第六讲：不等式的性质（四大考点）-2024-2025学年高一数学同步预习讲义（人教A版2019必修第一册）

第六讲：不等式关系与比较大小 讲义导航 知识点一：不等关系与不等式 知识点二：不等式的性质 知识点三：实数比较大小 知识点四：集合的表示法 知识点一：不等关系与不等式 【课前预习】 文字语言 数学符号 文字语言 大于 ＞ 大于，高于，超过 小于 ＜ 小于，低于，少于 大于或等于 ≥ 至少，不少于，不低于 小于或等于 ≤ 至多,不多于,不超过 【例题讲解】 例1. 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足 上述所有不等关系的不等式． 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆 【课堂练习】 1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是( ) A. 5x+4y＜200 B.5x+4y≥200 C. 5x+4y=200 D.5x+4y≤200 2.某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 知识点二：不等式的性质 【课前预习】 不等式的基本性质：（1）传递性： ． （2）可加性： ． （3）可积性：① ；② ． （4）同向可加性： ；异向可减性： ． （5）同向正数可乘性 ；异向异号可乘性： ；异向正数可除性： ． （6）乘方法则： （，）． （7）开方法则： （，）． （8）倒数法则： ； ． 【例题讲解】 例1.下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【课堂练习】 1.下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3.（多选）已知，，，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点三：实数比较大小 【课前预习】 关于实数a,b的大小，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么a＞b; 如果a-b等于0，那么a=b; 如果a-b是负数，那么a＜b. 基本事实也可以表示为： a－b＞0⇔a＞b； a－b＝0⇔a＝b； a－b＜0⇔a＜b.  【例题讲解】 例1.设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【课堂练习】 1.，则从小到大的排列是 . 2．已知，则 .（填“”，“”，或“”） 3．已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 4．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 1.若，那么下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若a，b是非零实数，且，则； ④若，则 其中正确的命题是 ．（填对应序号即可） 4．已知，则的取值范围是 . 5.（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：，其中为正整数. 6．设是实数，比较与的值的大小. 7．已知实数，满足，求证：. 8．已知，试比较和的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲：不等式关系与比较大小 讲义导航 知识点一：不等关系与不等式 知识点二：不等式的性质 知识点三：实数比较大小 知识点四：集合的表示法 知识点一：不等关系与不等式 【课前预习】 文字语言 数学符号 文字语言 大于 ＞ 大于，高于，超过 小于 ＜ 小于，低于，少于 大于或等于 ≥ 至少，不少于，不低于 小于或等于 ≤ 至多,不多于,不超过 【例题讲解】 例1. 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足 上述所有不等关系的不等式． 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆 【课堂练习】 1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是( ) A. 5x+4y＜200 B.5x+4y≥200 C. 5x+4y=200 D.5x+4y≤200 依题意满足50x+40y≤2000 2.某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,则 知识点二：不等式的性质 【课前预习】 不等式的基本性质：（1）传递性： ． （2）可加性： ． （3）可积性：① ；② ． （4）同向可加性： ；异向可减性： ． （5）同向正数可乘性 ；异向异号可乘性： ；异向正数可除性： ． （6）乘方法则： （，）． （7）开方法则： （，）． （8）倒数法则： ； ． 【答案】 【例题讲解】 例1.下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】B 【详解】对于A，易知， 又，所以，，所以，即，A错误； 对于B，， 又，可得，所以，即，可得B正确； 对于C，当时，不成立，即C错误； 对于D，易知，又，所以，即， 可得，因此D错误. 故选：B 【课堂练习】 1.下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：B. 2．已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 3.（多选）已知，，，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A：因为，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，两边同乘以得，即，故B正确； 对于C：因为，所以，所以， 又，两式相乘得，故C错误； 对于D：，因为，所以，，所以，即，故D正确； 故选：ABD. 知识点三：实数比较大小 【课前预习】 关于实数a,b的大小，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么a＞b; 如果a-b等于0，那么a=b; 如果a-b是负数，那么a＜b. 基本事实也可以表示为： a－b＞0⇔a＞b； a－b＝0⇔a＝b； a－b＜0⇔a＜b.  【例题讲解】 例1.设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 【课堂练习】 1.，则从小到大的排列是 . 【答案】 【详解】， ，故， ，故 又，，故 ， 故答案为：． 2．已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【答案】 【详解】，故. 故答案为：. 3．已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【答案】aabb>abba 【详解】 ∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1.又abba>0，∴ aabb>abba. 4．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 1.若，那么下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，，，所以， 因为，，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：B 2.（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A.若，此时，故A错误； B.若，则，则，故B正确； C. ，，所以， 即，故C错误； D. 若，则，则，故D正确； 故选：BD 3.给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若a，b是非零实数，且，则； ④若，则 其中正确的命题是 ．（填对应序号即可） 【答案】③④ 【详解】对①，当时，结论错误，故①错误； 对②，当时，即，故结论错误； 对③，因为是非零实数，所以，所以即，故③成立； 对④因为，所以即；即，所以，故④正确. 故答案为：③④ 4．已知，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，， ，，则，所以. 故答案为： 5.（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：，其中为正整数. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1），，由不等式的传递性，得. （2）将（1）结论中的换成，换成，就得到 结合，再次利用（1）的结论，可得，反复运用（1）的结论，最终就得到. 6．设是实数，比较与的值的大小. 【答案】答案见解析 【详解】 ①当，即时， ②当，即时， ③当，即时， 7．已知实数，满足，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】 ， 因为，所以， 所以. 8．已知，试比较和的大小. 【答案】 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$