和步骤 解决一元二次不等式应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择关键量并设出此关键量，再根据题目中的不等关系列不等式． 解决一元二次不等式的应用问题，一般可以按照一下四步进行： （1）阅读题干，认真审题，把握问题中的关键词，找准不等关系； （2）引进数学符号，用不等式表示不等关系； （3）解不等式； （4）回归实际问题． 题型一 解不含参数的一元二次不等式 【例1】（23-24高一上·山东济宁·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·湖南永州·月考）一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·江西·开学考试）（多选）已知：，则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·北京东城·期中）求不等式的解集. (1) (2) 题型二 解含参数的一元二次不等式 【例2】（23-24高一上·河南南阳·月考）求关于x的不等式的解集，其中a是常数. 【变式2-1】（23-24高一上·安徽·月考）解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示） 【变式2-2】（23-24高一上·山西大同·月考）（多选）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A． B． C． D．1 【变式2-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则的取值范围为 ． 【变式2-4】（23-24高一上·广东深圳·期末）（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 题型三 由一元二次不等式的解集求参数 【例3】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，且实数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·山东菏泽·期中）若不等式的解集为或，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高一上·广东湛江·期中）已知不等式的解集是，则 ． 【变式3-4】（23-24高一下·上海嘉定·月考）若不等式的解集为，则 . 题型四 三个“二次”关系的应用 【例4】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 【变式4-1】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的不等式的解集是 C． D．关于x的不等式的解集为或 【变式4-2】（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 【变式4-3】（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 题型五 一元二次不等式恒成立与有解问题 【例5】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知不等式对于任意实数x恒成立，实数a的取值范围 ． 【变式5-2】（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式5-3】（23-24高一下·江苏连云港·月考）已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 题型六 一元二次不等式的实际应用 【例6】（23-24高一上·河北沧州·月考）某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·浙江湖州·月考）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式：，其中取.已知一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置停留 秒时间. 【变式6-2】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 【变式6-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）有纯农药液一桶，倒出4升后用水加满，然后又倒出2升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积最大为 升. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点 1 一元二次不等式 1、一元二次不等式的定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2、一元二不等式的一般形式：，，(其中，均为常数)． 3、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 知识点 2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1、二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2、三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点 3 一元二次不等式的解法 1、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 2、含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 1、“已知解集求参数”问题的基本求解方法 若已知一元二次不等式的解集，则由一元二次不等式解集可逆向推知它的系数所满足的条件（即相应的一元二次方程的根或根的判别式的情况及二次项系数的正负性），再利用根于系数的关系即可解决问题． 2、一元二次不等式恒成立问题的求解 利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题 （1）未说明不等式为一元二次不等式时，有 不等式对任意实数恒成立； 不等式对任意实数恒成立； （2）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是； （3）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是． 3、解决一元二次不等式应用问题的关键和步骤 解决一元二次不等式应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择关键量并设出此关键量，再根据题目中的不等关系列不等式． 解决一元二次不等式的应用问题，一般可以按照一下四步进行： （1）阅读题干，认真审题，把握问题中的关键词，找准不等关系； （2）引进数学符号，用不等式表示不等关系； （3）解不等式； （4）回归实际问题． 题型一 解不含参数的一元二次不等式 【例1】（23-24高一上·山东济宁·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，解得， 则不等式的解集为.故选：B. 【变式1-1】（23-24高一上·湖南永州·月考）一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】原不等式可化为，即．∴．故选：C． 【变式1-2】（23-24高一下·江西·开学考试）（多选）已知：，则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由，解得，设：， 成立的一个充分不必要条件为集合，则且， 所以和都是的充分不必要条件.故选：BD. 【变式1-3】（23-24高一上·北京东城·期中）求不等式的解集. (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由可得，则得或， 故不等式的解集为； （2）由可得，则得, 故不等式的解集为. 题型二 解含参数的一元二次不等式 【例2】（23-24高一上·河南南阳·月考）求关于x的不等式的解集，其中a是常数. 【答案】答案见解析. 【解析】由， 当时，解得或，解集为； 当时，解得或，解集为. 【变式2-1】（23-24高一上·安徽·月考）解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示） 【答案】答案见解析 【解析】由已知，可得， （1）当时，方程有两实根， 不等式的解集为． （2）当时，方程的根的判别式． ①当时，，所求不等式的解集为； ②当时，，所求不等式的解集为； ③当时，，所求不等式的解集为或． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为或． 当时，解集为； 时，解集为. 【变式2-2】（23-24高一上·山西大同·月考）（多选）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【解析】不等式可化为，显然， 当时，原不等式的解集为，由于解集中恰有两个整数，则，解得， 当时，原不等式的解集为，由于解集中恰有两个整数，则，解得， 因此的取值范围是,,，故选：BCD． 【变式2-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】①当时，不等式化为，则解集中有无数个整数，不满足题意， 当时，不等式的解集中恰有3个正整数解即为： 不等式的解集中恰有3个正整数解， ②当时，不等式的解集中有无数个正整数，不满足题意， ③当时，，所以， 所以不等式的解集为， 由解集知一定属于此集合，则由不等式的解集中恰有3个正整数， 则这3个正整数一定为，则， 故答案为：. 【变式2-4】（23-24高一上·广东深圳·期末）（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意，对应的二次方程有两根， 当时，开口向下，，解集为， 当时，开口向上，，解集为， 当时，开口向上，，解集为， 当时，开口向上，，解集为.故选：BCD 题型三 由一元二次不等式的解集求参数 【例3】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 所以，解得， 所以.故选：C. 【变式3-1】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，且实数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由不等式的解集可得，方程的根为， 可得，， 由，得或， 由，得 即，解得或， 综上，实数的取值范围是.故选：D 【变式3-2】（23-24高一上·山东菏泽·期中）若不等式的解集为或，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，不等式的解集为或， 所以，，， ，所以的取值范围是.故选：D 【变式3-3】（22-23高一上·广东湛江·期中）已知不等式的解集是，则 ． 【答案】 【解析】因为不等式的解集是， 可知，是方程的两个实根，且， 由韦达定理得，解得，， 所以． 【变式3-4】（23-24高一下·上海嘉定·月考）若不等式的解集为，则 . 【答案】 【解析】因为不等式的解集为， 而开口向上，所以有， 且最小值大于，即，解得， 且的两个根为， 所以，解得或， 当时，不符合，故舍去， 所以，所以. 故答案为：. 题型四 三个“二次”关系的应用 【例4】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【解析】根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误.故选:D. 【变式4-1】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的不等式的解集是 C． D．关于x的不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】由关于x的不等式的解集为或， 知和3是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， 所以， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确；故选：ABD. 【变式4-2】（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 【答案】ABD 【解析】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是， 故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得， 解集为或，故D正确；故选：ABD 【变式4-3】（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 【答案】ABD 【解析】关于的不等式的解集为 则,且关于的方程的根为，， 则，解之得， 则不等式为，所以解集为， ，所以A、B都正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，或，故C错误； 设，， 则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图， 所以不等式的解集为N，则，D正确.故选：ABD 题型五 一元二次不等式恒成立与有解问题 【例5】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式对任意实数恒成立，即恒成立， 故判别式，解得，故选：A. 【变式5-1】（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知不等式对于任意实数x恒成立，实数a的取值范围 ． 【答案】 【解析】由不等式对于任意实数恒成立，可得， 即，解得. 故答案为：. 【变式5-2】（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】的解集为, 即恒成立， 当时，即，不符合题意， 当时，则’解得 综上所述，实数的取值范围是.故选：B 【变式5-3】（23-24高一下·江苏连云港·月考）已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 【答案】 【解析】当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合； 当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 题型六 一元二次不等式的实际应用 【例6】（23-24高一上·河北沧州·月考）某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得，即， ∴，解得， 又每枚的最低售价为15元，∴.故选：B. 【变式6-1】（23-24高一上·浙江湖州·月考）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式：，其中取.已知一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置停留 秒时间. 【答案】/0.4 【解析】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式， 因为，所以， 令，得，即，解得，， 所以停留的时间为. 【变式6-2】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 【答案】51~59 【解析】根据题意可知， 转化为不等式，即可得，解得； 所以应该生产51~59辆摩托车. 【变式6-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）有纯农药液一桶，倒出4升后用水加满，然后又倒出2升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积最大为 升. 【答案】/ 【解析】设桶的容积为x升，那么第一次倒出4升纯农药液后，桶内还有升纯农药液， 用水补满后，桶内纯农药液的浓度为，第二次又倒出2升药液， 则倒出的纯农药液为升，此时桶内有纯农药液升. 依题意，得， 由于，则原不等式化简为，解得， 又，所以，所以桶的容积最大为升. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$