4.1 比例线段和相似图形（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

4.1 比例线段和相似图形 【考点1 比例性质】 【考点2 比例线段】 【考点3 黄金分割比】 【考点4 由平行线判断成比例的线段】 【考点5 由平行截线求相关相关线段的长或比值】 【考点6 相似图形】 【考点7 相似多边形的性质】 知识点1 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【考点1 比例性质】 【典例1】若，则 ． 【变式1-1】．若，则的值是（    ） A． B． C．12 D． 【变式1-2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D．19 【变式1-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【考点2 比例线段】 【典例2】已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 【变式2-1】小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】线段的比例中项为 ． 【变式2-3】点在线段上，若  ，则 ． 知识点2 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值) 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【考点3 黄金分割比】 【典例3】射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【变式3-1】如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 【变式3-2】宽与长的比是黄金分割数 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计．如图，已知四边形是黄金矩形，若长 则该矩形的面积为 ．(结果保留根号) 【变式3-3】如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 知识点3 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 知识点4 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 【考点4 由平行线判断成比例的线段】 【典例4】在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【考点5 由平行截线求相关相关线段的长或比值】 【典例5】如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【变式5-1】已知直线，被直线a，b，c所截，截得线段的长度如图所示.若，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图：直线，若，，，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 知识点5 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 知识点6 相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【考点6 相似图形】 【典例6】下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【变式6-1】下列图标中，不是相似图形的是（    ） A．B． C．D． 【变式6-2】下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】下列说法正确的是（    ） A．等边三角形都是相似三角形 B．矩形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 【考点7 相似多边形的性质】 【典例7】如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【变式7-1】若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 【变式7-3】如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．若，则的值等于（    ）． A． B． C． D．1 2．如果，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 3．一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最短边为8．则四边形的最长边长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 4．两个相似的五边形，如果一组对应边的长分别为，，且它们面积的差为 ，则较大的五边形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．若，则的值为 ． 6．已知线段，，则 ． 7．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 8．如图称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．在图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的质量为，则能汲起水的质量B为 ．    9．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则的长为 ． 10．如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 11．已知矩形中，，在BC上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的F点，若四边形与矩形相似，则 ． 12．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为 13．如图，在矩形中，，在上取一点E，沿将向上折叠，使点B落在上的点F，若四边形与原矩形相似，则的长度为 ． 三、解答题 14．【探究与证明】 【问题情境】：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④矩形就是黄金矩形，图④的矩形______也是黄金矩形； (4)请你选择图④的其中一个黄金矩形来说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 比例线段和相似图形 【考点1 比例性质】 【考点2 比例线段】 【考点3 黄金分割比】 【考点4 由平行线判断成比例的线段】 【考点5 由平行截线求相关相关线段的长或比值】 【考点6 相似图形】 【考点7 相似多边形的性质】 知识点1 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【考点1 比例性质】 【典例1】若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入代数式进行计算，即可解答． 【详解】解：设 ∴，，， ∴ 故答案为：． 【变式1-1】．若，则的值是（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式1-2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D．19 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．根据比例的性质，由，得，则设，得到，，然后把，，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，得到，， ∴， 故选：A． 【变式1-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 【考点2 比例线段】 【典例2】已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得； （2）根据比例中项的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 【变式2-1】小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例尺的计算方法，图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离:实际距离”即可求得适合的比例尺.，解题的关键要掌握比例尺的计算方法． 【详解】解：∵零件的实际长度为，零件的图上长度为，即， ∴适合的比例尺， 故选：． 【变式2-2】线段的比例中项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义列出方程，解方程即可求解，理解比例中项的定义是解题的关键． 【详解】解：设它们的比例中项是， 则， ∴, ∵线段的长度是正数， ∴， ∴比例中项为， 故答案为：． 【变式2-3】点在线段上，若  ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比；根据题意，设，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵ 设 ∴ ∴ 故答案为：． 知识点2 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【考点3 黄金分割比】 【典例3】射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义可得，由此可解． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且， ，即， ， 故选A． 【变式3-2】宽与长的比是黄金分割数 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计．如图，已知四边形是黄金矩形，若长 则该矩形的面积为 ．(结果保留根号) 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金矩形的定义．根据黄金矩形的定义，长 ，求出宽，再求出面积即可． 【详解】解：∵四边形是黄金矩形， ∴， ∵长， ∴宽， ∴矩形的面积为． 故答案为：． 【变式3-3】如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，本题中经分析，因为点为线段的黄金分割点，所以把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即 ，把代入计算，即可作答． 【详解】解：，，以为圆心，为半径，两弧交于点， ∵点为线段的黄金分割点， ∴是和的比例中项， ， ∵ ∴ 故答案为： 知识点3 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 知识点4 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 【考点4 由平行线判断成比例的线段】 【典例4】在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：如图： A、当时，不能判定，故不符合题意； B、当时，能判定，故符合题意； C、当时，不能判定，故不符合题意； D、当时，不能判定，故不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解： ， ，， ， 选项A、B、C正确，不符合题意， 故选：D． 【变式4-2】如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：， ， 故A，C，D不正确， 故选：B． 【考点5 由平行截线求相关相关线段的长或比值】 【典例5】如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ， ，即． 解得，． 【变式5-1】已知直线，被直线a，b，c所截，截得线段的长度如图所示.若，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值，先根据，得出，再计算即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：C 【变式5-2】如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 【变式5-3】如图：直线，若，，，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例：一组平行线截两条直线，所截对应线段成比例．根据，得到，代入数值求出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴，而，，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 知识点5 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 知识点6 相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【考点6 相似图形】 【典例6】下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 【变式6-1】下列图标中，不是相似图形的是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义．根据相似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A，B，D是相似图形，选项C不是相似图形． 故选：C． 【变式6-2】下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 【变式6-3】下列说法正确的是（    ） A．等边三角形都是相似三角形 B．矩形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似多边形的各边对应成比例、各角对应相等是解题的关键． 根据各边对应成比例、各角对应相等的多边形是相似多边形逐项判断即可解答． 【详解】解：A、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故符合题意； B、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故不符合题意； C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故不符合题意； D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故不符合题意． 故选：． 【考点7 相似多边形的性质】 【典例7】如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形矩形，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式7-1】若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形相似的性质．熟练掌握两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 根据两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方求解作答即可． 【详解】解：由题意知，若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为， 故选：A． 【变式7-2】如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，相似图形的对应线段的比相等．利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】解：这两个图形两个形状相同， 即两个图形相似， 则对应线段的比相等， 因而， ． 的值是． 故选：D 【变式7-3】如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，，，，，， ∴， ∴四边形和四边形的相似比是， 故选；C． 一、单选题 1．若，则的值等于（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的性质，分式的求值，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． 首先根据题意得到，然后代数求解即可． 【详解】∵ ∴，即 ∴ ． 故选：A． 2．如果，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质， ，据此可得答案． 【详解】解：由比例的性质可得， ，则四个选项中，只有A选项符合题意， 故选：A． 3．一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最短边为8．则四边形的最长边长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】D 【分析】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键．设四边形最长边长为x，根据相似多边形的性质列得，从而求出x． 【详解】解：设四边形最长边长为x， ∵四边形相似四边形， ∴， 解得， 故选：D． 4．两个相似的五边形，如果一组对应边的长分别为，，且它们面积的差为 ，则较大的五边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质；设较大的五边形的面积为 ，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设较大的五边形的面积为 ， 依题意，得， 解得：， 即较大的六边形的面积为． 故选：C． 二、填空题 5．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了比例的性质，此题比较简单，注意掌握比例的性质是解此题的关键． 设，即可解答． 【详解】解：∵， 设， 则， 故答案为：． 6．已知线段，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比，将线段的单位化为，然后利用线段的比的定义计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 7．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，理解“黄金分割”点的定义是解题关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ，是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 故答案为：． 8．如图称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．在图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的质量为，则能汲起水的质量B为 ．    【答案】9 【分析】题目主要考查比例的性质及杠杆平衡原理，根据题意得出，然后确定即可求解，理解是解题关键． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵物体A的质量为， ∴， 故答案为：9． 9．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例得到，将数据代入即可求出答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：6． 10．如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．已知矩形中，，在BC上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的F点，若四边形与矩形相似，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 整理得，， ∴（负值舍去）， 由题意得，， 故答案为：． 12．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴两个相似多边形的周长比两个相似多边形的相似比为. 故答案为：． 13．如图，在矩形中，，在上取一点E，沿将向上折叠，使点B落在上的点F，若四边形与原矩形相似，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，正方形的性质与判定，相似多边形的性质，先证明四边形是正方形，得到，可设，则，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∵四边形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ∴， 故答案为：． 三、解答题 14．【探究与证明】 【问题情境】：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④矩形就是黄金矩形，图④的矩形______也是黄金矩形； (4)请你选择图④的其中一个黄金矩形来说明理由． 【答案】(1) (2)菱形；理由见解析 (3) (4)见解析 【分析】本题考查几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． （1）利用勾股定理计算即可； （2）根据菱形的判定方法即可判断； （3）根据黄金矩形的定义即可判断． （4）根据黄金矩形的定义即可判断． 【详解】（1）解：连接，如图③， 由题知四边形为正方形，且， ， 又两个矩形相等，， ． （2）解：四边形的形状是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，又图为矩形纸片， ，则， ， ， 四边形为菱形． （3）解：图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形． ， ， 则， 故四边形为黄金矩形， ， 故四边形为黄金矩形． （4）解：选其中一种写理由均可 四边形是黄金矩形的，理由如下： ， ， 则， 故四边形为黄金矩形， 或者四边形是黄金矩形的理由如下： ， 故四边形为黄金矩形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$