课时梯级训练(5) 两条直线的平行与垂直（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(5)　两条直线的平行与垂直 1．若直线ax－y＋1＝0与直线2x＋y＋2＝0平行，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C． D．1 A　解析：因为直线ax－y＋1＝0与直线2x＋y＋2＝0平行，所以＝≠，解得a＝－2. 2．过点A(2，3)且平行于直线2x＋y－5＝0的直线的方程为(　　) A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x＋2y－8＝0 D．4x＋2y－5＝0 B　解析：设直线方程为2x＋y＋C＝0，将点A(2，3)代入直线方程得到4＋3＋C＝0，解得C＝－7.故直线方程为2x＋y－7＝0.故选B. 3．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：y＝－x＋1与直线l1平行，则a＋b等于(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．2 B　解析：因为直线l的斜率为－1，则直线l1的斜率为1， 所以kAB＝＝1，所以a＝0. 由l1∥l2，得－＝1，得b＝－2， 所以a＋b＝－2. 4．(多选)已知直线l：x－2y－2＝0，则下列结论中正确的是(　　) A．直线x－2y－1＝0与直线l平行 B．直线x－2y＋1＝0与直线l平行 C．直线2x＋y－2＝0与直线l垂直 D．直线x＋2y－1＝0与直线l垂直 ABC　解析：A，B显然正确；直线2x＋y－2＝0的斜率为－2，与直线l的斜率乘积为－1，则两条直线垂直，故C正确；直线x＋2y－1＝0的斜率为－，与直线l的斜率乘积不是－1，故D错误． 5．(多选)已知直线l1：(m－3)x－2y＋2＝0与直线l2：3mx－3y－5＝0垂直，则实数m的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 BC　解析：由题意，得直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝m.又l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即·m＝－1，解得m＝1或m＝2，经检验成立． 6．若点A(3，－4)与点B(5，8)关于直线l对称，则直线l的方程为____________． 答案：x＋6y－16＝0　解析：直线l就是线段AB的垂直平分线，线段AB的中点为(4，2)，kAB＝＝6，所以kl＝－. 所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋6y－16＝0. 7．已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两个根．若l1∥l2，则b＝____________． 答案：－　解析：由根与系数的关系可知k1＋k2＝，k1·k2＝－.因为l1∥l2，所以k1＝k2＝，所以b＝－2k1·k2＝－. 8．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋2＝0垂直，则a的值为__________． 答案：　解析：∵直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋(a－1)y＋2＝0垂直，∴a×1＋2(a－1)＝0，解得a＝. 9．分别求满足下列条件的直线方程． (1)过点(0，1)，且平行于l1：4x＋2y－1＝0的直线； (2)与l2：x＋y＋1＝0垂直，且过点(－1，0)的直线． 解：(1)设所求直线方程为4x＋2y＋m＝0，将点(0，1)代入得2＋m＝0，解得m＝－2，所以所求直线方程为4x＋2y－2＝0，即2x＋y－1＝0. (2)设所求直线方程为x－y＋n＝0，将点(－1，0)代入，得－1＋n＝0，解得n＝1，所以所求直线方程为x－y＋1＝0. 10．(多选)已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：x sin α－y＋1＝0，则(　　) A．当m变化时，l1的倾斜角不变 B．当α变化时，l2过定点 C．l1与l2可能平行 D．l1与l2不可能垂直 AB　解析：对于选项A，当m变化时，直线l1：3x＋2y－m＝0的斜率为k＝－，所以l1的倾斜角不变，正确； 对于选项B，直线l2：x sin α－y＋1＝0恒过定点(0，1)，正确； 对于选项C，假设l1与l2平行，则－3＝2sin α，即sin α＝－，这与sin α∈[－1，1]矛盾，所以l1与l2不可能平行，C不正确；同理，可知选项D不正确． 11．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：由题意知a，b均不为0，则直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是2×2－ab＝0且－≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要不充分条件． 12．三条直线3x＋2y＋6＝0，2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，求实数m的值． 解：①当直线3x＋2y＋6＝0与直线2x－3m2y＋18＝0垂直时，有6－6m2＝0，所以m＝1或m＝－1. 若m＝1，直线2mx－3y＋12＝0也与直线3x＋2y＋6＝0垂直，因而不能构成三角形，故m＝1应舍去． 所以m＝－1. ②当直线3x＋2y＋6＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有6m－6＝0，得m＝1(舍去). ③当直线2x－3m2y＋18＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有4m＋9m2＝0， 所以m＝0或m＝－. 经检验，这两种情形均满足题意． 综上所述，m＝－1或m＝0或m＝－. 13．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R).若l1⊥l2，则|ab|的最小值为______. 答案：2　解析：若l1⊥l2，当任一直线斜率不存在时，显然不成立， 所以1×(a2＋1)＋a2×(－b)＝0，所以a2＋1＝a2b，所以ab＝a＋. 又因为|ab|>0，所以≥2，当且仅当a＝，即a＝±1时等号成立， 所以|ab|≥2，即|ab|的最小值为2. 14．已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2).若四边形ABCD为直角梯形，求点A的坐标． 解：①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1). 图(1) ②若∠A＝∠B＝90°，如图(2). 图(2) 设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝. 由AD∥BC，得kAD＝kBC， 即＝－3；　(i) 由AB⊥BC，得kAB·kBC＝－1， 即·(－3)＝－1.　(ii) 联立(i)(ii)，得 故A(，－). 综上所述，A点坐标为(1，－1)或(，－). 学科网（北京）股份有限公司 $$