第06讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（2大知识点+3大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

第06讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 课程标准 学习目标 1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程根与系数的关系 1.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 2.掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题. 知识点01 一元二次方程根的判别式 关于x的一元二次方程的根的判别式为. (1) 方程有两个 的实数根 (2) 方程有两个 的实数根; (3) 方程没有 . 【即学即练1】 1.关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定根的情况 【即学即练2】 2.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 方法技巧：将一元二次方程化为一般形式(a>0)以后,如果,则方程一定有实数根. 注意在一元二次方程中,若二次项系数中含有未知系数,应满足二次项系数不为0. 知识点02 一元二次方程根与系数的关系 当时，如果的两根分别是,那么 , . 【即学即练1】 1．方程的两根为、，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2.已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 规律总结：利用根与系数的关系求有关代数式的值时,要把所求的代数式转化为用和构成的式子. 题型01 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例1】问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（    ） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 【变式1】若关于x的方程． 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 题型02 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例1】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（    ） A．4 B． C．16 D． 【典例2】已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值． 【变式1】若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于的一元二次方程，如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 题型03 一元二次方程的根与系数的关系 【典例1】设方程的两个根为，那么的值等于（   ） A．－3 B．1 C．－1 D．2 【典例2】已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【变式1】若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2】已知关于x的一元二次方程 的两个根与互为倒数，求m 的值． 【变式3】已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 1．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 2．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A． B．9 C． D．36 3．已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 5．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 6．已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（    ） A．，4 B．，1 C．，4 D．，1 7．若方程 的两根为，，则 的值为：（   ） A．2 B． C． D． 8．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 9．已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法： ①方程是2倍根方程； ②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数）， 则； ③若，则关于x的方程是2倍根方程； ④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1. 则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 11．嘉琪准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为 ． 12．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 13．已知实数k满足以下条件： ①关于x的一元二次方程有实数根； ②的解集为． 则满足以上所有条件的整数k的和为 ． 14．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 15．已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ． 16．已知，且满足，，那么的值为 . 17．若关于x的方程两根互为负倒数，则m的值为 ． 18．设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 19．设、是方程的两实数根，则 ． 20．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，解这个方程； (2)试判断方程根的情况，并说明理由． 22．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 23．已知：关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为． (1)若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值； (2)是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 24．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 25．阅读材料：在一元二次方程中，我们定义方程的判别式为，当时，方程有两不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为． 已知关于x的方程： (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围． (2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值． (3)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 课程标准 学习目标 1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程根与系数的关系 1.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 2.掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题. 知识点01 一元二次方程根的判别式 关于x的一元二次方程的根的判别式为. (1) 方程有两个不相等的实数根 (2) 方程有两个相等的实数根; (3) 方程没有实数根. 【即学即练1】 1.关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【即学即练2】 2.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由于关于的一元二次方程有实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选C． 方法技巧：将一元二次方程化为一般形式(a>0)以后,如果,则方程一定有实数根. 注意在一元二次方程中,若二次项系数中含有未知系数,应满足二次项系数不为0. 知识点02 一元二次方程根与系数的关系 一般地,对于形如的一元二次方程,可以利用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的根,这种解方程的方法叫作直接开平方法. 【即学即练1】 1．方程的两根为、，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．根据根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴，， 故选：A． 【即学即练2】 2.已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】 【分析】本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，则；若一元二次方程有实数根，则；据此即可求解． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 则 ∴ 令，即 解得： ∵方程有实数根， ∴ 即： 综上所述： 规律总结：利用根与系数的关系求有关代数式的值时,要把所求的代数式转化为用和构成的式子. 题型01 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例1】问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（    ） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式及根据根据判别式判断一元二次方程根的情况． 由题意得出系数后，根据根的判别式判断即可求解． 【详解】解：方程中，，，， ， 此时方程无实数根，珍珍说得对． 故选：． 【变式1】若关于x的方程． 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，利用根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， A、若，，不符合题意； B、若，，不符合题意； C、若，，符合题意； D、若，，不符合题意． 故选：C． 【变式2】在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）证明根的判别式即可； （2）证明根的判别式即可． 【详解】（1）证明：若，则方程为， ， 原方程有实根； （2）证明：、异号，， ， ， 原方程有两异实根． 题型02 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例1】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（    ） A．4 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况． 根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，从而列出关于 a 的方程，解方程即可． 【详解】解：关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ， ． 故选：A． 【典例2】已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值． 【答案】，a的最小整数值是 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根求出a的取值范围，进而可得出结论． 【详解】关于x的方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得， 的最小整数值是． 【变式1】若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的取值范围；，由一元二次方程有两个相等的实数根，可得即可求解；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 一元二次方程没有实数根， ， 即： ， 解得：， 故选：A ． 【变式2】已知关于的一元二次方程，如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，由此列不等式，即可求解． 【详解】解：依题意得：， 解得． 题型03 一元二次方程的根与系数的关系 【典例1】设方程的两个根为，那么的值等于（   ） A．－3 B．1 C．－1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程两根为，则两根之和，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：方程的两个根为， ， 故选：C． 【典例2】已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ∴， 解得 【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键． 【变式1】若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入代数式，进行求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴； 故选C． 【变式2】已知关于x的一元二次方程 的两个根与互为倒数，求m 的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根为与，则有，是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程 的两个根与互为倒数， ∴，即， 解得：． 【变式3】已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，； (2)3． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设，是一元二次方程的两个实数根，则，． （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ，． 故答案为：1，． （2）解：， 故答案为：3． 1．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据得判断即可．本题考查了方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 2．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A． B．9 C． D．36 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题根据求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 3．已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 根据点的位置确定，然后判断的值的取值范围即可解题． 【详解】解：∵点在第二象限，点在轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A 4．已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式．熟练掌握点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由点在第二象限，可得，则，由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据一元二次方程的根与系数的关系求出两根及m值，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵的两根为， ∴．， ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 6．已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（    ） A．，4 B．，1 C．，4 D．，1 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义和根与系数关系，一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，求出正根为1，的另一个根为4，利用根与系数关系得到，方程有一个正根为1，设另一个根为m，利用根与系数关系得到，即可求出另一个根为． 【详解】解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等， ∴， 解得， ∴正根为1， ∵的另一个根为4， ∴， ∴， ∵方程有一个正根为1，设另一个根为m， ∴则， ∴， ∴另一个根为， ∴的两个根分别为1，， 故选：D． 7．若方程 的两根为，，则 的值为：（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据方程 的两根为，得，，根据进行计算即可得；掌握一元二次方程根与系数的关系，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为， ∴， ∴， 故选：B． 8．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，先由根与系数的关系得到，，再由已知条件得到，解方程得到m的值，再利用判别式求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法： ①方程是2倍根方程； ②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数）， 则； ③若，则关于x的方程是2倍根方程； ④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1. 则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据新定义推导一元二次方程根与系数的新关系、一元二次方程的解法等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 通过解出一元二次方程，结合“n倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“2倍根方程”的定义，得出或，进而得出、，然后再用十字相乘法分解即可判定②；通过解出一元二次方程，结合“2倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“2倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而得出，求出解即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得可得：， ∴方程不是2倍根方程，故①错误； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴，， ∴，即，故②错误； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是2倍根方程， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则，故④正确． 综上所述，关于2倍根方程的说法正确的为：③④． 故选：D． 11．嘉琪准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定范围，设中为，根据判别式的意义得到，然后解不等式求出后找出最大整数即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：设中为， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴“”的最大值为， 故答案为：． 12．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程中二次项的系数不等于得出，根据一元二次方程根的判别式：，当一元二次方程有两个实数根时，，即可列出不等式，求出的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， 故的取值范围是且． 故答案为：且． 13．已知实数k满足以下条件： ①关于x的一元二次方程有实数根； ②的解集为． 则满足以上所有条件的整数k的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，解一元一次不等式组；根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义可得且，根据一元一次不等式组的解集得出，进而求得的范围，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根； ∴，且 解得：且 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组的解集为： ∴ 解得： ∴且 ∴足以上所有条件的整数k的和为 故答案为：． 14．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根据分式方程的根的情况求参数，去分母解分式方程得，根据分式方程有增根，得到，计算即可． 【详解】解： ∴ 去分母得： ∵分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质．由一元二次方程根的判别式先求解，根据一元二次方程的解的定义得出代入代数式，进而即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 设此方程的一个实数根为， ， ， ， ，即． 故答案为：． 16．已知，且满足，，那么的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键．由a、b满足的条件可得出a、b为方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中可求出结论． 【详解】解： ，且满足，， 、b为方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 17．若关于x的方程两根互为负倒数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根的判别式及根与系数的关系找出关于m的一元二次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设α，β是关于x的方程的两根， ∴，， ， ， ， 恒成立， ∵关于x的方程两根互为负倒数， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 18．设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系； 首先根据根的判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系求出满足条件的k值即可解答． 【详解】方程的两个实数根， ，，， 解得：， ， ， ， 解得：，， ， ． 故答案为：1． 19．设、是方程的两实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系，由、是方程的两实数根，可得，，再代入计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵、是方程的两实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 20．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】先通分计算括号里的，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，最后代值求解即可． 【详解】解： ， ∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，． ∴原式． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握分式的化简求值，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，解这个方程； (2)试判断方程根的情况，并说明理由． 【答案】(1) (2)有两个实数根，理由见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． （1）当时，原方程为，即，再直接解方程即可； （2）根据方程可求出，即可得出原方程有两个实数根． 【详解】（1）解：当时，原方程为，即为， ∴， ∴； （2）解：由题意可知，，， ∴， ∴原方程有两个实数根． 22．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式列关于m的不等式，然后解不等式即可； （2）求得最小整数，进而得方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：由得最小整数， ∴方程为， 解得，． 23．已知：关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为． (1)若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值； (2)是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)2 (2)或1或 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是： （1）利用根与系数的关系得出，，利用勾股定理列出关于k的方程，即可求解； （2）利用平方差公式得出，然后分两种情况讨论，由根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴无论k取何值，方程总有实数根， ∴，， ∵是斜边长为的直角三角形的两直角边， ∴， ∴， ∴， 解得(经检验，此时两根之积为负数，故舍去)，， ∴k的值为2 （2）解：假设存在， 当时，则，解得， 当时，， ∴， ∴， ∴ 解得，， 综上，当k的值为或1或时，． 24．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 25．阅读材料：在一元二次方程中，我们定义方程的判别式为，当时，方程有两不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为． 已知关于x的方程： (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围． (2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值． (3)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) (2)，或， (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键： （1）根据判别式大于等于零列不等式求解； （2）将代入方程得，，求出m，再根据两根和列方程求出n； （3）由根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形即可求出m的值． 【详解】（1）解：因为方程有两个实数根， 所以， 解得， 所以m的取值范围是； （2）将代入方程得，， 解得． 当时，方程为 因为， 所以． 当时，方程为 因为， 所以． 综上所述，或． （3）因为方程的两个实数根为， 所以． 因为， 所以， 即， 解得． 因为， 所以， 即m的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$