课时梯级训练(16) 双曲线及其标准方程（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(16)　双曲线及其标准方程 1．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是(　　) A．17 B．7 C．7或17 D．2或22 D　解析：由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝10，即|12－|PF2||＝10.解得|PF2|＝2或|PF2|＝22. 2．过点(2，3)且与椭圆5x2＋9y2＝45有相同焦点的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．－＝1 A　解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故c＝＝2，可得焦点坐标为(±2，0). 设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 故解得 故双曲线的标准方程为x2－＝1. 3．若方程－＝1表示双曲线，则实数m满足(　　) A．m≠1且m≠－3 B．m＞1 C．m＜－或m＞ D．－3＜m＜1 C　解析：因为方程－＝1表示双曲线，而m2＋1＞0恒成立， 所以m2－3＞0，解得m＜－或m＞. 4．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．4 B．8 C．24 D．48 C　解析：由题意得 解得 又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形， 则S△PF1F2＝×|PF1|×|PF2|＝24. 5．已知A(0，4)，双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PA|＋|PF2|的最小值为(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 C　解析：由双曲线－＝1，得a2＝4，b2＝5，则c2＝a2＋b2＝9，且F1(－3，0)，F2(3，0)，由题意，|PF2|－|PF1|＝2a， |PA|＋|PF2|＝|PA|＋2a＋|PF1|≥|AF1|＋2a＝＋4＝9， 当且仅当A，P，F1共线时，等号成立． 6．(多选)(2023·亳州高二期末检测)下列命题正确的是(　　) A．若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|－|PF2|＝8，则动点P的轨迹是双曲线 B．若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则M的轨迹是椭圆 C．当1<k<2时，曲线C：－＝1表示椭圆 D．双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点 BD　解析：对于A，定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|－|PF2|＝8＝|F1F2|，则动点P的轨迹是以F2为端点的一条射线，故A错误； 对于B，定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|，则M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，故B正确； 对于C，当k＝时，曲线C：－＝1，即C：x2＋y2＝表示圆，故C错误； 对于D，由双曲线－＝1可知其焦点为(±，0)，由椭圆＋y2＝1可知其焦点为(±，0)，故D正确． 7．在平面直角坐标系中，已知圆M：(x＋2)2＋y2＝12，点N(2，0)，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线与直线MQ相交于点P，设点P的轨迹为曲线E，则曲线E的方程为__________. 答案：－y2＝1　解析：因为P在线段NQ的垂直平分线上，所以|PQ|＝|PN|，所以||PM|－|PN||＝||PM|－|PQ||＝r＝2<|MN|＝4，由双曲线的定义知点P的轨迹是以M，N为焦点，2为实轴长的双曲线，则c＝2，a＝，得b＝1，所以曲线E的方程为－y2＝1. 8．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝__________. 答案：　解析：在双曲线x2－y2＝2中，a＝，b＝，c＝2， ∵|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2c＝4. ∴cos ∠F1PF2＝＝＝. 9．已知双曲线的焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，且＝，求双曲线的方程． 解：易得直线5x－2y＋20＝0与两坐标轴交点为(－4，0)和(0，10). 若(－4，0)为焦点，则c＝4，而＝， 所以a＝，b2＝16－＝. 故双曲线方程为－＝1. 若(0，10)为焦点，则c＝10， 故a＝6，b2＝100－36＝64. 故双曲线的方程为－＝1. 综上，双曲线的方程为－＝1或－＝1. 10．“mn<0”是“mx2＋ny2＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0. 又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线． 因此“mn<0”是“mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件． 11．(2023·赣州高二期末检测)双曲线E：－＝1的左、右焦点是F1，F2，点P在双曲线E上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝(　　) A．8 B．6 C．6或2 D．8或0 A　解析：在双曲线E中，a＝2，b＝，c＝＝，易知F2(，0)， 若点P在双曲线E的右支上，则|PF2|≥－2， 由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝4，可得|PF2|＝0，不合题意； 若点P在双曲线E的左支上，则|PF2|≥＋2， 由双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝2a＝4，可得|PF2|＝8>＋2，符合题意． 综上所述，|PF2|＝8. 12．如图，已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，第一象限内的点P在双曲线上，点M是线段PF1的中点，O为坐标原点． (1)若点M在y轴上，求点P的坐标； (2)若OM与PF1垂直，求直线PF1的方程． 解：(1)若点M在y轴上，且点M是线段PF1的中点，F1(－2，0)，F2(2，0)，则P点横坐标为2.又当x＝2时，4－＝1，得y2＝9，故点P的坐标为(2，3). (2)设P(m，n)，则m2－＝1①， 又OM与PF1垂直，F1(－2，0)，M， 则kOMkPF1＝×＝－1②， 由①②得即P， 所以直线PF1的方程为y＝(x＋2)， 整理得直线PF1的方程为y＝x＋， 即为(4－)x－3y＋8－2＝0. 13．已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆C2：x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值． 解：设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的左、右焦点， 由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2. 所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|. 又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为 C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1， 从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1， 当点M，B在线段CD上时不等式取等号， 即|MA|＋|MB|的最小值为＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $$