第1章 1.3 第3课时 直线方程的一般式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

直线与圆 1.3　直线的方程 第3课时　直线方程的一般式 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1.理解平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的关系，掌握直线方程的一般式，并会熟练应用． 2．会选择适当的形式求直线方程，掌握直线方程的一般式与其他形式之间的互化． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 Ax＋By＋C＝0 一条直线 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（4） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点　直线方程的一般式 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为零)都能表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ 直线方程的一般式：关于x，y的二元一次方程_________________(其中A，B不全为0)表示的是________，称它为直线方程的一般式． 对直线方程的一般式一般作如下约定 (1)x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，按含x项、含y项、常数项的顺序排列． (2)求直线方程的题目，无特别要求时，结果要写成直线方程的一般式． [例1] 根据下列条件，写出直线方程的一般式． (1)经过点(0，2)，且倾斜角为； (2)经过点(－2，3)和点(－1，0)； (3)经过点(2，1)，在x，y轴上有不为0且相等的截距． (1)因为直线经过点(0，2)，且倾斜角为， 所以此直线的斜率为k＝tan ＝. 所以此直线的方程为y＝x＋2，化为一般式为x－y＋2＝0. (2)因为直线经过点(－2，3)和点(－1，0)， 所以直线斜率为k＝＝－3. 所以直线方程为y＝－3(x＋1)， 化为一般式为3x＋y＋3＝0. (3)由题意设直线方程为＋＝1. 因为直线过点(2，1)，所以＋＝1，且a＝b，解得a＝b＝3. 所以直线的一般式方程为x＋y－3＝0. 选择直线方程形式的原则 (1)已知一点的坐标，通常选用点斜式． (2)已知直线的斜率，一般选择斜截式或点斜式． (3)已知截距或两点的坐标，选择截距式或两点式，或先求斜率再用点斜式． [练1] 根据所给条件求直线方程． (1)直线过点A(1，2)，倾斜角α的正弦值为； (2)直线过点A(1，3)，且在两坐标轴上的截距之和为8； (3)直线过点A(2，4)，B(－2，8). (1)∵sin α＝，∴k＝tan α＝±， 则直线方程为y－2＝±(x－1)， 即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0. (2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，且截距之和为8. 可设直线方程为＋＝1， 代入点A(1，3)，可得＋＝1，解得m＝2或m＝4， 所以所求直线方程为＋＝1或＋＝1， 即所求直线方程为3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0. (3)直线斜率k＝＝－1， 则所求直线方程为y－4＝－(x－2)，整理得x＋y－6＝0. 综合应用一：直线方程的含参数问题 [例2] 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论实数a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． (1)方法一　直线方程可变形为y＝ax＋. 当a>0时，直线一定经过第一象限； 当a＝0时，直线为y＝，显然经过第一象限； 当a<0时，>0，此直线经过第一象限． 综上，不论a为何值，直线5ax－5y－a＋3＝0一定经过第一象限． 方法二　直线方程可变形为y－＝a(x－)，它表示经过点A(，)，斜率为a的直线． 因为点A(，)在第一象限，所以直线l必经过第一象限． (2)如图，直线OA的斜率k＝＝3. 因为直线l不经过第二象限， 所以直线l的斜率k≥3. 所以a≥3，即实数a的取值范围为[3，＋∞). 已知直线所在的位置求参数值(或范围)的策略 首先将直线方程转化为斜截式方程(参数有限制时，注意分类讨论)； 再研究斜截式方程y＝kx＋b， (1)当k>0，b>0时，直线经过第一、二、三象限； (2)当k>0，b<0时，直线经过第一、三、四象限； (3)当k<0，b>0时，直线经过第一、二、四象限； (4)当k<0，b<0时，直线经过第二、三、四象限． [练2] 设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R).若直线l不经过第三象限，则a的取值范围为________. 答案：[1，＋∞)　 把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2.因为直线l不经过第三象限，所以该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零，即解得a≥1.所以a的取值范围为[1，＋∞). 综合应用二：直线与坐标轴形成的三角形问题 [例3] 已知直线l过点P(－1，2). (1)若直线l在两坐标轴上的截距之和为零，求l的方程； (2)设直线l的斜率k>0，直线l与两坐标轴的交点别为A，B，求△AOB面积的最小值． (1)因为直线l在两坐标轴上截距和为零， 所以直线l斜率存在且不为0，故不妨设斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x＋1)， 所以直线在x，y坐标轴上截距分别为－1－，k＋2， 所以－1－＋k＋2＝0，整理得k2＋k－2＝0，解得k＝－2或k＝1， 所以直线l的方程为2x＋y＝0或x－y＋3＝0. (2)由(1)知A(－1－，0)，B(0，k＋2)， 因为k>0，所以△AOB面积为S＝×(1＋)(k＋2) ＝×(4＋k＋)≥×(4＋2)＝4， 当且仅当k＝，即k＝2时等号成立， 所以△AOB面积的最小值为4. 与坐标轴形成的三角形问题的解题策略 (1)直线与坐标轴围成的三角形的面积，可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程； (2)由面积的解析式再进一步利用基本不等式或二次函数求最值． [练3] 已知直线l：kx－y＋2k＋1＝0与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点．设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 由题意知k≠0.在直线l的方程中，令x＝0，可得y＝2k＋1；令y＝0，可得x＝－， 所以A(－2－，0)，B(0，2k＋1). 又点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，所以解得k>0. ∴S＝·(2＋)(2k＋1)＝·(4k＋＋4)≥＋2＝4，当且仅当4k＝，即k＝时等号成立． 所以S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 1．知识清单 (1)直线方程的一般式； (2)由直线方程的一般式求直线的斜率、倾斜角； (3)直线方程的一般式与其他形式的互化． 2．方法归纳：方程思想、数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区 (1)直线的方程不一定都是二元一次方程； (2)一条直线的一般方程表示不一定是唯一，都可以化为同一个方程． ◎随堂演练 1．直线－2x＋y＋3＝0的斜率为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 因为直线方程可化为y＝2x－3， 所以斜率k＝2. 2．直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距为(　　) A． B．－5 C． D．－3 令y＝0，可得x＝－3，所以直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距为－3. 3．给出的下列直线，斜率为－且不经过第一象限的是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 将一般式化为斜截式，斜率为－的有B，C两项．又4x＋3y－42＝0可化为y＝－x＋14，过点(0，14)，即直线过第一象限，只有B项符合题意． 4．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3，4)的线段的中点，则m＝______． 答案：2 线段AB的中点坐标为(1，1)，代入直线方程得m＋3－5＝0，所以m＝2. $$