课时梯级训练(8) 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(8)　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离公式 1．点P(x0，y0)到直线x＝1的距离为1，则x0＝(　　) A．0或2 B．1或2 C．0 D．2 A　解析：因为点P(x0，y0)到直线x＝1的距离为1， 所以|x0－1|＝1，解得x0＝0或x0＝2.故选A. 2．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是(　　) A．(a－b) B．(b－a) C．b－a D． B　解析：因为P(a，b)是第二象限的点，所以a<0，b>0，所以a－b<0， 所以点P到直线x－y＝0的距离d＝ ＝(b－a). 3．到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x＋y－2＝0 C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0 D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0 D　解析：因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行．设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，所以d＝＝，解得c＝0或c＝2. 故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 4．已知直线l1：2x－y－4＝0和直线l2：x＋y－5＝0相交于点P，则点P到直线l：x＋2y＋3＝0的距离为(　　) A．2 B． C． D． A　解析：由题意，联立可得故P(3，2)， 则P到直线l：x＋2y＋3＝0的距离d＝＝2. 5．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　解析：设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h，|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝， 即x＋y－4＝0. 点C到直线x＋y－4＝0的距离为 ＝，因此S△ABC＝×2×＝5. 6．(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 ABC　解析：当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的距离最大，最大距离为|PQ|＝＝5，所以l1，l2之间的距离的取值范围是(0，5]，故选ABC. 7．已知直线l过点P(2，0)，方向向量为n＝(1，－1)，则原点O到l的距离为______． 答案：　解析：因为直线l的方向向量为n＝(1，－1)， 所以直线l的斜率为－1. 因为直线l过点P(2，0)， 所以y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0. 所以原点O到l的距离为d＝＝. 8．若两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝______． 答案：10　解析：由两直线平行知，a＝8，d＝＝2，∴a＋d＝10. 9．(1)分别求点P到直线l的距离： ①P(2，1)，l：2x＋3＝0； ②P(－3，4)，l：3x－4y＋30＝0. (2)求下列各对平行直线间的距离： ①l1：3x＋4y－1＝0，l2：3x＋4y＋3＝0； ②l1：y＝3x＋2，l2：y＝3x－3； ③l1：x－2y－1＝0，l2：2x－4y＋3＝0. 解：(1)①由2x＋3＝0知，x＝－， 所以点P(2，1)到直线x＝－的距离为2－(－)＝. ②由题意知，点P(－3，4)到直线3x－4y＋30＝0的距离为d＝＝1. (2)①根据两条平行直线间的距离公式，得 d＝＝， 即l1与l2间的距离为. ②将所给直线方程化为一般式，得l1：3x－y＋2＝0，l2：3x－y－3＝0. 根据两条平行直线间的距离公式，得 d＝＝＝， 即l1与l2间的距离为. ③将直线l2的方程化简，得x－2y＋＝0. 根据两条平行直线间的距离公式，得 d＝＝＝， 即l1与l2间的距离为. 10．已知a<0，若直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y－4＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A． B． C． D．或 A　解析：若直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y－4＝0平行，则a(a＋1)－2＝0，解得a＝1(舍去)或a＝－2. 所以直线l1：2x－2y－1＝0，直线l2：2x－2y－8＝0. 故直线l1，l2间的距离d＝＝. 11．已知点P(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(0，－2) B．(2，4) C．(0，－2)或(2，4) D．(1，1) C　解析：直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝， 整理得|t|＝1，所以t＝1或t＝－1. 当t＝1时，点P的坐标为(2，4)； 当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2). 12．(多选)与两平行直线l1：3x－4y－5＝0和l2：3x－4y＋7＝0的距离之比为1∶2的直线方程为(　　) A．3x－4y－1＝0 B．3x－4y＋3＝0 C．3x－4y－17＝0 D．3x－4y＋19＝0 AC　解析：设所求直线方程为3x－4y＋C＝0(C≠－5且C≠7). 由题意可得∶＝1∶2， ∴|C－7|＝2|C＋5|，解得C＝－1或C＝－17. 故所求的直线方程为3x－4y－1＝0或3x－4y－17＝0. 13．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4，3)，C(3，－2). (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)求△ABC的面积． 解：(1)由斜率公式，得kBC＝5， 所以BC边上的高所在直线方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋5y＋3＝0. (2)由两点间的距离公式，得|BC|＝，BC边所在的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0. 所以点A到直线BC的距离d＝＝. 故S△ABC＝××＝3. 14．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　) A．8 B．2 C． D．16 A　解析：x2＋y2＝()2，它表示原点到(x，y)距离的平方，x2＋y2的最小值即为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，()2＝8. 15．点P(cos θ，sin θ)到直线3x＋4y－12＝0的距离的取值范围为__________． 答案：[，]　解析：记d为点P(cos θ，sin θ)到直线3x＋4y－12＝0的距离，则d＝＝·|5sin (θ＋φ)－12|，其中tan φ＝. 当θ变化时，5sin (θ＋φ)的最大值为5，最小值为－5，则d的最大值为，最小值为，即距离的取值范围为[，]. 学科网（北京）股份有限公司 $$