课时梯级训练(13) 数列求和（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(13)　数列求和 1．数列{an}的通项公式为an＝.若该数列的前k项之和等于9，则k＝(　　) A．80 B．81 C．79 D．82 B　解析：an＝＝－，故Sn＝.令Sk＝＝9，解得k＝81.故选B. 2．已知Tn为数列的前n项和．若m>T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　) A．1 026 B．1 025 C．1 024 D．1 023 C　解析：∵＝1＋()n，∴Tn＝n＋1－， ∴T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－.又m>T10＋1 013，∴整数m的最小值为1 024. 3．已知数列：1，2，3，…，(n＋)，…，则其前n项和Sn关于n的表达式为________． 答案：－＋1　解析：由题意可得Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(＋＋…＋)＝＋＝－＋1. 4．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则 ＝________________． 答案：　解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.依题意有解得所以Sn＝，＝＝2(－).因此 ＝2(1－＋－＋…＋－)＝. 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝16，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公差为d. ∵a2＝3，S4＝16，∴a1＋d＝3，4a1＋6d＝16， 解得a1＝1，d＝2. ∴an＝2n－1. (2)由题意知，bn＝＝(－)， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝. 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，记bn＝anSn(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)∵Sn＝2n＋1－2， ∴当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－2＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n. 又a1＝2＝21，∴an＝2n. (2)由(1)知，bn＝anSn＝2·4n－2n＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝2×－＝·4n＋1－2n＋2＋. 7．(2024·贵港高二月考)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1，且a1＝1. (1)若bn＝an＋n＋1，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求{an}的前n项和Sn. 解：(1)因为an＋1＝3an＋2n＋1，且bn＝an＋n＋1， 所以＝＝＝3. 又因为b1＝a1＋1＋1＝3，所以数列{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)可得，an＋n＋1＝3n，即an＝3n－n－1， 则Sn＝31＋32＋…＋3n－(2＋3＋…＋n＋1)＝－＝. 8．(2024·莱芜高二期末)已知等差数列{an}满足a1＝1，a7＝2a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2n＋1an}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d，则 解得d＝，所以{an}的通项公式为an＝，n∈N*. (2)由(1)知an＝，n∈N*得：2n＋1an＝(n＋1)×2n， 所以Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋n·2n－1＋(n＋1)2n①， 2Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n＋(n＋1)2n＋1②， 由①－②得：－Tn＝4＋22＋23＋24＋…＋2n－(n＋1)2n＋1＝－n·2n＋1 ， 所以Tn＝n·2n＋1. 9．已知正项递增的等比数列{an}满足a1＋a3＝30，a2＝9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为数列{an}为正项递增等比数列，所以q>1. 又a1＋a3＝30，a2＝9， 所以解得或(舍). 所以等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n. (2)由(1)知an＝3n， 所以bn＝＝＝－， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－. 所以数列{bn}的前n项和Tn为－. 学科网（北京）股份有限公司 $$