课时梯级训练(2) 直线方程的点斜式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(2)　直线方程的点斜式 1．过点(－3，2)，倾斜角为60°的直线方程为(　　) A．y＝－x－3－2 B．y＝x＋＋2 C．y＝x＋3＋2 D．y＝x－3－2 C　解析：因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.由直线方程的点斜式，可得方程为y－2＝(x＋3)，即y＝x＋3＋2. 2．已知直线l的方程为y＝x＋2，则直线l的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．135° B　解析：因为直线l的方程为y＝x＋2，所以直线l的斜率k＝1，所以直线l的倾斜角为45°. 3．直线y＝kx＋1恒过的点的坐标为(　　) A．(1，0) B．(0，1) C．(－1，0) D．(0，－1) B　解析：因为直线y＝kx＋1，所以y－1＝k(x－0).由直线的点斜式方程可知，该直线恒过点(0，1). 4．下列不可以表示与x轴垂直的直线的方程是(　　) A．x－a＝0 B．x＝0 C．＝1 D．y－2＝k(x－1) D　解析：x－a＝0即x＝a，可以表示与x轴垂直的直线； x＝0表示y轴，与x轴垂直； ＝1即x＝a，表示与x轴垂直的直线； 对于斜率不存在的直线，其方程不能用点斜式表示，故D项符合题意． 5．(多选)下列说法正确的是(　　) A．直线y＝2x－3在y轴上的截距为－3 B．直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1，3) C．直线的点斜式方程也可写成＝k D．过点(2，2)与x轴平行的直线方程为x＝2 AB　解析：在y＝2x－3中，令x＝0，得y＝－3，所以直线y＝2x－3在y轴上的截距为－3，选项A正确．由直线的点斜式方程，知直线y－3＝m(x＋1)过定点(－1，3)，选项B正确．方程＝k表示的直线不包含点(x0，y0)，选项C错误．过点(2，2)与x轴平行的直线方程为y＝2，选项D错误． 6．(多选)已知直线l：y＝－x＋4，则(　　) A．点(2，－2)在直线l上 B．直线l在y轴上的截距为4 C．直线l的倾斜角为 D．直线l的一个方向向量为v＝(1，1) BC　解析：∵－2＋4≠－2，∴点(2，－2)不在直线l上，A项错误；易知直线l在y轴上的截距为4，B项正确；由l：y＝－x＋4得直线l的斜率k＝－1，∴直线l的倾斜角为，C项正确；若直线l的一个方向向量为v＝(1，1)，则其斜率k＝1，不合题意，D项错误．故选BC. 7．已知直线l经过点(－1，4)，且它的一个方向向量为n＝(－2，4)，则直线l的方程为________． 答案：y＝－2x＋2　解析：因为直线l的一个方向向量为n＝(－2，4)， 所以直线l的斜率k＝＝－2. 因为直线l经过点(－1，4)， 所以直线l的点斜式方程为y－4＝－2(x＋1)， 即y＝－2x＋2. 8．若直线y＝1绕着其上一点P(3，1)逆时针旋转45°后得到直线l，则直线l的方程为________． 答案：y＝x－2　解析：因为直线y＝1的倾斜角为0°，所以直线l的倾斜角为45°， 所以直线l的斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线l的方程为y－1＝x－3，即y＝x－2. 9．(1)已知直线l过点A(2，1)，B(6，－2)，求直线l的方程和在y轴上的截距． (2)已知直线l经过点P(3，4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的方程． 解：(1)直线l的斜率k＝＝－，故直线l的点斜式方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋，所以直线l在y轴上的截距为. (2)易知直线y＝x＋的斜率k＝，则其倾斜角为60°， 所以直线l的倾斜角为120°， 所以直线l的斜率k＝tan 120°＝－， 所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)，即y＝－x＋3＋4. 10．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象可能是(　　) D　解析：对于B项，l2的斜率大于0，在y轴上的截距也大于0，故不可能有l1斜率小于0的情况； 当a>0，b＞0时，l1和l2的斜率、截距均大于0，只有D选项满足． 11．(多选)若直线l经过点A(2，－3)，B(3，1)，则以下是直线l的方程的是(　　) A．y＋3＝4(x－2) B．y－1＝4(x－3) C．y＝4x－11 D．y＝x－ ABC　解析：因为直线l的斜率为＝4，所以直线l的方程为y＋3＝4(x－2)或y－1＝4(x－3)，整理得y＝4x－11.故选ABC. 12．(多选)已知等边三角形ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，则BC边所在直线的方程可能是(　　) A．y＝－x B．y＝－(x－4) C．y＝(x－4) D．y＝(x＋4) BC　解析：由已知得直线BC的倾斜角为60°或120°，故直线BC的斜率为或－. 由点斜式得所求直线的方程为y＝(x－4)或y＝－(x－4). 13．若直线l过点P(0，1)且与坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程． 解：设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝kx＋1，所以直线l经过点(0，1)和， 所以与坐标轴围成的三角形的面积S＝×1×＝4，解得k＝±，所以直线l的方程为y＝±x＋1. 14．已知直线l：y＝ax＋，求证：不论a为何值，直线l总经过第二象限． 证明：直线l的方程可化为y－＝a，故直线l的斜率为a，且过定点.由于点在第二象限，因此结论成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$