4.3 相似三角形的性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

4.3 相似三角形的性质 【考点1 利用相似三角形的性质求解】 【考点2 利用相似求坐标】 【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【考点4 相似三角形的判定与性质综合】 【考点5 相似三角形--动点问题】 【考点6 相似三角形的综合问题】 知识点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点3 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 【考点1 利用相似三角形的性质求解】 【典例1】如图，已知，若的长度为12，则的长度为（    ） A．9 B．12 C．16 D．20 【变式1-1】若两个等边三角形的边长比是，则它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，，则为 ． 【变式1-3】物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【考点2 利用相似求坐标】 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【变式2-2】如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【典例3】已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【变式3-1】如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】网格中每个小正方形的边长都是1． (1)将图①中的格点三角形平移，使点平移至点，画出平移后的三角形； (2)在图②中画一个格点三角形，使，且相似比为． 【变式3-3】如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图. (1)在图1中作一个，使与相似（相似比不为1，只需作一个即可）； (2)在图2中的线段上找一个点，使. 【考点4 相似三角形的判定与性质综合】 【典例4】已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 【变式4-1】如图，中，点D在上，，若，，求的长． 【变式4-2】如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式4-3】如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【考点5 相似三角形--动点问题】 【典例5】在中，，，，现有动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，连接．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为．    (1)求出的取值范围； (2)当时，，两点之间的距离是多少？ (3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 【变式5-1】如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取 ，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A． B． C． D． 【变式5-2】如图所示，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为．求当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似?    【变式5-3】如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点移动，动点从点从出发以的速度向点移动，如果、同时出发，当他们移动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似？    【考点6 相似三角形的综合问题】 【典例6】如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【变式6-1】如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．    (1)求证：△ABD∽△CBE； (2)若CD＝CF，试求∠ABC的度数． 【变式6-2】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【变式6-3】如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E． （1）证明：△ADF∽△DCE； （2）当CF＝1时，求EC的长． 一、单选题 1．如图，小盟同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边高地面的高度，，则树高长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，若，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，点分别在边上，连接，已知四边形是平行四边形，．若的面积为1，则平行四边形的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为18，则四边形的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，有一块三角形余料，它的边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点P、N分别在上，则加工成的正方形零件的边长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图①是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图②所示，此时液面 ． 7．如图，在菱形中，延长至点F，使得，连接，交于点E，若，则菱形的周长为 ． 8．如图，在中，，则 ． 9．如图，等边的边长为6，点为边上一点，且，点为边上一点．若， ． 10．如图所示，已知D，E分别是的，边上的点，，且，那么 ． 11．如图，在中，点分别在边上，，若，，则的值为 ． 12．如图所示，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为16，阴影部分三角形的面积为9，如果，那么的长为 ． 三、解答题 13．如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证； (2)若，，则的长为______． 14．如图，在四边形中，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 15．如图，在中，于E，于F，与分别相交于点G，H． (1)求证：； (2)若，求证；四边形是菱形． 16．如图，是等边三角形，D，B，C，E四点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的边长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 相似三角形的性质 【考点1 利用相似三角形的性质求解】 【考点2 利用相似求坐标】 【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【考点4 相似三角形的判定与性质综合】 【考点5 相似三角形--动点问题】 【考点6 相似三角形的综合问题】 知识点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点3 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 【考点1 利用相似三角形的性质求解】 【典例1】如图，已知，若的长度为12，则的长度为（    ） A．9 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-1】若两个等边三角形的边长比是，则它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个等边三角形的边长比是，根据相似三角形的性质计算周长之比即可．本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个等边三角形的边长比是， ∴两个三角形三边对应成比例， ∴两个等边三角形相似， ∴它们的周长比是， 故选B． 【变式1-2】如图，，，则为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方，可得，从而可得答案． 【详解】， ， 相似比为，即， ， ； 故答案为：3． 【变式1-3】物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 【考点2 利用相似求坐标】 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴， 当与相似时，则可分： ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【变式2-2】如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 【变式2-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【典例3】已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形， （1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可； （2）由面积的比得两三角形相似比为，画出所有对应边为原来倍的三角形即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． ； （2）解：如图：即为所求． ． 【变式3-1】如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可知， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 【变式3-2】网格中每个小正方形的边长都是1． (1)将图①中的格点三角形平移，使点平移至点，画出平移后的三角形； (2)在图②中画一个格点三角形，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作和，使，． ，，再连结即得； （2）作和，使， ，，再连结即得． 本题主要考查了画格点三角形，解决问题的关键是熟练掌握平移性质，相似三角形性质． 【详解】（1）由平移知，，． 作，，使，， 再连结即可． 如图①，即为所求． （2）当相似比为时，， ， 作，，使， 再连结即可． 如图②，即为所求． 【变式3-3】如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图. (1)在图1中作一个，使与相似（相似比不为1，只需作一个即可）； (2)在图2中的线段上找一个点，使. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—相似变换，勾股定理以及勾股定理逆定理等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用勾股定理以及勾股定理逆定理判断出，，从而即可得出； （2）构造相似比为的相似三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ，，，， ， ，， ，，，， ， 即为所求； （2）解：如图，点即为所求， ， 由图可得：， ， ， ，， ． 【考点4 相似三角形的判定与性质综合】 【典例4】已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【变式4-1】如图，中，点D在上，，若，，求的长． 【答案】 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，证明,故，即可得到∴，求出的长. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或（舍去）． 【变式4-2】如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可证明三角形相似； （2）根据三角形相似的性质得到，计算即可． 【详解】（1）证： 平分 ， （2）解： 即 【变式4-3】如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由菱形的性质得出，再根据两个角相等的三角形相似证明即可； （2）直接利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， 负值舍去． 【考点5 相似三角形--动点问题】 【典例5】在中，，，，现有动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，连接．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为．    (1)求出的取值范围； (2)当时，，两点之间的距离是多少？ (3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)为或 【分析】本题是动点问题，考查了勾股定理，相似三角形的性质等知识，掌握这些知识是关键．注意相似有两种情况，考虑要周到． （1）分别求出点P、Q在各自边上运动的时间范围，即可确定t的范围； （2）当时，可分别求得的长度，由勾股定理即可求得P，Q两点之间的距离； （3）分两种情况：；，利用相似三角形的性质即可求得t的值． 【详解】（1）解：由运动知，，． ∵，点P在线段上运动， ∴， ∴． ∵，点Q在线段上运动， ∴， ∴， ∴． （2）当时，，， 在中，根据勾股定理，得． （3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，且， ∴①当时， ∴， ∴， ∴．          ②当时， ∴， ∴， ∴．         综上，当t为或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【变式5-1】如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取 ，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质结合已知得出，，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 即 整理得：． 故选：A． 【变式5-2】如图所示，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为．求当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似?    【答案】当时，以，，为顶点的三角形与相似 【分析】在中，根据勾股定理，求出的值，用含的代数式表示出、，当时，，当时，，即可求解， 本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是：分情况讨论． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理，得：， ，， ①当时，，即：，解得：， ②当时，，即：，解得：（不合题意，舍去）， 故答案为：当时，以，，为顶点的三角形与相似． 【变式5-3】如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点移动，动点从点从出发以的速度向点移动，如果、同时出发，当他们移动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似？    【答案】秒或秒 【分析】本题综合考查相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间，本题运用了分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．解题的关键是掌握相似三角形的性质． 【详解】解：设当移动秒时，两三角形相似， ∵动点从点出发以的速度向点移动，动点从点从出发以的速度向点移动，，，， ∴的取值范围为，，， ∴， （1）当时，则， ∴， 解得：； （2）当时，则， ∴， 解得：， 验证可知（1）（2）两种情况下所求的的值均满足条件， 综上所述，当运动时间为秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【考点6 相似三角形的综合问题】 【典例6】如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见详解；（2） 【分析】（1）只要证明△DAE∽△CAD，可得，推出AD2＝AC•AE即可解决问题； （2）利用直角三角形斜边中线定理求出DF，再根据DF∥AC，可得，由此可得，再利用第一问的结论，即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E， ∴∠ADC＝∠AED＝90°， ∵，于， ∴∠DAE＝∠DAC， ∴△DAE∽△CAD， ∴， ∴AD2＝AC•AE， ∵AC＝AB， ∴AD2＝AB•AE． （2）解：如图，连接DF． ∵AB＝5，∠ADB＝90°，BF＝AF， ∴DFAB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC， ∴DF∥AC， ∴， ∴ ∵AD2＝AB•AE． ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 【变式6-1】如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．    (1)求证：△ABD∽△CBE； (2)若CD＝CF，试求∠ABC的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到； （2）设∠B＝x ，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答． 【详解】（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC ∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE   ∴∠BAD＝∠BCE 而∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBE （2）解：设∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝， ∴∠ADC＝ 又∵CD＝CF ∴∠ADC＝∠DFC＝   ∴    ∴ 即    【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键． 法的应用是解题关键． 【变式6-2】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）EB=2FD． 【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证； （2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC， ∵∠EFD=∠BDF， ∴180°-∠EFD=180°-∠BDF， ∴∠AFE=∠ADC， 又∵∠BAD=∠DAC， ∴△AFE∽△ADC； （2）由（1）得，△AFE∽△ADC， ∴∠AEF=∠C， ∵∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EB=2FD． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键． 【变式6-3】如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E． （1）证明：△ADF∽△DCE； （2）当CF＝1时，求EC的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】证明：（1）四边形是矩形， ，． 又， ，， ； （2）， ， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的性质是解题关键． 一、单选题 1．如图，小盟同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边高地面的高度，，则树高长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意可证，由此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴，，，， ∴， 解得，， ∴， 故选：B ． 2．如图，在中，，若，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的性质，易证，再根据，带入数值，得出，再根据，即可选出正确答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选A． 3．如图，在中，点分别在边上，连接，已知四边形是平行四边形，．若的面积为1，则平行四边形的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的对边平行，得到，根据面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴平行四边形的面积为； 故选C． 4．如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为18，则四边形的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形重心的有关系性质，相似三角形的判定以及性质，连接并延长交于G，由重心的性质得，，由平行线截直线成比例可得出，，再证明，，由相似三角形的性质可得出，，分别求出和，进一步即可得出答案． 【详解】解：连接并延长交于G，由重心的性质得，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴四边形的面积， 故选：B． 5．如图，有一块三角形余料，它的边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点P、N分别在上，则加工成的正方形零件的边长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长； 【详解】解：设正方形零件的边长为， 在正方形中，， ， ， ， 即：． 解得：． 故选：A． 二、填空题 6．如图①是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图②所示，此时液面 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了，相似三角形的实际应用，求相似比，解题的关键是：将实际问题转化为数学模型． 画出截面图，过点C作交于点G，交于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交于点G，交于点F， 由题意得：， ∵， ∴分别是边上的高， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为： 7．如图，在菱形中，延长至点F，使得，连接，交于点E，若，则菱形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些知识是关键；由菱形的性质可证明，则得的长，即可求得菱形的面积． 【详解】解：在菱形中，，； ， ， ； ， ， ， ， 则菱形的周长为； 故答案为：24． 8．如图，在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解决问题的关键，根据已知条件证明，由相似三角形的性质可得，代入数据求得的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ，即， 解得（负值舍去） 故答案为：． 9．如图，等边的边长为6，点为边上一点，且，点为边上一点．若， ． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形性质求出，推出，证，得出，代入求出即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键是推出，主要考查了学生的推理能力和计算能力． 10．如图所示，已知D，E分别是的，边上的点，，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．由题可知：，相似比为，由，得，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，在中，点分别在边上，，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，的长，可求出的长，由，可得出，利用相似三角形的性质，即可求出的值． 【详解】解：，， ． ， ， 故答案为：． 12．如图所示，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为16，阴影部分三角形的面积为9，如果，那么的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平移、相似三角形、三角形中线的知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 根据平移的性质，得，，，，根据相似三角形的性质，通过证明，，推导得，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意，，，，，如下图 ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴   故答案为：3． 三、解答题 13．如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得， 进而可以证明； （2）由（1）得， 得代入值可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明： 在中， ， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 由（1）知： ， ， ， ∴， ． 14．如图，在四边形中，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）证明可得，进而由即可求证； （）设，则，，由（）得，可得，再根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，由得，，， 由（）得，，即， 解得或（不合，舍去）， ∵， ∴． 15．如图，在中，于E，于F，与分别相交于点G，H． (1)求证：； (2)若，求证；四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质，菱形的判定定理，相似三角形的判定： （1）根据平行四边形的性质，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质，可得．从而得到，再由，可得，然后结合三角形外角的性质可得．从而得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是菱形． 16．如图，是等边三角形，D，B，C，E四点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）利用等边三角形的性质结合三角形的外角的性质证明，，从而可得结论； （2）利用相似三角形的性质与等边三角形的性质建立方程求解即可； 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ． ∵，， ∴， ∴； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$