第07讲 一元二次方程的应用（4大知识点+4大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

第07讲 一元二次方程的应用 课程标准 学习目标 一元二次方程的应用 1.能运用一元二次方程解决变化率问题、利润问题、面积问题、动点问题 2.掌握运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤 知识点01 用一元二次方程解决变化率问题 a为起始量,b为终止量,n为增长(或降低)的次数,x为平均增长率,则 (1)平均增长率公式: (2)平均降低率公式: 【即学即练1】 1．保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为，则根据题意列出的符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意并正确的列出方程． 根据题意两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子即可列出方程． 【详解】解：∵两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子， ， 故选：D． 【即学即练2】 2.某菜农每年的种植成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为5万元，可变成本逐年增长．已知该菜农第1年的可变成本为万元，如果该菜农第3年的种植成本为万元，求可变成本每年平均增长的百分率． 【答案】可变成本平均每年增长的百分率为20% 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设可变成本平均每年增长的百分率为x，根据该菜农第3年的种植成本为万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设可变成本平均每年增长的百分率为x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：可变成本平均每年增长的百分率为． 方法技巧：(1)解此类问题时所列的方程一般用直接开方法求解，(2)增长(降低)率不能是负数,降低率要小于1. 知识点02 用一元二次方程解决利润问题 1.单个利润=售价一进价; 2.利润率= 3.总利润=单个利润销量=总售价—总进价; 4.售价=进价(1+利润率). 【即学即练1】 1．万达商场服装柜在销售中发现：“珊瑚”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十·一”国庆黄金周，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？此时日销售量是多少件？ 【答案】每件童装应降价20元， 此时日销售量是60件 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键．设每件童装应降价x元，根据题意列出等式即可得到答案． 【详解】解：设每件童装应降价x元，由题意得： ， ， ， ，， 因为商场需扩大销售量，增加盈利，减少库存所以舍去． 此时销售量是：（件） 答：每件童装应降价20元， 此时日销售量是60件． 知识点03 用一元二次方程解决面积问题 1.=长宽; 2.=; 3.勾股定理:; 4.=边长边长; 5.=长宽高. 【即学即练1】 1.如图，在矩形空地上，修建2条平行于边、1条平行于边的小路，3条路等宽，其余部分铺草坪．已知长为，长为，铺草坪的单价是100元/，铺草坪的总价为432000元．求每条小路的宽度． 【答案】每条小路的宽度为 【分析】设小路的宽为，先求出草坪的总面积为，再根据长乘以宽等于草坪面积列一元二次方程求解即可． 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：设小路的宽为， ， ． 解得，． 因为，所以． 答：每条小路的宽度为． 知识点04 用一元二次方程解决动点问题 对于动态几何问题，常将动态的过程进行静态处理，在“静”的状态下分析图中的数量关系，然后根据相关公式列方程求解即可. 【即学即练1】 如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 题型01 用一元二次方程解决变化率问题 【典例1】2024年春节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得 ． 故选：A． 【变式1】受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．设快递量平均每年增长率为x，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：B． 【变式2】安徽特产黄山毛峰是中国十大名茶之一，茶叶颜色鲜亮，茶香扑鼻，被誉为黄山一绝．在某次茶品交易会上，茶农小林参展首日签单100份，第三天签单144份，若连续三天签单数量的增长率相同，求增长率为多少？ 【答案】增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，设增长率为，根据“首日签单100份，第三天签单144份，连续三天签单数量的增长率相同，”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得， 解得或（不合题意，舍去）， 答：增长率为． 题型02 用一元二次方程解决利润问题 【典例1】上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为元袋，经市场调查发现，当销售单价为元时，每天可售出袋；销售单价每降低元，每天可多售出袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设销售单价降低元，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设销售单价降低元，根据题意得， 故选：D． 【典例2】今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均增长率为，由题意列出一元二次方程求解即可； （2）设降价元，由题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为，由题意得： ， 解得：或（舍）； ∴四、五这两个月的月平均增长百分率为； （2）解：设降价元，由题意得： ， 整理得：， 解得：或（舍）； ∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 【变式1】直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可． 【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， ∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：B． 【变式2】某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． (1)求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式； (2)当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元． 【答案】(1) (2)40元或者60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是理解题意，能正确列出一元二次方程． （1）利用待定系数法求解可得； （2）由题意可得，， 再求解即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 根据图象可知，点在上，代入可得， ∴ ， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由题意可得，， 解得，， 答：当销售价为40元或者60元时，每天的利润可以达到1600元． 题型03 用一元二次方程解决面积问题 【典例1】我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8， ∴图2是， 即的几何解法， 故选：C． 【变式1】某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2，如果把一些金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的围墙，下列长度的栅栏够用并节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的简单应用，二次根式的估值，根据题目设出未知数是基础，依据等量关系列写一元二次方程是解题关键． 设长方形围场长为米，则其宽为米，根据长方形面积列出方程求出x的值，进而可知长方形长与宽，再求出长方形周长即可解答． 【详解】解：设长方形围场长为米，则其宽为米， ， 解得米（负值已舍去）， 长方形周长为：米， 而A，B，C，D四个选项中大于且与最接近的是C选项：126m， 故选：C． 【变式2】如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 【答案】(1)道路的宽度为1米； (2)最多购进A种花卉240株． 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设道路的宽度为x米，根据“种植花卉的总面积为63平方米，”列方程求解即可； （2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株，根据“园林部门采购花卉的费用不超过3680元，”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设道路的宽度为x米， 根据题意得：， 解得：，， ∵，故舍去， ， 答：道路的宽度为1米． （2）解：设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株， 根据题意得：, 解得：， ∴最多购进A种花卉240株． 题型04 用一元二次方程解决动点问题 【典例1】如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 【典例2】如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． （1）根据速度时间路程，列出代数式即可； （2）如图，过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）根据题意得：，， 所以； （2）如图，过点D作于H， ∵，即， ∴， ∴ ∴ 又∵D是的中点， ∴ ∴，， ∴ ∵的面积为 ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得：，， ∴当或4时，的面积是． 【变式1】如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当运动时间为秒时，的面积为，利用三角形面积的计算公式，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合当点移动到点后停止点也随之停止移动，即可确定值． 【详解】解：设当运动时间为秒时，的面积为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又， ， ． 故选：B 【变式2】如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    【答案】2秒和4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及勾股定理；设秒后线段恰好平分的面积，分别求出,，得到，再通过勾股定理计算出，计算出，线段恰好平分的面积建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设秒后线段恰好平分的面积， 由题意得 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时， ， ，符合题意， 当时， ， ，,不符合题意，舍去， 当点到达点后，点继续运动，如下图所示，   ， ∴， 解得秒， 故当和时，线段恰好平分的面积． 1．为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，年共计投入亿元，预计年投入亿元，设教育经费的年平均增长率为， 下面所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设教育经费的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设教育经费的年平均增长率为， 依题意得：， 故选：． 2．某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出一元二次方程，熟练掌握题意是解题的关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意中的等量关系可得：， 故选B． 3．“直田积（矩形面积）八百六十四平方步，阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步” （选自《田亩比类乘除算法》）．设阔为x步，可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用---与图形有关的古代问题；由题意得长步，由矩形面积公式建立方程即可． 【详解】解：由题意，阔为x步，则长步， 由矩形面积得：； 故选：C． 4．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当运动时间为秒时，的面积为，利用三角形面积的计算公式，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合当点移动到点后停止点也随之停止移动，即可确定值． 【详解】解：设当运动时间为秒时，的面积为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又， ， ． 故选：B 5．据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月3日比5月2日的全国旅游收入多127.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设全国旅游收入日平均增长率为x，则5月2日的收入为亿元，5月3日的收入为亿元，据此列出方程即可． 【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为x， 由题意得，， 故选：A． 6．据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可，注意题目中1027.96亿元是3天的收入之和． 【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为x，由题意，得： ； 故选A． 7．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解． 【详解】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，， 设，，假设存在点，且，则， 在中，， 在中，， ， ，即， 整理得， ，又，即， ， ，， ， 方程无解，即点不存在． 故选：D． 8．如图，正方形的边长为2，点E，F分别在上，是等边三角形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，证明，得到，设，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 设，则：，， 在中，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程以及二次根式的运算，熟练掌握相关知识点，利用勾股定理列方程，是解题的关键． 9．《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设正方形的边长是步，根据圆的面积减去正方形的面积即可求解． 【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是 ． 故选：C． 10．一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元，列分式方程先求出“抱竹熊猫”和“打坐熊猫”的售价，再根据第二天两款熊猫玩偶的总利润，列出一元二次方程求出的值即可，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元， 由题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， ∴第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元， ∴根据第二天总利润为元可得， ， 整理得，， 解得，， 当时，，， ∵， ∴符合题意； 当，， ∵， ∴不合题意，舍去； ∴， 故选：． 11．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期的销售总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元， 根据题意得：． 故答案为：． 12．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该款燃油汽车今年5月份的售价该款燃油汽车今年3月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 13．如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为 ．    【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题的关键． 确定平行于墙的一边与★的关系即可求解． 【详解】解：由题意可得：平行于墙的一边为：， 由可得，★表示的为平行于墙的一边的长度， 即为：★表示的代数式为， 故答案为． 14．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键． 设通道的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【详解】解：设通道的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 故答案为：6． 15．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解题目中的数量关系，设道路的宽为，由此列式求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽为， ∴，整理得，， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为， 故答案为：2 ． 16．如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用，正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系是解题关键． 已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图 图1中的正方形面积为4 正方形边长为2 直角三角形①中的长直角边为2 解得：（负值已舍去） 故答案为：． 17．5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，根据：本次比赛共计条龙船参赛，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，可列出方程组，求解即可．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条， 依题意，得：， 解得：， ∴参赛的“金凤银麒”龙船为条． 故答案为：． 18．如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）当点和点距离是3cm时， ． （2）当 ，为直角三角形（）． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． （1）作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可； （2）分情况讨论，当时，当时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程可以得出结论． 【详解】解：（1）如图1，作于， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， 如图2，作于， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， 综上：或． （2）如图，连接，过点作， 点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形． ① 当时，即， 在中，，， ， 由（2）知，， ， （舍去）或， ② 当时，即， ， （舍去）或， 综上：或． 19．某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了．已知该景区4月份的游客人数为5万人． (1)填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 5 ____ ____ (2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率． 【答案】(1)见解析 (2)该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出代数式与方程是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵5月份的游客人数比4月份增加，4月份的游客人数为5万人， ∴5月份的游客人数为（万人）， ∵6月份的游客人数比5月份减少了， ∴6月份的游客人数为（万人）， 填表如下： 月份 4 5 6 游客人数/万人 5 （2）解：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为， 根据题意得： 解得：（舍去）或， 答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为． 20．如图，某超市会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：李阿姨：“我记得甲商品进价比乙商品进价每件高．”王师傅：“甲商品比乙商品的数量多40件．” (1)请你求出乙商品的进价； (2)超市销售乙商品时，原来定价为每件75元，为尽快清仓，对乙商品连续两次打折，且两次折扣相同，打折后每件仍可获利，则每次打几折？ 【答案】(1)进价40元 (2)八折 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用： （1）设出乙的进货单价为x元/件，则乙的进货数量为件，则甲的数量为件，甲的进货单价为元/件，通过甲的进货价甲的数量甲的总金额，列出分式方程，解出方程即可． （2）设每次打m折，根据“原来定价为每件75元，对乙商品连续两次打折，且两次折扣相同，打折后每件仍可获利，”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设乙的进货单价为x元/件，则乙的进货数量为件，则甲的数量为件，甲的进货单价为元/件，根据题意得： ， 解得：． 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：乙商品的进价为40元/件． （2）解：设每次打m折，根据题意得： ， 解得：或（舍去）， 答：每次打八折． 21．综合与实践： 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下： ∴当时，有最大值5． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形．    任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为　　　（用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到． 任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边的长． 任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小． 任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 【答案】任务1：；能达到； 任务2：； 任务3：故当时，方案一的纸盒体积大；当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；当时，方案二的纸盒体积大； 任务4： 【分析】任务1：根据题意用含的代数式表示出，即可表示出底面的面积； 任务2：首先用的代数式表示出，根据中间的四边形为正方形可表示出； 任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大．因此比较两种方案种底盒的底面积即可，首先由任务1，2表示出两种方案纸盒的底面积，然后分三种情况进行比较即可得到答案； 任务4：首先表示出方案2中纸盒的体积为含的二次多项式，然后用配方法求二次多项式的最值即可． 【详解】解：任务1：根据题意得： 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为， 故答案为：； 令， 解得：(不符合题意，舍去)， 则此时底面积能达到； 任务2：根据题意得：； 任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大； 由任务1可知：方案1的底面积为：； 由任务2可知：方案2的底面积为：； 根据题意知：，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得； 故当时，方案一的纸盒体积大； 当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大； 当时，方案二的纸盒体积大． 任务4：方案二中纸盒的体积为：； 当时，纸盒体积有最大值为． 【点睛】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，配方法求最值问题等知识的实际应用，根据题意列出代数式是本题的关键． 22．振华商厦准备在月 月销售一种多功能手机专用包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场营销调查发现当每个手机专用包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个． (1)若使这种手机专用包的月均销量不低于个，每个手机专用包售价应不高于多少元？ (2)在（）的条件下，当这种手机专用包销售单价为多少元时，月销售利润是元？ 【答案】(1)每个手机专用包售价应不高于元； (2)当该这种手机专用包销售单价为元时，销售利润是元． 【分析】（）设每个手机专用包售价为元，根据题意列出，然后求解即可； （）由题意列方程，然后解方程检验即可； 本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【详解】（1）设每个手机专用包售价为元， 依题意得： 解得：， ∴的最大值为， ∴每个手机专用包售价应不高于元； （2）依题意得： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴当该这种手机专用包销售单价为元时，销售利润是元． 23．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元 (2)每件恤衫的销售价应该定为元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元； （2）解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠最大， ∴， ∴每件恤衫的销售价应该定为元； （3）解：不能，理由如下： 设每件恤衫降价元， ∵为了保证每件恤衫的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 24．如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1) (2)经过2秒或4秒时，线段能将分成面积的两部分 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，解一元二次方程．解题的关键是掌握勾股定理，列出一元二次方程． （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：，， ∴， 当时，在中， ， 整理，得：， 解得：； 当时，的长度等于． （2）设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积，， ①当的面积为面积的时， 则： 整理，得： 解得：或； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； 经过2秒或4秒时，线段能将分成面积的两部分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一元二次方程的应用 课程标准 学习目标 一元二次方程的应用 1.能运用一元二次方程解决变化率问题、利润问题、面积问题、动点问题 2.掌握运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤 知识点01 用一元二次方程解决变化率问题 a为起始量,b为终止量,n为增长(或降低)的次数,x为平均增长率,则 (1)平均增长率公式: (2)平均降低率公式: 【即学即练1】 1．保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为，则根据题意列出的符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2.某菜农每年的种植成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为5万元，可变成本逐年增长．已知该菜农第1年的可变成本为万元，如果该菜农第3年的种植成本为万元，求可变成本每年平均增长的百分率． 方法技巧：(1)解此类问题时所列的方程一般用直接开方法求解，(2)增长(降低)率不能是负数,降低率要小于1. 知识点02 用一元二次方程解决利润问题 1.单个利润=售价一进价; 2.利润率= 3.总利润=单个利润销量=总售价—总进价; 4.售价=进价(1+利润率). 【即学即练1】 1．万达商场服装柜在销售中发现：“珊瑚”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十·一”国庆黄金周，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？此时日销售量是多少件？ 知识点03 用一元二次方程解决面积问题 1.=长宽; 2.=; 3.勾股定理:; 4.=边长边长; 5.=长宽高. 【即学即练1】 1.如图，在矩形空地上，修建2条平行于边、1条平行于边的小路，3条路等宽，其余部分铺草坪．已知长为，长为，铺草坪的单价是100元/，铺草坪的总价为432000元．求每条小路的宽度． 知识点04 用一元二次方程解决动点问题 对于动态几何问题，常将动态的过程进行静态处理，在“静”的状态下分析图中的数量关系，然后根据相关公式列方程求解即可. 【即学即练1】 如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 题型01 用一元二次方程解决变化率问题 【典例1】2024年春节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】安徽特产黄山毛峰是中国十大名茶之一，茶叶颜色鲜亮，茶香扑鼻，被誉为黄山一绝．在某次茶品交易会上，茶农小林参展首日签单100份，第三天签单144份，若连续三天签单数量的增长率相同，求增长率为多少？ 题型02 用一元二次方程解决利润问题 【典例1】上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为元袋，经市场调查发现，当销售单价为元时，每天可售出袋；销售单价每降低元，每天可多售出袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【变式1】直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【变式2】某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． (1)求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式； (2)当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元． 题型03 用一元二次方程解决面积问题 【典例1】我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2，如果把一些金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的围墙，下列长度的栅栏够用并节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 题型04 用一元二次方程解决动点问题 【典例1】如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【典例2】如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 【变式1】如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）    A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    1．为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，年共计投入亿元，预计年投入亿元，设教育经费的年平均增长率为， 下面所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 2．某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．“直田积（矩形面积）八百六十四平方步，阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步” （选自《田亩比类乘除算法》）．设阔为x步，可列出方程（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）    A． B． C． D． 5．据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月3日比5月2日的全国旅游收入多127.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 6．据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　） A． B． C． D． 7．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．如图，正方形的边长为2，点E，F分别在上，是等边三角形，则（   ） A． B． C． D． 9．《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 10．一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（    ） A． B． C． D． 11．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ． 12．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程为 ． 13．如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为 ．    14．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是 ． 15．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ． 16．如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为 ． 17．5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 18．如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）当点和点距离是3cm时， ． （2）当 ，为直角三角形（）． 19．某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了．已知该景区4月份的游客人数为5万人． (1)填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 5 ____ ____ (2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率． 20．如图，某超市会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：李阿姨：“我记得甲商品进价比乙商品进价每件高．”王师傅：“甲商品比乙商品的数量多40件．” (1)请你求出乙商品的进价； (2)超市销售乙商品时，原来定价为每件75元，为尽快清仓，对乙商品连续两次打折，且两次折扣相同，打折后每件仍可获利，则每次打几折？ 21．综合与实践： 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下： ∴当时，有最大值5． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形．    任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为　　　（用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到． 任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边的长． 任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小． 任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 22．振华商厦准备在月 月销售一种多功能手机专用包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场营销调查发现当每个手机专用包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个． (1)若使这种手机专用包的月均销量不低于个，每个手机专用包售价应不高于多少元？ (2)在（）的条件下，当这种手机专用包销售单价为多少元时，月销售利润是元？ 23．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 24．如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$