4.2 探索三角形相似的条件（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

4.2 探索三角形相似的条件 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 知识点 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【典例1】如图，在中，，，，求证：．    【变式1-1】判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．    【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【典例2】如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【变式2-1】如图，分别是的边上的点，，，，求证：．    【变式2-2】如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【变式2-3】如图，，且，，求证：．    【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【典例3】如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【变式3-1】如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：． 【变式3-2】如图，已知，求证：． 【变式3-3】如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 【典例4】如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【变式4-1】如图，点P在的边AC上，要使，还少一个条件，补充一个条件并说明理由． 【变式4-2】在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【变式4-3】如图，在△ABC和△ACD 中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使，并加以证明． 一、单选题 1．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A．B． C． D． 4．如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 8．如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 9．如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则 ．    三、解答题 10．如图，相交于点．求证∶ 20．如图，点D为边上一点．求证：． 11．已知：如图，在中，，，D、E分别在、上，，．求证：． 12．如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求证：． 13．如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 探索三角形相似的条件 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 知识点 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【典例1】如图，在中，，，，求证：．    【答案】证明见详解； 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据得到，从而得到，结合，得到，即可得到证明； 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1-1】判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．    【答案】．理由见解析 【分析】根据，进行判断作答即可． 【详解】解：．理由如下： 由题意知，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【典例2】如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【变式2-1】如图，分别是的边上的点，，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】首先求出的长，再求出，根据即可证明． 【详解】解：， ， ，， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式2-2】如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， 为公共角， ． 【变式2-3】如图，，且，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，， 再证明即可． 【详解】证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【典例3】如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，，得到，然后由，得到，然后根据相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 【变式3-3】如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 【典例4】如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】如图，点P在的边AC上，要使，还少一个条件，补充一个条件并说明理由． 【答案】补充一个条件（答案不唯一）理由见解析 【分析】由两个角分别对应相等的两个三角形相似，可补充，再证明即可． 【详解】解：补充，理由如下： ∵ ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角分别对应相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 【变式4-2】在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【答案】①，证明见解析或②，证明见解析． 【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似． 【详解】解：选择条件①的证明为： ∵， ∴， 又∵， ∴； 选择条件②的证明为： ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键． 【变式4-3】如图，在△ABC和△ACD 中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使，并加以证明． 【答案】添加条件：AB//CD，证明见解析（答案不唯一） 【分析】要证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角相等，即，此时，可添加一组角相等即可． 【详解】添加条件：． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理及正确找到对应角是解题的关键，此题是开放题，答案不唯一． 一、单选题 1．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 2．如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定逐一判断可得． 【详解】解：A．若，结合可判定，不能判定与相似； B．若，结合可得； C．若，结合可得； D．若，即，结合可得； 故选：A． 3．如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵，， ∴．故A正确； ∵，， ∴．故B正确； ∵，， ∴．故D正确； 没有条件可证，故C错误． 故选：C 4．如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，，故A不符合要求； 当时，，故B不符合要求； 当时，，故C不符合要求； 当时，无法证明，故D符合要求； 故选：D． 5．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵点D、E分别在边、上，， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故B正确； ∵，， ∴， ∴，故C正确； 与不一定相似，故D不正确； 故选：D． 6．如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：设每个正方形网格的边长都为1， 则在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ，，， ∴， ∴， 与的周长之比为：， 故选：． 二、填空题 7．如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断． 【详解】解：①，而， ∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由， 得， 又∵， ∴，故③正确， ④由， 得到， 不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误， 故答案为：①③． 8．如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：9． 9．如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．因为，所以，由，得到，利用相似三角形的性质，即得答案． 【详解】， ， ， ， ． 三、解答题 10．如图，相交于点．求证∶ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． 【详解】证明∶， ， ． 20．如图，点D为边上一点．求证：． 【答案】见解答过程 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”是解题关键． 根据“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似” 即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 11．已知：如图，在中，，，D、E分别在、上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，理解并熟练运用相似三角形的判定方法是解题关键．根据题意可求出，且其夹角相等即可证明． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 12．如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 13．如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）把代入即可求解； （）由得直线的方程为，求出，从而得，，，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵在直线上， ∴， 解得：； （2）由（）得， ∴所在直线的方程为， 当时，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 又， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$