第八讲：一元二次不等式和方程（5大考点）-2024-2025学年高一数学同步预习讲义（人教A版2019必修第一册）

第八讲：二次函数与一元二次方程、不等式 讲义导航 知识点一：不含参数一元二次不等式的解法 知识点二：含参数一元二次不等式的解法 知识点三：一元二次不等式与一元二次方程的关系 知识点四：简单的分式不等式 知识点五：一元二次不等式恒成立、存在性问题 知识点一：不含参数一元二次不等式的解法 【课前预习】 完成下面的表格： 的图象 的根 有两个不同相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 或 的解集 例1 解下列不等式: (1)2x2＋5x-3＜0; (2)-3x2＋6x≤2; 【课堂练习】 1.解下列不等式： (1)； (2)； (3). 2.函数的判别式，该图象与x轴有两个交点，其交点横坐标为 ，不等式的解集是 ，不等式的解集是 ． 知识点二：含参数一元二次不等式的解法 【课前预习】 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【例题讲解】 例2 解关于x的不等式ax2- (a＋1)x＋1＜0(a＜1). 【课堂练习】 1.解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 知识点三：一元二次不等式与一元二次方程的关系 【课前预习】 根与系数关系的两个公式分别是 、 . 【例题讲解】 例1.已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【课堂练习】 1.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 2.（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 3.（1）若不等式的解集是，求的值； （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 知识点四：简单的分式不等式 【课前预习】 解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 【例题讲解】 例1.解下列不等式 【课堂练习】 1.不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．关于的不等式：的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 知识点五：一元二次不等式恒成立、存在性问题 【课前预习】 1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 4．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 【例题讲解】 例1.已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【课堂练习】 1.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 3.已知不等式对于任意实数x恒成立，实数a的取值范围 ． 4．已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 5.若对任意，恒成立，求实数的取值范围 6.（1）已知， ①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； ②如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 1.若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 3.已知，写出一个“”的一个必要不充分条件： . 4．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 5.已知，若关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 6.解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3)； (4). 7.已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 8.已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八讲：二次函数与一元二次方程、不等式 讲义导航 知识点一：不含参数一元二次不等式的解法 知识点二：含参数一元二次不等式的解法 知识点三：一元二次不等式与一元二次方程的关系 知识点四：简单的分式不等式 知识点五：一元二次不等式恒成立、存在性问题 知识点一：不含参数一元二次不等式的解法 【课前预习】 完成下面的表格： 的图象 的根 有两个不同相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 或 的解集 【答案】 【例题讲解】 例1 解下列不等式: (1)2x2＋5x-3＜0; (2)-3x2＋6x≤2; (1)△＝49＞0,方程2x2＋5x-3＝0的两根分别为x1＝-3,x2＝ (2)原不等式等价于3x2-6x＋2≥0.△＝12＞0,解方程3x2-6x＋2＝0, 【课堂练习】 1.解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）原不等式对应的一元二次方程为，可化为：， 方程的根为， 不等式的解集为（或写为）. （2）原不等式可化为， 此不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. （3）原不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. 2.函数的判别式，该图象与x轴有两个交点，其交点横坐标为 ，不等式的解集是 ，不等式的解集是 ． 【答案】 ，3 ，或． 【详解】相应的一元二次方程的判别式，故函数图象与x轴有两个交点． 由，得， 故交点横坐标分别为，3. 故不等式的解集为，或． 不等式的解集为． 知识点二：含参数一元二次不等式的解法 【课前预习】 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【例题讲解】 例2 解关于x的不等式ax2- (a＋1)x＋1＜0(a＜1). 解①当a＝0时,原不等式即为-x＋1＜0,解得x＞1. ②当a＜0时,原不等式化为 ＞0,解得x＜ 或x＞1. ③当0＜a＜1时,原不等式化为 ＜0.解得1＜x＜ 综上可知,当a＜0时,原不等式的解集为{x｜x＜ 或x＞1}; 当a＝0时,原不等式的解集为{x｜x＞1}; 当0＜a＜1时,原不等式的解集为 【课堂练习】 1.解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 【详解】（1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）不等式可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式化为，其解集为； 当时，不等式化为， （ⅰ）当，即时，不等式的解集为； （ⅱ）当，即时，不等式的解集为； （ⅲ）当，即时，不等式的解集为. （3）对方程 ， 当时，即时不等式的解集为； 当时，即或时的根为，， 不等式的解集为； 综上，时不等式的解集为，或时不等式的解集为. 知识点三：一元二次不等式与一元二次方程的关系 【课前预习】 根与系数关系的两个公式分别是 、 . 【答案】 ； . 【例题讲解】 例1.已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】C 【详解】由题意可知和3是方程的两根,且 ， , , , , ，即选项正确； 不等式等价于, ，即选项正确； 不等式的解集为 , 当时，有，即选项错误； ∵不等式等价于，即 , 或,即选项正确. 故选：C. 【课堂练习】 1.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 2.（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 3.（1）若不等式的解集是，求的值； （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）的解集是，则是对应方程的两个根，故且，解得， 当时，不等式为，满足题意， 故 （2）若不等式的解集为，则，3是对应方程的两个根，且， 则，即， 则不等式等价为， 即， 即， 解得， 即不等式的解集为 知识点四：简单的分式不等式 【课前预习】 解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 【例题讲解】 例1.解下列不等式 原不等式等价于 【课堂练习】 1.不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式可化为，等价于解得， 所以不等式的解集为． 故选：A． 2．关于的不等式：的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由得， 其解集等价于， 解得. 故选：B 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，即， ，即， 故或. 故选：D 知识点五：一元二次不等式恒成立、存在性问题 【课前预习】 1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 4．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 【例题讲解】 例1.已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）若不等式的解集为R， 则， 解得， 即实数的取值范围； （2）不等式， ①当时，即时，不等式的解集为， ②当时，即或时， 由，解得或， 所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【课堂练习】 1.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于“，”为假命题， 故其否定为“，”为真命题，则，得， 故选：D 2.（多选）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为所以恒成立， 因为，当取等号，所以， 因为，所以是的充分条件. 因为，所以是的充分条件， 又都不能推出，所以CD错误， 故选：AB. 3.已知不等式对于任意实数x恒成立，实数a的取值范围 ． 【答案】 【详解】由不等式对于任意实数恒成立，可得， 即，解得. 故答案为：. 4．已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 【答案】 【详解】当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合； 当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 5.若对任意，恒成立，求实数的取值范围 【答案】 【详解】法一：对勾函数参变分离后结合对勾函数性质 当时，，成立； 当时，由题可得对任意恒成立， 令，则有，， ， 令，，根据对勾函数的性质可得， 所以， 所以当时，， 故实数的取值范围为； 法二：分类讨论 令， ①当时，， 对任意，恒成立； ②当时，函数图象开口向上， 若对任意，恒成立，只需， 解得， 故当时，对任意，恒成立； ③当时，对任意，，， 恒成立； 综上可知，实数的取值范围为． 6.（1）已知， ①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； ②如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）①；② ；（2） 【详解】（1）①由题意可得，解得， ②为开口向上的二次函数，对称轴 如果对，恒成立，则或或 解得 （2）①若；此时不等式为，满足题意， ②若， 综上可得 1.若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 故的解集为. 故选：C 2.命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为“”是假命题， 所以“”是真命题，则，解得， 故选：C． 3.已知，写出一个“”的一个必要不充分条件： . 【答案】（答案不唯一） 【详解】不等式，解得， 则“”的必要不充分条件必定包含， 所以“”的一个必要不充分条件（答案不唯一）. 证明如下： 当成立时，一定成立，但是成立时，不一定成立， 所以为即的一个必要不充分条件. 故答案为：（答案不唯一） 4．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 5.已知，若关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由于，， 则不等式的解为， 由于恰有3个解，其中，于是3个解为， 则要求，解出， 综上，． 故答案为： 6.解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）由，可得或，则： 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； （2）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （3）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （4）①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 7.已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2). 【详解】（1）命题，不等式恒成立，为真命题， 则，解得，即实数的取值范围为. （2）命题，使成立， 当为真命题时， 即，解得或， . 当命题中恰有一个为真命题时， ①为真命题，为假命题，即，所以； ②为假命题，为真命题，即，所以； 综上可得：. 8.已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）解：由函数， 因为的解集为，可得，解得， 所以，则， 因为，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的取值范围为. （2）解：由且，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$