课时梯级训练(14) 数学归纳法（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(14)　数学归纳法 1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是(　　) A．2k＋1 B．2k＋2 C．(2k＋1)＋(2k＋2) D．(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k C　解析： 因为要证明的等式左边是连续正整数，所以由n＝k到n＝k＋1，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2). 2．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋(　　) A． B．π C． D．2π B　解析： 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 3．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　) A．Sk＋ B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ C　解析：式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①　得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.② 由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－＝－，故Sk＋1＝Sk＋－. 4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确 B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确 C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确 D．假设n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) B　解析： 因为n为正奇数，根据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确． 5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　) A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2 D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1] B　解析：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，比较两式，可知等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2. 6．用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N*，则当n＝k＋1时式子应当整理成________________________________________________________________________． 答案：42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)　解析：当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2). 7．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*). 证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·. 当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k(k＋1)·[(k＋1)－] ＝(－1)k·. ∴当n＝k＋1时，等式也成立， 根据(1)(2)可知，对于任何n∈N*等式恒成立． 8．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0. (1)计算a2，a3，a4的值，并猜想an的表达式； (2)请用数学归纳法证明你在(1)中的猜想． (1)解：a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝. 由此猜想an＝(n∈N*). (2)证明：①当n＝1时，a1＝0，结论成立． ②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，即ak＝. 当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝， ∴当n＝k＋1时结论成立． 由①②知，对于任意的n∈N*，an＝恒成立． 9．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为__________________． 答案：81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1(或25×(34k＋1＋52k＋1)＋56×34k＋1)　解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1. 10．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2，k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立． 答案：k＋2　解析：假设当n＝k(k≥2且k为偶数)时，命题成立， 即1－＋－＋…＋－＝2(＋＋…＋)成立．由于是对所有正偶数命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数时，命题也成立．所以应证明当n＝k＋2时，等式也成立． 11．用数学归纳法证明对一切n∈N*，1＋＋＋…＋≥. 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋≥， 则当n＝k＋1时，要证1＋＋＋…＋＋≥， 只需证＋≥. 因为－[＋] ＝－ ＝ ＝≤0， 所以＋≥， 即1＋＋＋…＋＋≥， 所以当n＝k＋1时不等式成立． 由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立． 12．已知函数f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N*，求证：an＜. 证明：(1)当n＝1时，0＜a1＜，显然结论成立． 因为当x∈(0，)时，0＜f(x)≤， 所以0＜a2＝f(a1)≤＜. 故当n＝2时，原不等式也成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时， 不等式0＜ak＜成立． 因为f(x)＝x－x2的对称轴为直线x＝， 所以当x∈(0，]时，f(x)为增函数． 所以由0＜ak＜≤，得0＜f(ak)＜f(). 于是，0＜ak＋1＝f(ak)＜－·＋－＝－＜. 所以当n＝k＋1时，原不等式也成立． 根据(1)(2)知，对任意n∈N*，不等式an＜恒成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$