课时梯级训练(18) 抛物线及其标准方程（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(18)　抛物线及其标准方程 1．抛物线x＝y2的焦点坐标为(　　) A． B． C． D． D　解析：由x＝y2得y2＝x，故焦点为. 2．(2024·宝鸡高二期末检测)若抛物线C：x2＝4y上点A到焦点F的距离为3，则点A到x轴的距离为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：由题意可知抛物线C：x2＝4y的准线为l：y＝－1， 由抛物线C：x2＝4y上点A到焦点F的距离为3，即点A到准线l的距离为3， 故点A到x轴的距离为3－1＝2. 3．已知抛物线y2＝ax的焦点为(1，0)，则此抛物线的方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝－2x D．y2＝－4x B　解析：因为抛物线y2＝ax＝2××x，所以焦点坐标为，所以＝1，解得a＝4，所以此抛物线的方程为y2＝4x. 4．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(非原点)在抛物线上，且横坐标是纵坐标的倍，则|PF|＝(　　) A．4 B．8 C．9 D．8 C　解析：由已知x＝y，代入y2＝4x中，得y＝4，x＝8，∴|PF|＝x＋＝9.故选C. 5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－x B．y2＝－8x C．x2＝－y D．x2＝－8y AD　解析：设抛物线为y2＝mx， 代入点P(－4，－2)，解得m＝－1， 则抛物线方程为y2＝－x； 设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)， 解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y. 6．(多选)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　) A．4 B．－2 C．－4 D．2 AC　解析：由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，所以p＝4，所以x2＝－8y. 将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4. 7．(2024·钦州高二期末检测)已知点P(m，n)为抛物线C：y2＝4x上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则m＝______. 答案：2　解析：抛物线C：y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1， 因为点P(m，n)为抛物线C：y2＝4x上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3， 所以m＋1＝3，得m＝2. 8．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是______. 答案：　解析：双曲线x2－＝1的渐近线方程为x±y＝0，y2＝4x的焦点(1，0)到渐近线的距离为. 9．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，求抛物线C的方程． 解：因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0). 设抛物线C的方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝±4x. 10．(2024·宝鸡高二期末检测)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若|FP|＝4|FQ|，则|FQ|＝(　　) A．4 B． C．或 D． C　解析：依题意p＝2，＝1， 当＝4时，过Q作QH⊥l，交l于点H， 根据抛物线的定义得＝＝＝，|QF|＝p＝. 当＝4时，过Q作QH⊥l，交l于点H， 根据抛物线的定义得＝＝＝，|QF|＝p＝. 综上所述，|FQ|的值为或. 11．(2024·南阳高二期中检测)已知直线l1：4x＋3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C． D． A　解析：如图，抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，直线l2：x＝－1为抛物线的准线，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为F到直线l1的距离，为d＝＝2. 12．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标． 解：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±. ∵＞2，∴点A在抛物线内部． 如图，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为， 此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2. ∴此时点P坐标为(2，2). 13．(2024·济源高二期末检测)已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为(－4，3)，则△PMF周长的最小值是(　　) A.5＋ B．5＋ C．9 D．5＋3 B　解析：如图，由已知得F(0，2)，准线方程y＝－2，M(－4，3)在抛物线内部， 作PD⊥准线于点D，MD′⊥准线于点D′， 所以|MF|＝＝， 由抛物线定义知|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|≥|MD′|＝5，当且仅当M，P，D三点共线时取最小值， 故△PMF周长的最小值是5＋. 14．已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值． 解：(1)设圆心的坐标为(x，y)， 则半径r＝. 又动圆在y轴上截得的弦长为8， 所以42＋x2＝(x－4)2＋y2， 化简得y2＝8x， 即动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x. (2)如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y＝x＋4的距离为|FF1|， 由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|－2， 所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2， 由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离， 所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝＝3， 所以|PP1|＋|PP2|的最小值为3－2，即所求最小值为3－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$