第五讲：充分条件、必要条件和全称量词、存在量词（六大考点）-2024-2025学年高一数学同步预习讲义（人教A版2019必修第一册）

第五讲：充分条件、必要条件和全称量词、存在量词 讲义导航 知识点一：命题的概念 知识点二：充分条件，必要条件和充要条件 知识点三：根据充分、必要条件求参数的范围 知识点四：全称量词、特称量词和全称命题、特称命题 知识点五：命题的否定 知识点六：逻辑用语综合应用 知识点一：命题的概念 【课前预习】 命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. 中学数学中的许多命题可以写成“若p, 则 q”"如果 p, 那么q" 等形式. p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【例题讲解】 例1：（多选）下列语句是命题的是（    ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 【课堂练习】 1．下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 2.下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 3．有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 知识点二：充分条件，必要条件和充要条件 【课前预习】 1.一般地，如果，那么称：是的 条件, 的 条件. 2.①如果且，那么称是的 条件,简称 条件，记作 . ②如果且⇏,那么称是的 条件； ③如果⇏且,那么称是的 条件； ④如果⇏且⇏,那么称是的 条件. 【例题讲解】 例2：（多选）若，则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【课堂练习】 1.“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3.“为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 5．若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点三：根据充分、必要条件求参数的范围 【课前预习】 （1）p⇒q，且q⇏p，p是q的充分不必要条件. （2）q⇒p，且p⇏q,p是q的必要不充分条件. （3）p⇒q，且q⇒p，即p⇔q,p是q的充要条件. （4）p⇏q，且q⇏p,p是q的既不充分也不必要条件. 【例题讲解】 例3.已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【课堂练习】 1.已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 4.已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 5.已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 知识点四：全称量词、特称量词和全称命题、特称命题 【课前预习】 1.全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示. （2）存在量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示. 【例题讲解】 例4.（多选）下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（    ） A．菱形的对角线互相垂直 B．， C．， D．对任意， 例5.（多选）下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．有一个无理数，它的立方是有理数 C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数 D．每个三角形的内角和都是 【课堂练习】 1．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 2．下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 3．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是矩形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 4．判断下列命题是存在量词命题的个数（    ） ①每一个一次函数都是增函数； ②至少有一个自然数小于1； ③存在一个实数x，使得； ④两直线平行，内错角相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点五：命题的否定 【课前预习】 全称量词命题、存在量词命题及含量词命题的否定 命题名称 命题结构 命题简记 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，成立 存在量词命题 存在M中的元素x，成立 【例题讲解】 例6.已知命题： ，，则命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【课堂练习】 1.命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 4．命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 知识点六：逻辑用语综合应用 【例题讲解】 例6．已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【课堂练习】 1.若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 2.已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 5.已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 6.已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 一、单选题 1．设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知，正整数能被整除，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．对于实数，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若 ，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．无法判断 9．设，则“是合数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．若，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11.已知下列命题： ①命题“，”的否定是“，”； ②“”是“”的充分不必要条件； ③“若，则且”为真命题； 其中真命题的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 12.“，”的否定是（    ） A．，使得 B．， C．，使得 D．， 二、多选题 13．下列说法正确的是（    ）． A．命题p：“，”的否定是：“，” B．已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．若是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 14．设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 14．若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 15．可以作为“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 16．使“”成立的一个必要不充分条件可以是（　　） A． B．或 C． D． 17．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（         ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若，则 C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式恒成立 18.下列存在量词命题中，是假命题的是（    ） A． B．至少有一个，使能同时被2和3整除 C． D．有些自然数是偶数 三、填空题 19．已知集合，，则“”是“”的 .（请从“充分不必要条件”､“必要不充分条件”､“充要条件”､“既不充分也不必要条件”中选一个填在横线上） 20．已知，，则是的 ．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“即不充分也不必要条件”之一填空） 21．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 22．已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 23．已知：实数满足集合，：实数满足集合或． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 24．已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 25．已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 26．设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 27．已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 28．在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合． (1)当时，求和； (2)若________，求实数的取值范围． 29．已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 30．已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 31．已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 32.（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 33.已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 34．已知命题：，为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五讲：充分条件、必要条件和全称量词、存在量词 讲义导航 知识点一：命题的概念 知识点二：充分条件，必要条件和充要条件 知识点三：根据充分、必要条件求参数的范围 知识点四：全称量词、特称量词和全称命题、特称命题 知识点五：命题的否定 知识点六：逻辑用语综合应用 知识点一：命题的概念 【课前预习】 命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. 中学数学中的许多命题可以写成“若p, 则 q”"如果 p, 那么q" 等形式. p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【例题讲解】 例1：（多选）下列语句是命题的是（    ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 解析：对于A，3能整除15，为真，所以A是命题； 对于B，，为真，所以B是命题； 对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题； 对于D，“你准备考北京大学吗?”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题. 故选：ABC. 【课堂练习】 1．下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】 ①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 2.下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【详解】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 3．有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A 知识点二：充分条件，必要条件和充要条件 【课前预习】 1.一般地，如果，那么称：是的 条件, 的 条件. 【答案】 充分 必要 2.①如果且，那么称是的 条件,简称 条件，记作 . ②如果且⇏,那么称是的 条件； ③如果⇏且,那么称是的 条件； ④如果⇏且⇏,那么称是的 条件. 【答案】 充分必要 充要 充分不必要 必要不充分 既不充分又不必要 【例题讲解】 例2：（多选）若，则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 解析：设对应的集合为，使成立的一个充分不必要条件对应的集合为， 由解得，，故，因为要求使成立的一个充分不必要条件， 所以且，满足上述条件的选项有BC. 故选：BC. 【课堂练习】 1.“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 2.已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】因，故由得不出，即p不是q的充分条件； 而由可得，故必有成立，即p是q的必要条件， 故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 3.“为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当为整数时，必为整数； 当为整数时，不一定为整数， 例如当时，. 所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 4.关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 5．若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 若，则，， 则“”是“”的充分条件； 若，则， 则时，不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件, 故选：A. 知识点三：根据充分、必要条件求参数的范围 【课前预习】 （1）p⇒q，且q⇏p，p是q的充分不必要条件. （2）q⇒p，且p⇏q,p是q的必要不充分条件. （3）p⇒q，且q⇒p，即p⇔q,p是q的充要条件. （4）p⇏q，且q⇏p,p是q的既不充分也不必要条件. 【例题讲解】 例3.已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为. 【课堂练习】 1.已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为或，， 令，， 因为是的充分不必要条件，所以， 所以. 故选：D 2.（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则. 故选：AB 3．（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【详解】若“或”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或， 所以AD选项符合，BC选项不符合. 故选：AD 4.已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 因，则. 当时，，所以. （2）因“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集. 所以，经检验“=”满足. 所以实数m的取值范围是. 5.已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：当时，集合， 因为集合或，所以或. （2）解：由集合或，可得， 因为，且 “”是“”充分不必要条件， 可得，则，解得，即实数的取值范围是. 知识点四：全称量词、特称量词和全称命题、特称命题 【课前预习】 1.全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示. （2）存在量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示. 【答案】 所有的 任意一个 存在一个 至少有一个 【例题讲解】 例4.（多选）下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（    ） A．菱形的对角线互相垂直 B．， C．， D．对任意， 【答案】AD 【详解】A选项，命题是全称量词命题，由菱形的性质可知是真命题，A选项正确； B选项，，当时，，命题为假命题，选项不合题意； 选项，命题为存在量词命题，不合题意. D选项，对任意，，命题是全称量词命题，且是真命题，D选项正确. 故选:. 例5.（多选）下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．有一个无理数，它的立方是有理数 C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数 D．每个三角形的内角和都是 【答案】AB 【详解】A中，命题：存在实数，使为存在量词命题，且为真命题，所以A正确； B中，命题：有一个无理数，它的立方是有理数为存在量词命题，且为真命题，所以B正确； C中，命题：存在一个实数，它的倒数是它的相反数为存在量词命题，但为假命题，所以C不正确； D中，命题：每个三角形的内角和都是为全称量词命题，所以D不正确. 故选：AB. 【课堂练习】 1．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 2．下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 【答案】C 【详解】A中，因为是素数，不是奇数，命题所有的素数都是奇数是全称量词命题且是假命题； B中，该命题是存在量词命题且是真命题； C中，根据平行四边形的性质，可得该命题是全称量词命题且是真命题； D中，该命题是存在量词命题且是假命题. 故选：C. 3．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是矩形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【答案】C 【详解】A.所有正方形都是矩形为全称量词命题，故A错误； B.，使为存在量词命题，，方程无解，该命题为假命题，故B错误； C.至少有一个实数，使为存在量词命题，当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确； D. ，使为存在量词命题，无解，故D错误； 故选：C 4．判断下列命题是存在量词命题的个数（    ） ①每一个一次函数都是增函数； ②至少有一个自然数小于1； ③存在一个实数x，使得； ④两直线平行，内错角相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】①因为“每一个”是全称量词，所以每一个一次函数都是增函数是全称量词命题； ②因为“至少有一个”是存在量词，所以至少有一个自然数小于1是存在量词命题； ③因为“存在一个”是存在量词，所以存在一个实数x，使得是存在量词命题； ④两直线平行，内错角相等是全称量词命题，省略了“所有的”. 故选：B 知识点五：命题的否定 【课前预习】 全称量词命题、存在量词命题及含量词命题的否定 命题名称 命题结构 命题简记 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，成立 存在量词命题 存在M中的元素x，成立 【答案】 【例题讲解】 例6.已知命题： ，，则命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】命题： ，，为全称量词命题， 则命题的否定为：. 故选：D 【课堂练习】 1.命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题，可知命题，的否定为，． 故选：D 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 3．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是“”． 故选：A 4．命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选：B. 知识点六：逻辑用语综合应用 【例题讲解】 例6．已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由命题：“，”为真命题，即不等式在上恒成立， 可得，解得，所以实数的取值集合为. （2）解：由“”是“”的充分条件，可得， 因为，， 当时，可得，解得，此时满足； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【课堂练习】 1.若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若“”为真命题，则A错误， 又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误， 则集合可以是. 故选：C 2.已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于命题：“，”为假命题， 所以， 解得. 故选：D 3．已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，又，此时，故. 故选：A. 4.命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】，，为真命题，故， 解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 5.已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1)4 (2)0 【详解】（1）因为，所以，解得； （2）因为命题为真命题， 所以方程组有公共解，解得， 当时，经检验知，符合题意. 6.已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 一、单选题 1．设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【详解】由题，可得；但由，可得或， 故甲是乙的充分条件但不是必要条件， 故选：A． 2．已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，又，，所以， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知，正整数能被整除，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题知命题表示正整数a能被2整除， 而能被4整除的正整数一定能被2整除，故能够推出， 而能被2整除的正整数不一定能被4整除，如6，故无法推出， 故是的必要不充分条件． 故选：B． 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得或， 因为为或的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 5．对于实数，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“”等价于“且”， 只知道时无法保证，但且时必然有， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】当时，满足，但不满足，故充分性不成立； 当时，满足，但不满足，故必要性不成立； 所以“” 是的既不充分又不必要条件， 故选：D. 7．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】.∵，故，即， 若，由，则，所以反之不成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8．若 ，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．无法判断 【答案】A 【详解】因为方程的根为或2， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 9．设，则“是合数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由是合数知，能得出，但由不一定能得出是合数，故“是合数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 10．若，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，则，即由推不出且，故充分性不成立； 若且，则，即由且推得出， 即必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 11.已知下列命题： ①命题“，”的否定是“，”； ②“”是“”的充分不必要条件； ③“若，则且”为真命题； 其中真命题的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【详解】对于①，命题“，”的否定是“，”，所以①是假命题； 对于②，“”是“”的必要不充分条件，所以②是假命题； 对于③，因为，得或，所以 “若，则且”是假命题，所以③是假命题； 综上所述，真命题的个数为0个. 故选：D． 12.“，”的否定是（    ） A．，使得 B．， C．，使得 D．， 【答案】A 【详解】“，”的否定是“，使得”， 故选：A. 二、多选题 13．下列说法正确的是（    ）． A．命题p：“，”的否定是：“，” B．已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．若是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】对于A中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p：“，”的否定为“，”所以A正确； 对于B中，由且，可得“，即充分性成立； 反正：例如：，满足，但且不成立，即必要性不成立， 所以且是的充分而不必要条件，所以B正确； 对于C中，由，可得且， 所以是的必要不充分条件，所以C不正确； 对于D中，根据充分条件、必要条件的关系，可得p是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD. 14．设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【详解】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，. 故选：ABD. 14．若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C. 故选：ABC 15．可以作为“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】“”的充分不必要条件可以是：、， 所以BD选项正确，AC选项错误. 故选：BD 16．使“”成立的一个必要不充分条件可以是（　　） A． B．或 C． D． 【答案】AC 【详解】因为，， 所以由推得出，由推不出， 即是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件； 同理可得是的必要不充分条件； 所以使“”成立的一个必要不充分条件可以是，. 故选：AC 17．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（         ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若，则 C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式恒成立 【答案】ABD 【详解】A选项，矩形的对角线互相平分且相等，为全称量词命题，且是真命题，A正确； B选项，对任意非正数c，若，则，为全称命题，且是真命题，B正确； C选项，有些菱形不是平行四边形为存在量词命题，C错误； D选项，对任意实数x，不等式恒成立，为全称量词命题， 因为，故不等式恒成立，为真命题，D正确. 故选：ABD 18.下列存在量词命题中，是假命题的是（    ） A． B．至少有一个，使能同时被2和3整除 C． D．有些自然数是偶数 【答案】AC 【详解】对于A，，即，解得，所以是假命题； 对于B，6能同时被2和3整除，所以是真命题； 对于C，因为所有实数的绝对值非负，即，所以是假命题； 对于D，2既是自然数又是偶数，所以是真命题． 故选：AC． 三、填空题 19．已知集合，，则“”是“”的 .（请从“充分不必要条件”､“必要不充分条件”､“充要条件”､“既不充分也不必要条件”中选一个填在横线上） 【答案】必要不充分条件 【详解】因为，， 所以，则由推不出，故充分性不成立， 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件 20．已知，，则是的 ．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“即不充分也不必要条件”之一填空） 【答案】必要不充分条件 【详解】由题意，，所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 21．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 22．已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为p：，所以p：，即 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以 解得，即实数m的取值范围是． 23．已知：实数满足集合，：实数满足集合或． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）因为，所以，又或， 所以或； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，所以或， 所以或． 24．已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】或 【详解】令，或， 因为是的充分不必要条件，所以真包含于， 所以或，解得或， 故的取值范围为或． 法二：由真包含于，可得如下两种情况， 结合数轴得或， 解得或， 故的取值范围为或． 25．已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：，即实数的取值范围为. 26．设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【详解】（1）当时，； 所以，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 27．已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 28．在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合． (1)当时，求和； (2)若________，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【详解】（1）当时，集合， 所以， 又因为，所以. （2）若选择①，，则， 当时，，解得：， 当时，又， 所以，得， 所以实数a的取值范围是． 若选择②，““是“”的充分不必要条件， 则且， 因为， 或，解得：， 由于无解，不成立， 所以实数a的取值范围是．（不检验扣1分） 若选择③，， 当时，，解得：， 当时，又，则， 解得：或， 所以实数a的取值范围是． 29．已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解可得， 故可知， 当时，， 所以，； （2）因为是的充分不必要条件， 所以⫋，则， 解得. 30．已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 【答案】(1)或 (2)分类讨论，答案见解析. 【详解】（1）当时，， 则， 由于，因此或； （2）因为，所以， 若选取①：因为，所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 若选取②：由“”是“”的充分不必要条件， 可得， 则或， 解得， 即的取值范围是. 若选取③：因为， 所以或，解得或， 即的取值范围是. 31．已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）， 所以集合的真子集有； （2）选①，因为“”是“”的充分条件， 所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 选②，因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 32.（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 【答案】（1）且；（2） 【详解】（1）方程有两个不同的实数解， 则当为唯一解，不合题意舍去； 所以且，解得且， 故集合且 （2）命题“， ”为真命题， 则对恒成立，即， 故实数a的最小值为2. 33.已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 34．已知命题：，为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为命题：，为假命题， 所以命题的否定为：，，为真命题， 且，解得． ∴． （2）由解得，即， 若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集， 又，所以，解得， 所以实数的取值集合为． 35．已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由命题：“，”为真命题，即不等式在上恒成立， 可得，解得，所以实数的取值集合为. （2）解：由“”是“”的充分条件，可得， 因为，， 当时，可得，解得，此时满足； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$