第七讲：基本不等式（3大考点）-2024-2025学年高一数学同步预习讲义（人教A版2019必修第一册）

第七讲：基本不等式 讲义导航 知识点一：基本不等式 知识点二：基本不等式与最值 知识点三：基本不等式的实际应用 知识点一：基本不等式 【课前预习】 基本不等式 如果，那么（当且仅当 时取“=”）. 说明： ①对于非负数，我们把称为的 ，称为的 . ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有. ④ 结构特点：和式与积式的关系. 【例题讲解】 例1　给出下面三个推导过程:① ② ③ 其中正确的推导为(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【课堂练习】 1.(多选)已知都是正实数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）已知，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 3.（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若且，则 D． 知识点二：基本不等式与最值 【课前预习】 利用基本不等式求最值 已知，，则： （1）如果和等于定值s，那么当时，积xy有最大值 ； （2）如果积xy等于定值p，那么当时，和有最小值 ． 【例题讲解】 例2　若x＞0,求y＝4x＋ 的最小值; 【课堂练习】 1.若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 2.已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．函数的最小值及取得最小值时的值为（    ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 4.（多选）已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 5．（多选）已知正实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 知识点三：基本不等式的实际应用 【课前预习】 几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式： （a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式： （，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 【例题讲解】 例1.某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5),其他费用为每小时800元,且该货轮的最大航行速度为50海里/时. (1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数; (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶? 【课堂练习】 1.阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 2.某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 3.用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 1.新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（   ） A． B． C． D．或 2.已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 3.（多选）已知均为非零实数，则下列一定正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．（多选）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 5.（多选）已知（），则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 6.（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 8．（多选）若正实数，满足，则（    ） A．有最小值9 B．有最大值 C．的最小值是4 D．的最小值是 9．（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A． B． C． D． 11．（多选）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值为3 12．（多选）已知正实数，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D．的最小值为4 13．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值是 D．的最大值是 14．（多选）已知是正数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 15．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．的最小值为2 C．若，且，则 D．存在，使得成立 16.已知均为实数且，则的最小值为 . 17．已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 18．若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 19.若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 20．（1）已知，求函数的最小值； （2）已知正数满足，求的最小值. 21．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七讲：基本不等式 讲义导航 知识点一：基本不等式 知识点二：基本不等式与最值 知识点三：基本不等式的实际应用 知识点一：基本不等式 【课前预习】 基本不等式 如果，那么（当且仅当 时取“=”）. 说明： ①对于非负数，我们把称为的 ，称为的 . ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有. ④ 结构特点：和式与积式的关系. 【答案】 算术平均数 几何平均数 【例题讲解】 例1　给出下面三个推导过程:① ② ③ 其中正确的推导为(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 答案：B 【课堂练习】 1.(多选)已知都是正实数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】都是正实数, ,当且仅当，即时等号成立，故正确； ，当且仅当，即时等号成立，故正确； 当时，不成立，故错误； ，当且仅当时等号成立， 令，，即，即， 即，所以成立，故正确. 故选：. 2.（多选）已知，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】时，由函数在上单调递增，有， 即，移项得，故A选项正确； 由基本不等式，时，， 因为，等号不成立，所以，故B选项正确； 若，，则，故C选项正确； 若，则，不一定成立， 如，，满足且，不成立，故D选项错误. 故选：ABC． 3.（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若且，则 D． 【答案】ACD 【详解】时有，则， 当且仅当，即时等号成立，A选项正确； ， 等号成立的条件是，即，显然不能成立， 故的等号取不到，B选项错误； 若且，则， 当且仅当，即或时等号成立，C选项正确； ， 当且仅当，即时等号成立，D选项正确； 故选：ACD 知识点二：基本不等式与最值 【课前预习】 利用基本不等式求最值 已知，，则： （1）如果和等于定值s，那么当时，积xy有最大值 ； （2）如果积xy等于定值p，那么当时，和有最小值 ． 【答案】 【例题讲解】 例2　(1)若x＞0,求y＝4x＋ 的最小值; ∵x＞0,∴由基本不等式得 (2)设0＜x＜ ,求函数y＝4x(3-2x)的最大值. 【课堂练习】 1.若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 2.已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等. 故的最小值为. 故选：B. 3．函数的最小值及取得最小值时的值为（    ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 【答案】D 【详解】函数， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时最小值为. 故选：D. 4.（多选）已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A：∵，，. ∴，. 当且仅当，即，，取“”，∴A正确； 对于B：，由（1）知，∴. ∴.∴B正确； 对于C：. ∴，∴C错误； 对于D：， 当且仅当，即，取“”，∴D正确. 故选：ABD. 5．（多选）已知正实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A中，由正实数满足，可得， 当且仅当时，等号成立，所以，所以A不正确； 对于B中，由，因为，可得，所以B正确； 对于C中，由，所以，所以C不正确； 对于D中，由，当且仅当时，等号成立，所以D正确. 故选：BD. 6．（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】AB 【详解】对于A，由，得，当且仅当，即，时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C，由，得， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，故C错误； 对于D，有， 而由于和不相等，从而它们不能同时为零，所以，故D错误. 故选：AB. 知识点三：基本不等式的实际应用 【课前预习】 几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式： （a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式： （，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 【答案】 【例题讲解】 例1.某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5),其他费用为每小时800元,且该货轮的最大航行速度为50海里/时. (1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数; (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶? 【课堂练习】 1.阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】A 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， ，， ，， 故选：A． 2.某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大 【详解】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 3.用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 1.新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】设，，， ， ∴，. ∴赋分是或. 故选：D. 2.已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 【答案】A 【详解】由题意得，所以， 所以， 当且仅当时取等，此时，故A正确. 故选：A 3.（多选）已知均为非零实数，则下列一定正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，时，显然不成立，故B错误； 对于C，因为，且函数在上单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，根据不等式的性质可知，，故D正确. 故选：ACD. 4．（多选）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 5.（多选）已知（），则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】对于A，，即，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8，故A错误； 对于B，由得，， 当时，结合，即时等号成立，故B正确； 对于C，由，得， 由，且，得，所以，故C错误； 对于D，由，两边平方后得，即，由A知， 所以，所以的最小值为，故D正确. 故选：BD 6.（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误． 故选：BC． 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】CD 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，所以的最大值为1，故B错误； 对于选项C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对于选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 8．（多选）若正实数，满足，则（    ） A．有最小值9 B．有最大值 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】BC 【详解】对A：由，得，所以， 当且仅当，即时取等号，故A错误； 对B：由，解得，当且仅当，即时取等号，故B正确； 对C：由，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对D：由，得，则， 因为，所以当时，有最小值，故D错误； 故选：BC. 9．（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错； 故选：ACD 10．（多选）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为x≥1，所以 (当且仅当x＝2时取等号)； ，但是等号取不到； 因为函数在[1，＋∞)上单调递增，所以≥2，当x＝1时取等号； 因为x≥1，所以 (当且仅当x＝1时取等号). 故选：ACD. 11．（多选）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值为3 【答案】AC 【详解】对于A，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故A正确. 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 而，故等号不成立，故的最小值不是2，故B错误. 对于C，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故C正确. 对于D，取，则，故的最小值不为3，故D错误. 故选：AC. 12．（多选）已知正实数，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D．的最小值为4 【答案】BC 【详解】A选项，当时，，A选项不正确. B选项，，当且仅当时等号成立，B选项正确. C选项，，当且仅当时等号成立，C选项正确. D选项，， 但无解，所以等号不成立，D选项错误. 故选：BC 13．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】BD 【详解】解：对于A，若，，时，，即不成立，故A错误； 对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然取等条件不成立， 故的最小值不可能是，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确． 故选：BD． 14．（多选）已知是正数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】A.，解得， 当且仅当且，即时，的最大值为，A正确； B.， 当且仅当时，的最小值为，B正确； C.， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1，C错误； D.， 当且仅当，，即时等号成立， 故的最小值为，D正确. 故选：ABD． 15．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．的最小值为2 C．若，且，则 D．存在，使得成立 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则，，故A正确； 对于B，，但不能取等，故B错误； 对于C，若，则，即，故C正确； 对于D，令，则，故D正确. 故选：ACD. 16.已知均为实数且，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 17．已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 【答案】 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值16. 故答案为：①，②. 18．若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可得当时，恒成立， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，即实数的取值范围是， 故答案为：. 19.若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）32 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）由可得 当且仅当，即时等号成立 故的最小值为32. 20．（1）已知，求函数的最小值； （2）已知正数满足，求的最小值. 【答案】（1）5；（2）9 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最小值为5； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为9. 21．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设矩形花园的长为， 因为矩形花园的总面积为，所以，可得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得， 即关于的关系式为. （2）解：由（1）知，， 则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$