第1章 1.6 第2课时 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

直线与圆 第2课时　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离公式 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1. 探索并掌握平面上点到直线的距离公式． 2．掌握两条平行直线间的距离公式及其适用条件． 3．会求点到直线的距离、两条平行直线间的距离． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（8） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　点到直线的距离公式 在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，一条直线l：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0).如何求出它们的距离呢？是否有一个确定的关系式？ 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝_______________ (其中A，B不全为0). (1)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为直线上所有的点到已知点P的距离中的最小距离． (2)点P(x0，y0)到直线l1：x＝x1的距离是|x0－x1|；点P(x0，y0)到直线l2：y＝y1的距离是|y0－y1|. [例1] (1)已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　) A．0 B． C．3 D．0或 点M(1，4)到直线l的距离 d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝. (2)求过点M(－2，1)且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线方程． 方法一　当直线的斜率不存在时，直线为x＝－2，它到A，B的距离不相等，所以所求直线方程斜率存在．故可设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0. 由已知条件可得＝， 解得k＝0或k＝－. 故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0. 方法二　因为kAB＝＝－，所以过M与AB平行的直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0.设线段AB的中点为C，则C(1，1)，所以MC的方程为y＝1. 所以所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0. 点到直线的距离的求法 (1)如果直线方程为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)与坐标轴垂直的直线x＝a或y＝b，可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已知点到直线的距离求参数，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． [练1] 点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A．3 B． C．1 D． 因为直线l：3y＝2可以化为y＝，点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝. [练2] 已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为______． 答案：或－6　 由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，∴m＝或m＝－6. 知识点二　两条平行直线间的距离公式 在平面直角坐标系中，已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)，如何求出它们的距离呢？是否有一个确定的关系式？ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝__________(其中A，B不全为0，且C1≠C2). 公式条件是：两直线方程都是一般形式，且两条直线中x，y的系数相同． [例2] (1)两条平行直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(　　) A． B． C． D． l1的方程可化为9x＋12y－6＝0， 由两平行直线间的距离公式得d＝＝. (2)求与直线l：3x－4y－11＝0平行且与直线l距离为2的直线方程． 设与l平行的直线方程为3x－4y＋c＝0(c≠－11).根据两平行直线间的距离公式得＝2，解得c＝－1或c＝－21.∴所求方程为3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0. 两平行线间的距离的求法 (1)转化法：在其中一条直线上选取一个特殊点(如直线与坐标轴的交点)，求该点到另一条直线的距离． (2)公式法：直接应用公式d＝，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相等． [练3] 已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　) A．1 B． C． D．2 由题意知l1，l2平行，则l1，l2两直线间的距离为＝. [练4] 直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为(　　) A．9 B．11或－9 C．－11 D．9或－11 两平行直线间的距离为d＝＝2，解得c＝－9或11. 综合应用：距离公式的综合应用 [例3] 两平行直线l1，l2分别过A(1，0)，B(0，5). (1)l1，l2之间的距离为5，求两直线方程； (2)若l1，l2之间的距离为d，求d的取值范围． (1)当l1，l2斜率不存在时，易知l1：x＝1，l2：x＝0，l1，l2之间的距离为1，不合题意． 当l1，l2斜率存在时，设斜率为k， 则l1：y＝k(x－1)，l2：y－5＝kx，即l1：kx－y－k＝0，l2：kx－y＋5＝0，所以＝5， 解得k＝0或k＝. 当k＝0时，l1：y＝0，l2：y＝5； 当k＝时，l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0. 故两直线方程为l1：y＝0，l2：y＝5，或l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0. (2)如图，当l1，l2旋转到和AB垂直时，l1，l2之间的距离d最大，为＝；当l1，l2旋转到和AB重合时，距离为0.又两平行直线l1，l2不重合，故d的取值范围是(0，]. 分别过定点的两平行直线间距离的关注点 两条互相平行的直线分别过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，并且各自绕着A，B旋转．设两条平行直线间的距离为d，则d不存在最小值，但可以无限的接近0；d存在最大值，最大值等于|AB|. [练5] 点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 方法一　由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝. 当k＝0时，d＝1； 当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k>0且k＋最小， ∵k＋≥2＝2，当且仅当k＝，即k＝1时，等号成立， ∴当k＝1时，dmax＝. 方法二　记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0).当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝. [练6] 设m∈R，已知直线l1：(m＋1)x＋my＋2－m＝0，过点(1，2)作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是________． 答案： 直线l1：(m＋1)x＋my＋2－m＝0，即(x＋y－1)m＋(x＋2)＝0.由 解得即直线l1恒过点(－2，3)，则直线l1与l2之间距离的最大值为点(1，2)与点(－2，3)间的距离，最大值d＝＝. 1．知识清单 (1)点到直线距离的公式及求法； (2)两平行直线间的距离公式及求法． 2．方法归纳：数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区 (1)求解距离中的最值问题时无法正确转化； (2)求两条平行直线间的距离时易用错公式． ◎随堂演练 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　) A． B． C．2 D． 由点到直线的距离公式得d＝＝. 2．已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(　　) A．3 B． C． D． 由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，即|PQ|的最小值为. 3．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A． B．－1 C．＋1 D．2－ 由点到直线的距离公式，得1＝，即|a＋1|＝.∵a＞0，∴a＝－1. 4．两条平行线l1：3x＋4y－3＝0和l2：3x＋4y＋2＝0间的距离为______． 答案：1 d＝＝1. $$