专题3.1 探索勾股定理及勾股定理的逆定理（八个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题3.1 探索勾股定理及勾股定理的逆定理（8个考点） 【考点1一直直角三角形的两边，求第三边长】 【考点2求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【考点3等面积法求直接斜边上的高问题】 【考点4作无理数的线段】 【考点5勾股定理的证明】 【考点 6勾股定理的逆定理的运用】 【考点7勾股定理的逆定理应用】 【考点8勾股数】 【考点1一直直角三角形的两边，求第三边长】 1．（2023春•禅城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，则AB边的长度是（　　） A．3 B．4 C． D． 2．（2023春•张北县校级期中）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°且AB＝3，BC＝4，则AC＝（　　） A．5 B． C．5或 D．±5或 3．（2023春•黄冈月考）直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（　　） A．13 B． C．13或 D．7 4．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，则BC的长度为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 5．（2023秋•晋江市期末）我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（　　） A．21 B．15 C．13 D．12 6．（2023秋•内江期末）如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（　　） A．24 B．30 C．48 D．18 7．（2023•金水区开学）图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，则OA21的长为（　　） A．22 B． C．21 D． 【考点2求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 8．（2023秋•朝阳区校级期末）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（　　） A．28cm2 B．42 cm2 C．49 cm2 D．63 cm2 9．（2023秋•建湖县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（2023秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 11.（2023春•东西湖区期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（　　） A．12.5 B．13 C．14 D．15 12．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（　　） A． B． C． D． 13．（2023秋•临猗县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝10，△ABD的面积为40，则CD的长是（　　） A．5 B． C．6 D．8 14．（2023春•凉城县期末）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（　　） A．15cm2 B．30cm2 C．60cm2 D．65cm2 15．（2023秋•青岛期中）如图，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 16．（2023秋•昌江区期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（　　） A．18 B．36 C．65 D．72 17．（2023春•焦作期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（　　） A．6 B．5 C．11 D．16 18．（2023秋•昭通期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，AB＝20，CD是AB边上的高，则CD的长是（　　） A．4.8 B．7.2 C．8 D．9.6 19．（2023秋•河东区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是AB边上的高，则AD的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 20．（2023秋•彰武县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连结AE，则△ABE的周长为 　　． 21．（2023秋•凤翔区期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 　　． 【考点3等面积法求直接斜边上的高问题】 22．（2023春•西城区校级期中）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为（　　） A． B． C．6 D．13 23．（2023秋•莲池区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（　　） A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 24．（2023春•代县月考）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则边BC的长为（　　） A．4 B．14 C．4或14 D．8或14 25．（2023秋•榕城区期末）如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则BC边上的高是（　　） A． B． C．2 D． 26．（2023春•长沙期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为AB边上的高． （1）求斜边AB的长； （2）求CD的长． 27．（2023春•靖西市期中）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝8，BC＝6． （1）求AB的长； （2）求斜边上的高CD的长． 28．（2023秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10． （1）若CD＝6，则AD＝　8　，BD＝　15　； （2）若BC＝20，求CD的长． 【考点4作无理数的线段】 30．如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为﹣1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取AE＝AC，则点E所表示的数为（　　） A．1 B．1﹣ C．﹣1 D． 31．如图所示，数轴上点A所表示的数为 　 　． 35．如图所示，点C表示的数是 　　． 32．如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，BA＝BC，写出数轴上点A所表示的数是 　 　． 33．如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是　 　． 34．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）． ． 【考点5勾股定理的证明】 35．（2023春•渝北区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A．B． C．D． 36．（2023秋•海州区期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．148 B．100 C．196 D．144 37．（2023春•河东区期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（　　） A．10+ B．10+ C．10+ D．24 38．（2023春•朝阳区校级期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），直角三角形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则用含S1，S2的代数式表示a2+b2正确的是（　　） A．4S1+S21 B．4S1﹣S2 C．4S1 D．4S1+S2 39．（2023•攀枝花二模）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 40．（2023秋•溧水区期末）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°． （1）求证：DF⊥AB； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2． 42.方图”以验证勾股定理，后世也称“赵爽弦图”．实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： （1）如图，正方形ABCD的面积为 　（a+b）2　，正方形IJKL的面积为 　（a﹣b）2　；（用含a，b的式子表示） （2）根据图中正方形ABCD的面积及正方形IJKL的面积的关系，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2的等量关系为 　（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2　； （3）请通过运算证明上述等量关系； （4）记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形IJKL的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝30，直角三角形AEH的面积为，则求（a﹣b）2的值． 【考点 6勾股定理的逆定理的运用】 43．（2023秋•双流区期末）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，6 C． D．8，15，16 44．（2023秋•市北区期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，则由下列条件能判定△ABC为直角三角形的有（　　） （1）∠A+∠B＝∠C （2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3 （3）a2＝c2﹣b2 （4）a：b：c＝1：2：3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（2023秋•拱墅区校级期末）△ABC三边长为a、b、c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a＝7，b＝8，c＝10 B． C．a＝12，b＝5，c＝13 D．a＝3，b＝4，c＝6 46．（2023秋•昌黎县期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2： C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 47．（2023秋•淮安区期中）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【考点7勾股定理的逆定理应用】 48．（2023秋•黎川县校级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，求下列问题： （1）试说明△ABC是直角三角形； （2）求点C到AB的距离． 49．（2023春•西宁期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AC＝4，CD＝3，AD＝5，AB＝4． （1）求证：∠C＝90°； （2）求BD的长． 50．（2023秋•陈仓区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝，点D在AB上，且BD＝1，CD＝2． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC的长． 51．（2023春•台江区期末）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点． （1）求AB和BC； （2）求∠ABC的度数． 52．（2023春•武昌区期中）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8． （1）求证：△ACD是直角三角形； （2）求四边形ABCD的面积． 53．（2023秋•工业园区校级期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上． （1）直接写出AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　 　； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）直接写出AC边上的高＝　 　． 54．（2023秋•淮安区期中）如图，四边形ABCD中，AD＝3，AB＝4，BC＝12，CD＝13，∠A＝90°，计算四边形ABCD的面积． 55．（2023秋•崂山区校级期末）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2． （1）求BC的长； （2）求图中阴影部分的面积． 56．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝8，AC＝6，DC＝． （1）求AD，BD的长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 57．（2023春•津南区期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9． （1）求AC的长； （2）判断△ABC的形状并证明． 58．（2023春•平舆县期末）已知平面直角坐标系内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）． （1）若|P1P2|表示这两点间的距离，求证：|P1P2|＝． （2）试判断点A（4，﹣4），B（﹣1，5），C（2，1）是否构成直角三角形． 59．（2022秋•渭滨区期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 60．（2023春•魏县期末）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上． （1）求四边形ABCD的面积和周长； （2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 61．（2023春•康县期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠ADC应为直角，工人师傅测得∠BAC＝90°，AD＝3，CD＝4，AB＝12，BC＝13．请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么． 62．（2023春•抚宁区期末）如图，每个小正方形的边长为1． （1）求四边形ABCD的周长； （2）求证：∠BCD＝90°． 63．（2023春•惠州校级期中）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 64．（2023春•京山市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5． （1）求△BCD的面积； （2）求BD的长． 65．（2023春•乾安县期中）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米．求证：CD⊥AB． 66．（2023春•市中区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点E自A向B以2cm/s的速度运动，动点F自B向C以4cm/s的速度运动，若E，F同时分别从A，B出发． （1）试问出发几秒后，△BEF为等边三角形？ （2）试问出发几秒后，△BEF为直角三角形？ 67．（2022秋•安宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为A（0，4），B（2，0），C（2，5），连接AB，AC，BC． （1）求AC，AB的长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 68．（2022秋•福山区期中）2022年2月8日，中国女子自由式滑雪运动员谷爱凌夺得2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台金牌，这枚金牌对于中国的意义非凡，它标志着中国的滑雪运动进入了一个新阶段．自由式滑雪大跳台是北京冬奥会新增项目，运动员从一个近50米高的斜坡下滑获取初速度，然后上滑至跳台的尽头腾跃，完成空翻、转体、抓板等技术动作组合．如图所示跳台可近似看作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，BC＝4m，AC＝3m，假设运动员P从点B出发沿射线BA以20m/s的速度匀速运动，则当运动时间t等于多少时，△BPC为直角三角形？ 【考点8勾股数】 69．（2023秋•南明区期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13 70．（2023秋•新民市期末）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　） A．2，4，6 B．1，2，3 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 71．（2023秋•甘州区校级期末）下面四组数中是勾股数的一组是（　　） A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，2.5 D．5，12，13 72．（2023秋•宿豫区期中）下列各组数是勾股数的为（　　） A．1.5，2，2.5 B．，， C．3，4，5 D．13，14，15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 探索勾股定理及勾股定理的逆定理（八个考点） 【考点1一直直角三角形的两边，求第三边长】 【考点2求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【考点3等面积法求直接斜边上的高问题】 【考点4作无理数的线段】 【考点5勾股定理的证明】 【考点 6勾股定理的逆定理的运用】 【考点7勾股定理的逆定理应用】 【考点8勾股数】 【考点1一直直角三角形的两边，求第三边长】 1．（2023春•禅城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，则AB边的长度是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2， ∴AB＝2AC＝4． 故选：B． 2．（2023春•张北县校级期中）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°且AB＝3，BC＝4，则AC＝（　　） A．5 B． C．5或 D．±5或 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝90°， ∴BC是斜边， ∴＝＝． 故选：B． 3．（2023春•黄冈月考）直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（　　） A．13 B． C．13或 D．7 【答案】C 【解答】解：直角三角形两边分别为5和12，根据勾股定理可知， 第三边长为或， 即第三边长为13或， 故选：C． 4．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，则BC的长度为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6， ∴BC＝2BD，AD⊥BC． 在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+62＝102，解得BD＝8， ∴BC＝16． 故选：D． 5．（2023秋•晋江市期末）我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（　　） A．21 B．15 C．13 D．12 【答案】B 【解答】解：弦为：， 故选：B． 6．（2023秋•内江期末）如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（　　） A．24 B．30 C．48 D．18 【答案】B 【解答】解：根据勾股定理，得 直角三角形的斜边是＝10， 则矩形的面积是10×3＝30． 故选：B． 7．（2023•金水区开学）图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，则OA21的长为（　　） A．22 B． C．21 D． 【答案】D 【解答】解：∵OA1＝1，OA2＝＝，OA3＝＝，..．， ∴OAn＝， ∴OA21＝， 故选：D． 【考点2求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 8．（2023秋•朝阳区校级期末）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（　　） A．28cm2 B．42 cm2 C．49 cm2 D．63 cm2 【答案】C 【解答】解：由图形可知2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形A，B的面积之和＝49cm2． 故选：C． 9．（2023秋•建湖县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝＝4， ∵AB的垂直平分线交BC于点D， ∴AD＝BD， ∵BC＝4，AC＝3， ∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4， ∴△ACD的周长为：4+3＝7． 故选：A． 10．（2023秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解答】解：∵∠A＝90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的角平分线， ∴AD＝DE， 在Rt△BAD和Rt△BED中， ， ∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL）， ∴BA＝BE＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝5﹣3＝2，AC＝＝＝4， ∴△CDE的周长＝DE+DC+CE＝AD+DC+CE＝AC+CE＝4+2＝6． 故选：A． 11.（2023春•东西湖区期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（　　） A．12.5 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， ∵S1+S2＝7， ∴×π×（）2+×π×（）2+×AC×BC﹣×π×（）2＝7， ∴AC×BC＝14， ∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝62+2×14＝64， ∴AC+BC＝8（负值舍去）， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+6＝14， 故选：C． 12．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝＝5， ∴△ABC的周长＝3+4+5＝12， ∵BD平分△ABC的周长， ∴AB+AD＝BC+CD＝6， ∴AD＝3，CD＝2， 过D作DE⊥BC于E， ∴AB∥DE， ∴△CDE∽△CAB， ∴， ∴， ∴DE＝，CE＝， ∴BE＝， ∴BD＝＝＝， 故选：C． 13．（2023秋•临猗县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝10，△ABD的面积为40，则CD的长是（　　） A．5 B． C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：∵△ABD的面积为40，AD＝10， ∴×10×BC＝40，解得BC＝8， 在Rt△BCD中，CD＝＝＝6， 故选：C． 14．（2023春•凉城县期末）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（　　） A．15cm2 B．30cm2 C．60cm2 D．65cm2 【答案】A 【解答】解：由勾股定理得，AC＝＝12， ∵BD是AC边上的中线， ∴CD＝AD＝6， ∴△BCD的面积＝×5×6＝15（cm2）， 故选：A． 15．（2023秋•青岛期中）如图，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 【答案】A 【解答】解：根据题意知：AC2+BC2＝AB2＝16． 图中阴影部分的面积＝π×（AC）2+π×（BC）2+π×（AB）2 ＝π（AC2+BC2+AB2） ＝π×（16+16） ＝4π． 故选：A． 16．（2023秋•昌江区期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（　　） A．18 B．36 C．65 D．72 【答案】C 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4， ∴AB＝＝， 则正方形ABDE的面积为：（）2＝65． 故选：C． 17．（2023春•焦作期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（　　） A．6 B．5 C．11 D．16 【答案】A 【解答】解：∵∠ACB+∠ECD＝90°，∠DEC+∠ECD＝90° ∴∠ACB＝∠DEC， 在△ABC和△CDE中， ∵， ∴△ABC≌△CDE， ∴BC＝DE， ∵AC2＝AB2+BC2， ∴b的面积＝a的面积+c的面积， ∴c的面积＝b的面积﹣a的面积＝11﹣5＝6． 故选：A． 18．（2023秋•昭通期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，AB＝20，CD是AB边上的高，则CD的长是（　　） A．4.8 B．7.2 C．8 D．9.6 【答案】D 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高， ∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD， ∴×12×16＝×20×CD， 解得：CD＝9.6， 故选：D． 19．（2023秋•河东区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是AB边上的高，则AD的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝4， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝30°， ∵∠CDB＝90°，BC＝2，∠BCD＝30°， ∴， ∴AD＝AB﹣BD＝3， 故选：B． 20．（2023秋•彰武县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连结AE，则△ABE的周长为 　14　． 【答案】14． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10， ∴BC＝＝＝8， ∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝6+8＝14， 故答案为：14． 21．（2023秋•凤翔区期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 　24　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 由勾股定理得：AB＝＝＝10， 所以阴影部分的面积S＝×π×32+×π×42+×6×8﹣•π×52＝24， 故答案为：24． 【考点3等面积法求直接斜边上的高问题】 22．（2023春•西城区校级期中）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为（　　） A． B． C．6 D．13 【答案】A 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12， ∴斜边为＝13， ∵三角形的面积＝×5×12＝×13h（h为斜边上的高）， ∴h＝． 故选：A． 23．（2023秋•莲池区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（　　） A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 【答案】A 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， ∵CD⊥AB， ∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC， ∴CD＝＝＝2.4， 故选：A． 24．（2023春•代县月考）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则边BC的长为（　　） A．4 B．14 C．4或14 D．8或14 【答案】C 【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12， 在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25， 则BD＝5， 在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81， 则CD＝9， 故BC的长为BD+DC＝9+5＝14； （2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12， 在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25， 则BD＝5， 在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81， 则CD＝9， 故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4． 综上可得BC的长为14或4． 故选：C． 25．（2023秋•榕城区期末）如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则BC边上的高是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：∵AB＝， AC＝， BC＝， ∴AB2+AC2＝BC2＝10， ∴△ABC是直角三角形， 设BC边上的高为h， 则S， ∴h＝＝， 即BC边上的高是， 故选：A． 26．（2023春•长沙期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为AB边上的高． （1）求斜边AB的长； （2）求CD的长． 【答案】（1）10； （2）4.8． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝10； （2）∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD， ∴6×8＝10×CD， ∴CD＝4.8． 27．（2023春•靖西市期中）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝8，BC＝6． （1）求AB的长； （2）求斜边上的高CD的长． 【答案】（1）10； （2）． 【解答】解：（1）由勾股定理得：； （2）Rt△ABC中， ∵CD为斜边AB上的高， ∴△ABC的面积＝， ∴AB×CD＝AC×BC， ∴． 28．（2023秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10． （1）若CD＝6，则AD＝　8　，BD＝　15　； （2）若BC＝20，求CD的长． 【答案】（1）8，15； （2）CD＝． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB＝17，AC＝10，CD＝6， ∴AD＝＝＝8， ∴BD＝＝＝15． 故答案为：8，15； （2）设CD＝x，则BD＝20﹣x， ∵AC2﹣CD2＝AD2，AB2﹣BD2＝AD2， ∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2， ∴102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2， 解得x＝， ∴CD＝． 【考点4作无理数的线段】 30．如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为﹣1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取AE＝AC，则点E所表示的数为（　　） A．1 B．1﹣ C．﹣1 D． 【答案】C 【解答】解：由题意得，AC＝＝， ∴AE＝AC＝， ∴点E表示的数是﹣1+＝﹣1， 故选：C． 31．如图所示，数轴上点A所表示的数为 　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：由勾股定理，得图中直角三角形的斜边长为＝， ∴数轴上点A所表示的数为﹣1． 故答案为：﹣1． 35．如图所示，点C表示的数是 　　． 【答案】． 【解答】解：根据勾股定理得：AB＝，AD＝， ∴OC＝， 故答案为：． 32．如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，BA＝BC，写出数轴上点A所表示的数是 　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵BC＝＝， 则AB＝BC＝， ∵A在原点右侧． 则点A所表示的数是﹣1． 故答案为：﹣1． 33．如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是　﹣　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵OC＝3，BC＝1， ∴BO＝＝＝， ∵OA＝OB， ∴OA＝， ∴数轴上点A表示的数是﹣； 故答案为：﹣． 34．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：所画图形如下所示，其中点A即为所求； ． 【考点5勾股定理的证明】 35．（2023春•渝北区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、大正方形的面积为：c2； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2， ∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：（a+b）2； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理； C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2， ∴ab+c2＝（a2+b2）+ab， ∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：（a+b）2； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴D选项不能证明勾股定理． 故选：D． 36．（2023秋•海州区期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．148 B．100 C．196 D．144 【答案】A 【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD， 根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7， ∵∠BCD＝90°， ∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2， ∴BD＝25， ∴AD+BD＝12+25＝37， ∴这个风车的外围周长是37×4＝148． 故选：A． 37．（2023春•河东区期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（　　） A．10+ B．10+ C．10+ D．24 【答案】A 【解答】解：根据题意得：c2＝a2+b2＝100，4×ab＝100﹣20＝80，即2ab＝80， 则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝100+80＝180， ∴每个直角三角形的周长为10+＝10+6， 故选：A． 38．（2023春•朝阳区校级期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），直角三角形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则用含S1，S2的代数式表示a2+b2正确的是（　　） A．4S1+S21 B．4S1﹣S2 C．4S1 D．4S1+S2 【答案】D 【解答】解：∵直角三角形的面积为S1，小正方形的面积为S2， ∴，（a﹣b）2＝S2， ∴ab＝2S1，a2﹣2ab+b2＝S2， ∴， ∴a2+b2＝S2+4S1 故选：D． 39．（2023•攀枝花二模）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：由已知可得， Rt△BAE≌Rt△EDC， ∴∠ABE＝∠DEC， ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DEC+∠AEB＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴△BEC是直角三角形， ∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC， ∴＝， ∴＝， ∴a2+b2＝c2． 40．（2023秋•溧水区期末）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°． （1）求证：DF⊥AB； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°， ∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°， 在Rt△ABC与Rt△DEC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）， ∴∠BAC＝∠EDC， ∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF， ∴∠AEF+∠BAC＝90°， ∴∠AFE＝90°， ∴DF⊥AB． （2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE， ∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2， ∴a2+b2＝c2． 42.方图”以验证勾股定理，后世也称“赵爽弦图”．实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： （1）如图，正方形ABCD的面积为 　（a+b）2　，正方形IJKL的面积为 　（a﹣b）2　；（用含a，b的式子表示） （2）根据图中正方形ABCD的面积及正方形IJKL的面积的关系，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2的等量关系为 　（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2　； （3）请通过运算证明上述等量关系； （4）记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形IJKL的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝30，直角三角形AEH的面积为，则求（a﹣b）2的值． 【答案】（1）（a+b）2；（a﹣b）2； （2）（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2； （3）见解析； （4）（a﹣b）2的值为4． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为（a+b），正方形IJKL的边长为（a﹣b）， ∴正方形ABCD的面积为（a+b）2，正方形IJKL的面积为（a﹣b）2； 故答案为：（a+b）2；（a﹣b）2； （2）根据S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形IJKL， 可得，即（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2； （3）左边＝a2+2ab+b2， 右边＝4ab+a2﹣2ab+b2＝a2+2ab+b2， ∴左边＝右边， ∴（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2成立； （4）正方形EFGH的面积为， 由题意得，，， ∵S1+S2+S3＝30，，即ab＝3， ∴（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝30， 解得a2+b2＝10， ∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝10﹣6＝4， ∴（a﹣b）2的值为4． 【考点 6勾股定理的逆定理的运用】 43．（2023秋•双流区期末）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，6 C． D．8，15，16 【答案】A 【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，符合题意； B、42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意； C、22+（）2≠22，不能构成直角三角形，不符合题意； D、82+152≠162，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 44．（2023秋•市北区期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，则由下列条件能判定△ABC为直角三角形的有（　　） （1）∠A+∠B＝∠C （2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3 （3）a2＝c2﹣b2 （4）a：b：c＝1：2：3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：（1）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形； （2）∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝， ∴△ABC为直角三角形； （3）∵a2＝c2﹣b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形； （4）∵a：b：c＝1：2：3， ∴设a＝k，b＝2k，c＝3k（其中k≠0）， ∴a2+b2≠c2， ∴△ABC不是直角三角形， 故选：C． 45．（2023秋•拱墅区校级期末）△ABC三边长为a、b、c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a＝7，b＝8，c＝10 B． C．a＝12，b＝5，c＝13 D．a＝3，b＝4，c＝6 【答案】C 【解答】解：A、∵72+82≠102，∴△ABC不是直角三角形； B、∵（）2+22≠（）2，∴△ABC不是直角三角形； C、∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形； D、∵32+42≠62，∴△ABC不是直角三角形； 故选：C． 46．（2023秋•昌黎县期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2： C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【答案】D 【解答】解：A．设AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，因为AB2+BC2＝（3a）2+（4a）2＝25a2，AC2＝（5a）2＝25a2，即AB2+BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意； B．设AB＝a，BC＝2a，AC＝a，因为AB2+AC2＝a2+（a）2＝4a2，BC2＝（2a）2＝4a2，即AB2+AC2＝BC2，所以△ABC是直角三角形，故B选项不符合题意； C．由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A﹣∠B＝∠C，可得∠A＝90°，所以△ABC是直角三角形，故C选项不符合题意； D．因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以＝45°，＝60°，，所以△ABC不是直角三角形，故D选项符合题意． 故选：D． 47．（2023秋•淮安区期中）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：选项A如图： A、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5，AB2＝12+42＝17，∴△ABC不是直角三角形，故本选项正确； 选项B如图： B、∵AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误； 选项C如图： C、∵AB2＝22+22＝8，AC2＝22+22＝8，BC2＝16，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误； 选项D如图： D、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误． 故选：A． 【考点7勾股定理的逆定理应用】 48．（2023秋•黎川县校级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，求下列问题： （1）试说明△ABC是直角三角形； （2）求点C到AB的距离． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【解答】解：（1）由图可知： BC2＝12+22＝5，AC2＝42+22＝20，AB2＝42+32＝25， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）由（1）可知：，，， ∴， ∴点C到AB的距离是． 49．（2023春•西宁期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AC＝4，CD＝3，AD＝5，AB＝4． （1）求证：∠C＝90°； （2）求BD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AC2+CD2＝42+32＝25，AD2＝52＝25， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠C＝90°； （2）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴BC＝＝＝8， ∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5． 50．（2023秋•陈仓区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝，点D在AB上，且BD＝1，CD＝2． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵在△BCD中，BD＝1，CD＝2，BC＝， ∴BD2+CD2＝12+22＝（）2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形，且∠CDB＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵AB＝4，DB＝1， ∴AD＝3， 在Rt△ACD中，∵CD＝2， ∴AC＝＝＝， ∴AC的长为． 51．（2023春•台江区期末）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点． （1）求AB和BC； （2）求∠ABC的度数． 【答案】（1），； （2）45°． 【解答】解：（1）连接AC． 根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5， ∴AB＝，BC＝； （2）∵AB2＝12+32＝10，AC2＝BC2＝12+22＝5， ∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． 52．（2023春•武昌区期中）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8． （1）求证：△ACD是直角三角形； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）+24． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3， ∴AC＝2AB＝6， 在△ACD中，AC＝6，CD＝8，AD＝10， ∵82+62＝102，即AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形； （2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝6， ∴BC＝＝3， ∴Rt△ABC的面积为•AB•BC＝×3×3＝， 又∵Rt△ACD的面积为•AC•CD＝×8×6＝24， ∴四边形ABCD的面积为：+24． 53．（2023秋•工业园区校级期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上． （1）直接写出AB＝　　，BC＝　2　，AC＝　　； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）直接写出AC边上的高＝　　． 【答案】（1），2，； （2）△ABC为直角三角形，理由见解答； （3）． 【解答】解：（1）由勾股定理得： AB＝＝， BC＝＝2， AC＝＝． 故答案为：，2，； （2）△ABC为直角三角形， 理由：∵AB2＝13，BC2＝52，AC2＝65， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形； （3）△ABC的面积＝AB•BC＝××2＝13， 则AC边上的高＝13×2÷＝． 故答案为：． 54．（2023秋•淮安区期中）如图，四边形ABCD中，AD＝3，AB＝4，BC＝12，CD＝13，∠A＝90°，计算四边形ABCD的面积． 【答案】36． 【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝3， ∴BD＝＝＝5， 在△BCD中，BD2+BC2＝25+144＝169＝CD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴S四边形ABCD＝AB•AD+BD•BC＝×3×4+×5×12＝36． 答：四边形ABCD的面积是36． 55．（2023秋•崂山区校级期末）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2． （1）求BC的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）2； （2）4﹣4． 【解答】解：（1）∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝2， ∴BC＝＝＝2， （2）∵AB＝6，AC＝4， ∴AC2+BC2＝42+（2）2＝16+20＝36＝62＝AB2， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC＝×4×2﹣×4×2＝4﹣4． 故图中阴影部分的面积为4﹣4． 56．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝8，AC＝6，DC＝． （1）求AD，BD的长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1），；（2）△ABC 是直角三角形，理由见解答． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， 在 Rt△ADC 中，AD＝＝＝， 在 Rt△ADB 中，BD＝＝＝； （2）△ABC 是直角三角形，理由如下： 由（1）知 ， ∴BD+CD＝+＝10， ∵AB2+AC2＝82+62＝100＝102， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC 是直角三角形． 57．（2023春•津南区期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9． （1）求AC的长； （2）判断△ABC的形状并证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于D，AB＝20，BC＝15，DC＝9， ∴BD＝， AD＝， ∴AC＝AD+BC＝16+9＝25； （2）∵AC＝25，BC＝15，AB＝20，202+152＝252， ∴△ABC是直角三角形． 58．（2023春•平舆县期末）已知平面直角坐标系内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）． （1）若|P1P2|表示这两点间的距离，求证：|P1P2|＝． （2）试判断点A（4，﹣4），B（﹣1，5），C（2，1）是否构成直角三角形． 【答案】（1）见解析过程； （2）不能构成直角三角形． 【解答】（1）证明：如图所示，构造直角三角形P1P2Q，则P1Q＝|y1﹣y2|，P2Q＝|x1﹣x2|， 由勾股定理可得：P1P2＝＝． （2）解：由（1）可得： |AB|＝＝，|BC|＝＝，|AC|＝＝， ∴BC2+AC2≠AB2， ∴它们不能构成直角三角形． 59．（2022秋•渭滨区期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AC， ∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， ∵AB＝4，BC＝3， 根据勾股定理得：AC＝＝＝5， 又∵AD＝13，CD＝12， ∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形， ∴∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×12×5＝36， 答：四边形ABCD的面积36． 60．（2023春•魏县期末）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上． （1）求四边形ABCD的面积和周长； （2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）四边形ABCD的面积为10.5，周长为； （2）是，证明见解析． 【解答】（1）解：四边形ABCD的面积＝ ＝20﹣1﹣2.5﹣4﹣2 ＝10.5； ∵CD2＝12+22＝5，AD2＝12+22＝5，BC2＝12+52＝26，AB2＝22+42＝20， ∴，，，， ∴四边形ABCD的周长＝， ∴四边形ABCD的面积为10.5，周长为； （2）解：连接BD，如图， 由题意得：BD2＝42+32＝25， ∵AD2+AB2＝5+20＝25， ∴BD2＝AD2+AB2， ∴△BAD是直角三角形， ∴∠BAD是直角． 61．（2023春•康县期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠ADC应为直角，工人师傅测得∠BAC＝90°，AD＝3，CD＝4，AB＝12，BC＝13．请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么． 【答案】这个零件符合要求，理由见解析． 【解答】解：这个零件符合要求，理由如下： 连接AC． ∵∠BAC＝90°，AB＝12，BC＝13， ∴AC＝＝＝5， ∵AD＝3，CD＝4，32+42＝52， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC＝90°， 故这个零件符合要求． 62．（2023春•抚宁区期末）如图，每个小正方形的边长为1． （1）求四边形ABCD的周长； （2）求证：∠BCD＝90°． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：由题意可知AB＝3，BC＝，CD＝，AD＝5， ∴四边形ABCD的周长为8+2． （2）证明：连接BD． ∵BC＝，CD＝，BD＝， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形， 即∠BCD＝90°． 63．（2023春•惠州校级期中）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意，得 PQ＝16×1.5＝24（海里）， PR＝12×1.5＝18（海里）， QR＝30（海里）， ∵242+182＝302， 即PQ2+PR2＝QR2， ∴∠QPR＝90°． 由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°， 即“海天”号沿西北方向航行． 64．（2023春•京山市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5． （1）求△BCD的面积； （2）求BD的长． 【答案】（1）8； （2）． 【解答】解：（1）作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示： 则∠M＝90°， ∴∠DCM+∠CDM＝90°， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC2＝AB2+BC2＝25， ∴AC＝5， ∵AD＝5，CD＝5， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴∠ACB+∠DCM＝90°， ∴∠ACB＝∠CDM， ∵∠ABC＝∠M＝90°， 在△ABC和△CMD中 ∴△ABC≌△CMD（AAS）， ∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4， ∴△BCD的面积＝， （2）∵CM＝3，BC＝4， ∴BM＝BC+CM＝7， ∴BD＝． 65．（2023春•乾安县期中）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米．求证：CD⊥AB． 【答案】见解答． 【解答】证明：由题知BD＝2.5，CD＝6，BC＝6.5， 在三角形BCD中，BD2+CD2＝BC2， ∴三角形BCD是直角三角形， ∴∠CDB＝90°， ∴CD⊥AB． 66．（2023春•市中区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点E自A向B以2cm/s的速度运动，动点F自B向C以4cm/s的速度运动，若E，F同时分别从A，B出发． （1）试问出发几秒后，△BEF为等边三角形？ （2）试问出发几秒后，△BEF为直角三角形？ 【答案】（1）5秒； （2）3或7.5秒． 【解答】解：（1）出发x秒后，△BEF为等边三角形，则AE＝2x cm、BF＝4x cm， ∴BE＝（30﹣2x）cm， ∵∠B＝60°， ∴当BE＝BF时，△BEF为等边三角形， ∴30﹣2x＝4x， 解得x＝5， 即出发5秒后，△BEF为等边三角形； （2）设经过t秒，△BEF是直角三角形， ①当∠BEF＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BFE＝30°， ∴BE＝BF，即30﹣2t＝×4t， 解得：t＝7.5； ②当∠BFE＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BEF＝30°， ∴BF＝BE，即4t＝×（30﹣2t）， 解得：t＝3， 综上所述，经过3秒或7.5秒，△BEF是直角三角形． 67．（2022秋•安宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为A（0，4），B（2，0），C（2，5），连接AB，AC，BC． （1）求AC，AB的长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1），； （2）△ABC是直角三角形，理由见解析． 【解答】解：（1）∵A（0，4），B（2，0），C（2，5）， ∴，． （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵B（2，0），C（2，5）， ∴BC＝5﹣0＝5， 由（1）已得：，， ∴AC2+AB2＝25＝BC2， ∴∠CAB是直角， ∴△ABC是直角三角形． 68．（2022秋•福山区期中）2022年2月8日，中国女子自由式滑雪运动员谷爱凌夺得2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台金牌，这枚金牌对于中国的意义非凡，它标志着中国的滑雪运动进入了一个新阶段．自由式滑雪大跳台是北京冬奥会新增项目，运动员从一个近50米高的斜坡下滑获取初速度，然后上滑至跳台的尽头腾跃，完成空翻、转体、抓板等技术动作组合．如图所示跳台可近似看作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，BC＝4m，AC＝3m，假设运动员P从点B出发沿射线BA以20m/s的速度匀速运动，则当运动时间t等于多少时，△BPC为直角三角形？ 【答案】0.25秒或0.16秒． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4m，AC＝3m， ∴． 如图，作AB边上的高CD． ∵， ∴． ①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，BP＝BA＝5m， ∴t＝5÷20＝0.25（秒）． ②当∠BPC为直角时，P与D重合，BP＝20tm，CP＝2.4m，BC＝4m， 在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2， ∴（20t）2+2.42＝42， 解得t＝0.16．（负值舍去） 综上，当t等于0.25秒或0.16秒时，△BPC为直角三角形． 【考点8勾股数】 69．（2023秋•南明区期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13 【答案】A 【解答】解：A、∵32+42＝52，∴3，4，5是勾股数，符合题意； B、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股数，不符合题意； C、∵82+102≠162，∴8，10，16不是勾股数，不符合题意； D、∵52+102≠132，∴5，10，13不是勾股数，不符合题意． 故选：A． 70．（2023秋•新民市期末）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　） A．2，4，6 B．1，2，3 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 【答案】C 【解答】解：A、22+42≠62，不能构成勾股数，不符合题意； B、22+12≠32，所以不能构成勾股数，不符合题意； C、152+82＝172，能构成勾股数，符合题意． D、0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； 故选：C． 71．（2023秋•甘州区校级期末）下面四组数中是勾股数的一组是（　　） A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，2.5 D．5，12，13 【答案】D 【解答】解：A、62+72≠82，不能构成勾股数，故错误； B、52+82≠132，不能构成勾股数，故错误； C、1.52+22＝2.52，不是正整数，不能构成勾股数，故错误； D、52+122＝132，能构成勾股数，故正确． 故选：D． 72．（2023秋•宿豫区期中）下列各组数是勾股数的为（　　） A．1.5，2，2.5 B．，， C．3，4，5 D．13，14，15 【答案】C 【解答】解：1.5，2，2.5不都是正整数，不是勾股数，故选项A不符合题意； B、，，不都是正整数，不是勾股数，故选项B不符合题意； C、32+42＝52，是勾股数，故选项C符合题意． D、132+142≠152，不是勾股数，故选项D不符合题意． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$