课时梯级训练(12) 构造法求数列通项公式问题（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(12)　构造法求数列通项公式问题 1．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则是这个数列的(　　) A．第100项 B．第101项 C．第102项 D．第103项 A　解析：由an＋1＝(n∈N*)，得＝＝＋2，则＝＋2(n－1)＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴an＝.令an＝＝，得n＝100.故选A. 2．(2023·崇左高二期末)在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n－1 B．an＝2n C．an＝2n＋1 D．an＝2n＋1 A　解析：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)， 由a1＝1，得a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1. 3．已知数列{an}的首项a1＝，且an＋1＝，＋＋…＋<2 025，则满足条件的最大整数n＝(　　) A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 C　解析：因为an＋1＝，所以＝＝＋，所以－1＝(－1)， 所以数列{－1}是等比数列，首项为－1＝，公比为， 所以－1＝×()n－1＝2×()n，即＝2×()n＋1， 所以Sn＝＋＋…＋＝2×[＋()2＋…＋()n]＋n＝2×＋n＝n＋1－()n， 而当n∈N*时，Sn单调递增． 又因为S2 024＝2 025－()2 024<2 025，且S2 025＝2 026－()2 025>2 025， 所以满足条件的最大整数n＝2 024. 4．已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＝3an＋2×3n＋1，n∈N*.设bn＝，判断数列{bn}是否为等差数列或等比数列，并证明你的结论． 解：∵an＋1＝3an＋2×3n＋1(n∈N*)， ∴＝＋，即－＝2. ∵bn＝， ∴bn＋1－bn＝2，∴{bn}是以b1＝＝1为首项，2为公差的等差数列． 5．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，3Sn＝an＋1－2n＋2＋2(n∈N*). (1)当 n∈N*时，写出an＋1与an之间的递推关系； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)因为3Sn＝an＋1－2n＋2＋2，① 所以当n≥2时，3Sn－1＝an－2n＋1＋2.② ①－②得3an＝an＋1－an－2n＋1(n≥2)， 即an＋1＝4an＋2n＋1 (n≥2). 在①中，令n＝1得a2＝3a1＋23－2＝12＝4a1＋22，符合上式． 所以an＋1＝4an＋2n＋1. (2)因为an＋1＝4an＋2n＋1，所以an＋1＋2n＋1＝4(an＋2n)，且a1＋2＝4≠0， 所以数列{an＋2n}是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以an＋2n＝4n，故an＝4n－2n. 6．数列{an}中，已知an＝3an－1＋2·qn (n∈N*，n≥2).其中q是非零的常数． (1)若q＝5，a1≠25，求证：数列{an－5n＋1}是等比数列； (2)若q＝3，a1＝3，求{an}的通项公式． 解：(1)由q＝5得，an＝3an－1＋2·5n(n∈N*，n≥2)， 所以an－5n＋1＝3an－1－3·5n＝3(an－1－5n)， 即＝3. 因为a1≠25，所以a1－52＝a1－25≠0， 所以数列{an－5n＋1}是公比为3的等比数列． (2)当q＝3时，an＝3an－1＋2·3n(n∈N*，n≥2).由an＝3an－1＋2·3n，得＝＋2，即－＝2(n∈N*，n≥2). 又＝1，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝(2n－1)·3n. 7．(2024·重庆高二月考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则满足an>的n的最大取值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 C　解析：因为an＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4.又＝1， 所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列． 所以＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝.由an>，即>，即0<4n－3<37，解得<n<10.因为n为正整数，所以n的最大值为9，故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$