第2章 3.1 抛物线及其标准方程（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

圆锥曲线 §3　抛物线 3．1　抛物线及其标准方程 第二章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1. 理解抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2．了解抛物线的几何图形和标准方程． 3．明确p的几何意义，并能求抛物线的标准方程． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 相等 抛物线 焦点 准线 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 x0 y0 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（18） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　抛物线的定义 我们知道一元二次函数的图象是抛物线，那么从几何角度思考，抛物线又有怎样的特征呢？ 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离____的点的集合(或轨迹)叫作______，定点F叫作抛物线的____，定直线l叫作抛物线的____． 若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． B [例1] (1)(2023·吉水高二期中检测)命题p：直角坐标系中动点P(x，y)到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1；命题q：动点P(x，y)的坐标满足方程y2＝4x，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹是______. 抛物线 (1)p：动点P(x，y)到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1. 当命题p成立时，＝|x|＋1， 当x<0时，＝－x＋1， 两边平方并整理得y＝0； 当x≥0时，＝x＋1， 两边平方并整理得y2＝4x. 则动点P的轨迹为y2＝4x(x>0)或y＝0(x<0)； q：动点P(x，y)满足方程y2＝4x， 可知p不能推出q，q能够推出p，则p是q的必要不充分条件． (2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹是抛物线． 抛物线的判断方法 (1)定义判断：可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离． (2)方程判断：求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程． [练1] 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且|AM|＝，点P是平面ABCD上的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹是(　　) A．抛物线的一部分 B．双曲线的一部分 C．线段 D．以上都不对 如图，作PF⊥AD于点F，则PF⊥平面ADD1A1，作FE⊥A1D1于点E，则PE⊥A1D1. 由勾股定理得|PF|2＝|PE|2－|EF|2 ＝(|PM|2＋1)－1＝|PM|2， ∴|PF|＝|PM|. 由抛物线定义知，点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线的一部分． 知识点二　抛物线的标准方程 在平面直角坐标系中，同一个椭圆、同一个双曲线因为坐标系不同，得到的标准方程不同，类比这两种曲线的标准方程，抛物线的标准方程有哪些呢？ 图形 方程 _______ _______ _________ _________ _______ _______ __________ _________ 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ (1)抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是焦点到准线的距离； (2)一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上．若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上． [例2] (1)(2024·桂林高二期末检测)抛物线y2＝8x的准线方程是(　　) A．x＝2 B．x＝－2 C．y＝2 D．y＝－2 (2)(2024·西安高二期末检测)抛物线y＝2x2的焦点坐标是 __________. (1)由题意可得，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2. (2)因为抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为，且p＝， 所以焦点坐标为. 待定系数法求抛物线方程的策略 (1)已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可； (2)抛物线的焦点位置不确定，则分类讨论，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0). [练2] 在平面直角坐标系中，已知抛物线x2＝2y的焦点为F，准线为l，则点F到准线l的距离为(　　) A． B．1 C．2 D．4 因为抛物线x2＝2y，所以2p＝2，即p＝1，所以焦点F到准线l的距离为1. 知识点三　抛物线的焦半径 类比圆的半径，抛物线上某一点与抛物线的焦点的连线段为抛物线的焦半径，它的长度等于什么，具有怎样的性质？ (1)焦半径：连接抛物线上任意一点M与抛物线焦点的线段； (2)抛物线的焦半径的长等于抛物线上一点到抛物线焦点的距离； (3)设抛物线y2＝2px(p>0)上任一点A(x0，y0)，抛物线的焦点为F，则|AF|＝_____＋；设抛物线x2＝－2py(p>0)上任一点A(x0，y0)，抛物线的焦点为F，则|AF|＝－______. [例3] 若抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为的点到焦点的距离为5，则p的值为(　　) A． B．2 C．4 D．5 由题意可得抛物线y2＝2px(p＞0)开口向右， 焦点坐标为，准线方程为x＝－. 因为抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为5，由抛物线的定义可得－＝＋＝5，解得p＝5. 利用抛物线的焦半径解决问题的策略 (1)灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化． (2)看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线. [练3] 求抛物线y2＝8x上到其焦点距离为5的点的坐标． 设P(x，y)，由|PF|＝x＋2＝5，得x＝3，把x＝3代入y2＝8x得，y＝±2， 所以所求坐标为(3，－2)，(3，2). 1．知识清单 (1)抛物线的定义及标准方程； (2)抛物线的焦半径及其应用． 2．方法归纳：方程思想、待定系数法、数形结合、转化与化归问题． 3．常见误区 抛物线的开口方向、焦点位置易弄混． ◎随堂演练 1．(2024·桂林高二期末检测)已知抛物线C的方程为x2＝－4y，则其焦点坐标为(　　) A．(0，－2) B．(0，－1) C．(－2，0) D．(－1，0) 由题意得2p＝4，故p＝2， 则焦点坐标为，即(0，－1). 2．动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 由已知得，＝，即动点M(x，y)到坐标原点的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，根据抛物线的定义知，动点M的轨迹是抛物线． 3．已知抛物线y＝x2的焦点为F，D(－1，0)，则|FD|＝(　　) A． B．2 C． D． 抛物线y＝x2，即x2＝4y，焦点F(0，1)，D(－1，0)，则|FD|＝＝. 4．准线方程为x＝2的抛物线的标准方程是__________. 答案：y2＝－8x　 抛物线的准线方程为x＝2，说明抛物线开口向左，且p＝2×2＝4，所以抛物线的标准方程是y2＝－8x. $$