3.2 勾股定理的逆定理（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

3.2 勾股定理的逆定理 【考点1：勾股定理的逆定理的运用】 【考点2：直角三角形的判断】 【考点3：勾股定理的逆定理应用】 【考点4：勾股数的应用】 知识点1：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【考点1：勾股定理的逆定理的运用】 【典例1】（2023春•怀柔区期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　） A．3，4，6 B．2，， C．1，2， D．6，8，10 【变式1-1】（2023春•郾城区期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形是（　　） A．，， B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D．，， 【变式1-2】（2023春•临潼区期末）在以下列数值为边长的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．5，12，13 B．6，8，10 C．7，23，25 D．8，15，17 【变式1-3】（2023春•长寿区期末）若△ABC的三边长为a，b，c，则下列不是直角三角形的是（　　） A．a＝6，b＝7，c＝8 B．a＝1，， C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a＝3，b＝4，c＝5 【考点2：直角三角形的判断】 【典例2】（2023春•庐阳区期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（2023春•江津区期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝1：2：3 B．a2＝b2+c2 C．∠B+∠C＝∠A D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 【变式2-2】（2023春•山亭区期中）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【变式2-3】（2023春•北京期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝b＝1，c＝ 【典例3】（2023春•北京期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求四边形ABCD的面积． 【变式3-1】（2023春•良庆区期末）计算：如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上． （1）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由； （2）求点C到AB边的距离． 【变式3-2】（2023春•绵阳期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）求点D到AC、BC的距离之和． 【变式3-3】（2023春•泸县校级期中）如图所示，每个网格正方形的边长为1cm，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）求△ABC的周长． （2）判断△ABC的形状，并求其面积． （3）求边AB上的高． 【考点3：勾股定理的逆定理应用】 【典例4】（2023春•虞城县期末）如图，等腰三角形ABD的腰长为13cm，底边BD＝10cm，C为其内部一点，且BC＝8cm，CD＝6cm． （1）判断△BCD的形状并说明理由； （2）求阴影部分的面积． 【变式5-1】（2023春•惠城区校级期中）如图，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积． 【变式6-2】（2023春•南开区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°． （1）求证：∠D＝90°； （2）求四边形ABCD的面积． 【变式4-3】（2023春•休宁县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 知识点2：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【考点4：勾股数的应用】 【典例5】（2023秋•南明区期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13 【变式5-1】（2023秋•福田区校级期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．6，8，10 【变式5-2】（2023秋•六盘水期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，， B．1，， C．7，24，25 D．2，3，4 一、单选题 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．1，， C．6，7，8 D．8，9，10 2．如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O（    ） A．北偏东的方向上 B．北偏东的方向上 C．南偏东的方向上 D．南偏东的方向上 3．已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（    ） A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 4．如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，是边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 6．如图，四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 7．“海伦-秦九韶公式”如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 解决问题： (1)在中，已知，，，请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)勤于思考的小明同学认为（1）中的运算太繁，并想到了不同于（1）的解法，请你用小明的解法求（1）中的面积． 8．如图所示的一块地，已知，求阴影部分的面积． 9．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)求小路的长． 10．如图，学校有四边形的空地，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)求的长度． (2)若种植草皮需要150元，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 11．某村有如图所示的一笔直公路，水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水，拟从C处铺设水管到公路上．已知米，米，米． (1)求的大小； (2)求铺设水管的最小长度． 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 13．如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米．    (1)判断爆破点C与A、B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离； (2)已知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 勾股定理的逆定理 【考点1：勾股定理的逆定理的运用】 【考点2：直角三角形的判断】 【考点3：勾股定理的逆定理应用】 【考点4：勾股数的应用】 知识点1：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【考点1：勾股定理的逆定理的运用】 【典例1】（2023春•怀柔区期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　） A．3，4，6 B．2，， C．1，2， D．6，8，10 【答案】D 【解答】解：A、∵32+42＝25，62＝36， ∴32+42≠62， ∴不能组成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵22+（）2＝7，（）2＝5， ∴22+（）2≠（）2， ∴不能组成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵12+（）2＝3，22＝4， ∴12+（）2≠22， ∴不能组成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵62+82＝100，102＝100， ∴62+82＝102， ∴能组成直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（2023春•郾城区期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形是（　　） A．，， B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D．，， 【答案】C 【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，故符合题意； D、（）2≠（）2+（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（2023春•临潼区期末）在以下列数值为边长的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．5，12，13 B．6，8，10 C．7，23，25 D．8，15，17 【答案】C 【解答】解：A、因为52+122＝132，所以是直角三角形，不符合题意； B、因为62+82＝102，所以是直角三角形，不符合题意； C、因为72+232≠252，所以不是直角三角形，符合题意； D、因为82+152＝172，所以是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】（2023春•长寿区期末）若△ABC的三边长为a，b，c，则下列不是直角三角形的是（　　） A．a＝6，b＝7，c＝8 B．a＝1，， C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a＝3，b＝4，c＝5 【答案】A 【解答】解：A、∵a2+b2＝62+72＝85，c2＝82＝64， ∴a2+b2≠c2， ∴△ABC不是直角三角形， 故A符合题意； B、∵a2+c2＝12+（）2＝3，b2＝（）2＝3， ∴a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵a2+b2＝1.52+22＝6.25，c2＝2.52＝6.25， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 【考点2：直角三角形的判断】 【典例2】（2023春•庐阳区期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①由∠A＝∠B﹣∠C，可知：∠B＝90°，是直角三角形． ②由a2＝（b+c）（b﹣c），可得a2+c2＝b2，是直角三角形． ③由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可知不是直角三角形． ④由a：b：c＝5：12：13，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形． 故选：C． 【变式2-1】（2023春•江津区期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝1：2：3 B．a2＝b2+c2 C．∠B+∠C＝∠A D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 【答案】A 【解答】解：A、∵a：b：c＝1：2：3， 设a＝x，b＝2x，c＝3x， ∵（x）2+（2x）2≠（3x）2， ∴不能构成直角三角形，故此选项符合题意； B、∵a2＝b2+c2， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； C、∵∠B+∠C＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°×＝90°， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； 故选：A． 【变式2-2】（2023春•山亭区期中）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形；故①正确； ②∵a：b：c＝3：4：5， 设a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝c2， ∴△ABC是直角三角形；故②正确； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形；故③正确； ④∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴5∠C＝180°， ∴∠C＝36°， ∴∠A＝∠B＝2∠C＝72°， ∴△ABC不是直角三角形；故④错误； 综上：能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③； 故选：A． 【变式2-3】（2023春•北京期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝b＝1，c＝ 【答案】B 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°×＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵a：b：c＝3：4：5， ∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵a2+b2＝12+12＝2，c2＝（）2＝2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 【典例3】（2023春•北京期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）△ACD为直角三角形，理由见解答； （2）四边形ABCD的面积为． 【解答】解：（1）△ACD为直角三角形， 理由：由题意得：AC2＝32+32＝18， CD2＝22+22＝8， AD2＝12+52＝26， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形， ∴∠ACD＝90°； （2）在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∠ABC＝90°， ∴SRt△ABC＝AB•BC＝×3×3＝； 在Rt△ACD中，AC＝，CD＝， ∴SRt△ACD＝AC•CD＝×3×2＝6 ∴S四边形ABCD＝SRt△ABC+SRt△ACD＝+6＝， ∴四边形ABCD的面积为． 【变式3-1】（2023春•良庆区期末）计算：如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上． （1）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由； （2）求点C到AB边的距离． 【答案】（1）三角形ABC不是直角三角形，理由见解答； （2）点C到AB边的距离为． 【解答】解：（1）三角形ABC不是直角三角形， 理由：由题意得：AC2＝12+22＝5， AB2＝22+32＝13， BC2＝12+32＝10， ∴AC2+BC2≠AB2， ∴三角形ABC不是直角三角形； （2）设点C到AB边的距离为h， 由（1）可得AB＝， ∵△ABC的面积＝AB•h＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3， ∴h＝9﹣1﹣﹣3， 解得：h＝， ∴点C到AB边的距离为． 【变式3-2】（2023春•绵阳期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）求点D到AC、BC的距离之和． 【答案】（1）见解析； （2）16.8． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， 在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即122+92＝BC2， ∴BC＝15； 在Rt△ADC中，CD2+AD2＝AC2，即122+AD2＝202， ∴AD＝16， ∵AC＝20，BC＝15，AB＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）解：过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F， S△ADC＝S△ADE+S△CDE， ，即20DE＝16×12， ∴DE＝9.6， ，即15DF＝9×12， ∴DF＝7.2， ∴DE+DF＝9.6+7.2＝16.8． 【变式3-3】（2023春•泸县校级期中）如图所示，每个网格正方形的边长为1cm，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）求△ABC的周长． （2）判断△ABC的形状，并求其面积． （3）求边AB上的高． 【答案】（1）；（2）锐角三角形，3.5；（3）． 【解答】解：（1）由勾股定理得：AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝， 则△ABC的周长为； （2） ∵AC＝，AB＝，BC＝， ∴AC2+BC2≠AB2， 如图，△ACD中，AC2+CD2＝（）2+（）2＝10，AD2＝（）2＝10， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴∠DCA＝90°， ∴∠ACB＜90°， ∴△ABC是锐角三角形， △ABC的面积S＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣﹣×2×3＝3.5； （3）设C到AB的距离为a， 则×AB×a＝3.5， ∵AB＝， ∴a＝， ∴点C到AB边的距离是． 【考点3：勾股定理的逆定理应用】 【典例4】（2023春•虞城县期末）如图，等腰三角形ABD的腰长为13cm，底边BD＝10cm，C为其内部一点，且BC＝8cm，CD＝6cm． （1）判断△BCD的形状并说明理由； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）36cm2． 【解答】解：（1）直角三角形，理由如下： 在△BCD中，CD＝6，BC＝8，BD＝10， ∴CD2+BC2＝62+82＝100＝102＝BD2， ∴△BCD 是直角三角形； （2）由（1）知：△BCD是直角三角形且∠C＝90°， ∴， 过点A作AE⊥BD于E， 根据等腰三角形“三线合一”可知：点E为BD中点， ∴BE＝DE＝5， 在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AE＝＝12， ∴， ∴阴影部分面积为＝S△ABD﹣S△BCD＝36（cm2）． 【变式5-1】（2023春•惠城区校级期中）如图，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积． 【答案】四边形ABCD的面积为36． 【解答】解：如图所示，连接AC， ∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝4， ∴△ABC是直角三角形， ∴，， ∵CD＝12，DA＝13，AC＝5，52+122＝132，即AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°， ∴， ∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD， ∴S四边形ABCD＝6+30＝36， ∴四边形ABCD的面积为36． 【变式6-2】（2023春•南开区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°． （1）求证：∠D＝90°； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析； （2）234． 【解答】（1）证明：连接AC， ∵∠B＝90°， ∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625， ∵DA2+CD2＝242+72＝625， ∴AC2＝DA2+DC2， ∴△ADC是直角三角形， 即∠D＝90°； （2）解：∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC， ∴S四边形ABCD＝•BC+AD•CD， ＝ ＝234． 【变式4-3】（2023春•休宁县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）AC的长为5； （2）四边形ABCD的面积为36． 【解答】解：（1）∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝17，BC＝8， ∴AC＝＝＝5， ∴AC的长为5； （2）∵AD2+CD2＝42+32＝25，AC2＝52＝25， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠D＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积 ＝AD•CD+AC•BC ＝×4×3+12×5 ＝6+30 ＝36， ∴四边形ABCD的面积为36． 知识点2：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【考点4：勾股数的应用】 【典例5】（2023秋•南明区期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13 【答案】A 【解答】解：A、∵32+42＝52，∴3，4，5是勾股数，符合题意； B、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股数，不符合题意； C、∵82+102≠162，∴8，10，16不是勾股数，不符合题意； D、∵52+102≠132，∴5，10，13不是勾股数，不符合题意． 故选：A． 【变式5-1】（2023秋•福田区校级期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．6，8，10 【答案】D 【解答】解：A、22+32≠42，故不是勾股数，故本选项不符合题意； B、42+52≠62，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、72+82≠92，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、82+62＝102，故是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式5-2】（2023秋•六盘水期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，， B．1，， C．7，24，25 D．2，3，4 【答案】C 【解答】解：A．因为，不是整数，所以不是勾股数，此项不符合题意； B．因为，不是整数，所以不是勾股数，不符合题意； C．因为72+242＝252，所以是勾股数，此项符合题意； D．因为22+32≠42，所以不是勾股数，此项不符合题意． 故选：C． 一、单选题 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．1，， C．6，7，8 D．8，9，10 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，不合题意； B、，故是直角三角形，符合题意； C、，故不是直角三角形，不合题意； D、，故不是直角三角形，不合题意； 故选：B． 2．如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O（    ） A．北偏东的方向上 B．北偏东的方向上 C．南偏东的方向上 D．南偏东的方向上 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出的余角即可解答． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形， ， 由题意得：， 点在点的北偏东方向上， 故选：A． 3．已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（    ） A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴三角形的形状是直角三角形， 故选：． 4．如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，是边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边上的中线，判断是直角三角形解答的关键．先利用勾股定理及其逆定理判断是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：根据网格特点，，，，即， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是边上的中线， ∴， 故选：C． 5．如图，在中，，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据勾股定理的逆定理可得，从而得到，由作法得：垂直平分，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故选：D 二、解答题 6．如图，四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)18.5 【分析】本题考查勾股定理，以及勾股定理逆定理的运用，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）在中，直接利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，再根据求解，即可解题； 【详解】（1）解： ，，， 在中，． （2）解： ，， 则，， ， 是直角三角形， ． 7．“海伦-秦九韶公式”如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 解决问题： (1)在中，已知，，，请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)勤于思考的小明同学认为（1）中的运算太繁，并想到了不同于（1）的解法，请你用小明的解法求（1）中的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查“海伦-秦九韶公式”，勾股定理，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的公式进行计算； （2）根据勾股定理逆定理证明，结合三角形公式进行计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：，，， ，，， ， ， ． 8．如图所示的一块地，已知，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是对勾股定理及其逆定理的理解及运用能力．根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，从而不难求得这块地的面积． 【详解】解：，，， ， ， 即， 为直角三角形， ， ， 阴影部分的面积． 9．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)求小路的长． 【答案】(1)； (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是∶ （1）利用勾股定理的逆定理判定，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴（米）， 故小路的长为米． 10．如图，学校有四边形的空地，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)求的长度． (2)若种植草皮需要150元，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 【答案】(1)的长度为； (2)给这块四边形空地种植草皮需要5400元． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． （1）连接，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到四边形的面积，于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， ，，， ， 答：的长度为； （2）解：， ， 四边形的面积， （元）， 答：给这块四边形空地种植草皮需要5400元． 11．某村有如图所示的一笔直公路，水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水，拟从C处铺设水管到公路上．已知米，米，米． (1)求的大小； (2)求铺设水管的最小长度． 【答案】(1) (2)96米 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）根据勾股定理逆定理进行判断，得出为直角三角形，得出的大小即可； （2）根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 又∵， ∴， ∴为直角三角形，； （2）解：过点C作于点D，如图所示： ∵垂线段最短， ∴此时铺设水管的长度最小， ∵， ∴（米）． 答：铺设水管的最小长度为96米． 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 【答案】(1)是直角三角形；理由见解析 (2)边上的高为2 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）勾股定理求出三边长，勾股定理逆定理，判断三角形形状即可； （2）等积法求高即可． 【详解】（1）解：是直角三角形；理由如下： 由勾股定理，得：， ∴， ∴是直角三角形； （2）设边上的高为， ∵， ∴， ∴； 即：边上的高为2． 13．如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米．    (1)判断爆破点C与A、B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离； (2)已知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】(1)爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形，爆破点处到公路的距离为720米； (2)公路有危险而需要封锁，420米． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，利用三角形的面积公式即可求得米； （2）根据720米米可以判断有危险，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解： 在中，米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 如图，过C作于D． ∵， ∴ （米）． 答：爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形；爆破点处到公路的距离为720米； （2）解：公路有危险而需要封锁． 理由如下：如图，以点C为圆心，750米为半径画弧，交于点E，F，连接，，    由于720米米，故有危险， 因此段公路需要封锁． ∴米， ∴ （米）， 故米， 则需要封锁的路段长度为420米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$