课时梯级训练(11) 等比数列前n项和的实际应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(11)　等比数列前n项和的实际应用 1．现有一根4 m长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第n天时，共截掉了 m，则n＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 B　解析：设第n天截掉的木头长度为an，则{an}是首项为2，公比为的等比数列， 则该等比数列的前n项和Sn＝＝4－()n－2. 由Sn＝4－()n－2＝，得()n－2＝，得n＝6. 2．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这个女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，则该女子所需的天数至少为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 C　解析：设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天织布的尺数为(2n－1).由(2n－1)≥30，得2n≥187，解得n的最小值为8. 3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”(注：1里＝500米)你的计算结果是(　　) A．80里 B．86里 C．90里 D．96里 D　解析：由题意可知此人每天走的步数构成以为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得＝378，解得a1＝192，∴此人第二天走了192×＝96(里).故选D. 4．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种套餐可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选A套餐的学生，下星期一会有20%改选B套餐；而选B套餐的学生，下星期一会有30%改选A套餐．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A套餐和选B套餐的学生人数，则an＋1与an的关系可以表示为(　　) A．an＋1＝an＋150 B．an＋1＝an＋200 C．an＋1＝an＋300 D．an＋1＝an＋180 A　解析：依题意得消去bn，得an＋1＝an＋150. 5．如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________． 答案：　解析：由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列．现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×()9＝. 6．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于__________平方厘米． 答案：2 048　解析：依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a＝[2()9]2＝4×29＝2 048. 7．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，求每年应偿还的金额． 解：设每年应偿还x万元，则x[(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a(1＋γ)5，∴x·＝a(1＋γ)5，故x＝(万元). 8．某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始还款，每月还款一次，共还12次，购买后一年还清，月利率为0.8%.按复利计算，那么每期应付款多少？(参考数据：1.00812≈1.1) 解：设每期应还款x元，则第1期还款到最后一次还款时的本息和为x(1＋0.008)11，第2期还款到最后一次还款时的本息和为x(1＋0.008)10……第12期还款没有利息，所以各期还款连同利息之和为 x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝x. 又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812， 于是有x＝2 000×1.00812. 解得x＝≈176(元). 所以每期应还款176元． 9．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2025年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2025年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式． (2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区稀土资源的出口，问2025年最多出口多少吨？(结果保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35) 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a·0.9n－1(n≥1). (2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910). ∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤， ∴a≤12.3，故2025年最多出口12.3吨． 10．(2024·深圳高二期中)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”．如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数转换成十进制数的形式是(　　) A．217－2 B．216－1 C．216－2 D．215－1 D　解析：二进制数转换成十进制数的形式是 1×214＋1×213＋…＋1×21＋1×20＝1×＝215－1. 11．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝____________． 答案：(－2)n－1　解析：当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1；当n≥2时，因为Sn＝an＋，① 所以Sn－1＝an－1＋.②　①－②得an＝an－an－1，即an＝－2an－1.所以数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1. 12．(2023·贵港高二期末)现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的，则第5天截取的长度是________米． 答案：　解析：设第n天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为an， 由题意，数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 则a5＝×()4＝，故第5天截取的长度是×81＝(米). 13．(2024·杭州高二期末)一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度． (1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？ (2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由． 解：(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成a1＝15，d＝－2的等差数列，则 Sn＝na1＋d＝15n＋×(－2)＝－n2＋16n， 当n＝8时，(Sn)max＝S8＝64， 即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米． (2)不能超过． 由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b1＝15，q＝0.8的等比数列， 则Sn＝＝＝75(1－0.8n)<75， 所以这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米． 14．某牧场今年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…. (1)写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系； (2)将(1)中的递推公式表示成cn＋1 －k＝r(cn－k)的形式，其中k, r为常数； (3)求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值．(结果精确到1) 解：(1)由题意得，c1＝1 200，cn＋1＝1.08cn－100. (2)将cn＋1－k＝r(cn－k)化成，cn＋1＝rcn－rk＋k， 与cn＋1＝1.08cn－100比较可得，r＝1.08，k－rk＝－100， 所以解得r＝1.08，k＝1 250. 所以(1)中的递推公式可以化为cn＋1－1 250＝1.08(cn－1 250). (3)由(2)可知，数列{cn－1 250}是以－50为首项，1.08为公比的等比数列， 则(c1－1 250)＋(c2－1 250)＋(c3－1 250)＋…＋(c10－1 250) ＝≈－724.3， S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10≈1 250×10－724.3＝11 775.7≈11 776. 学科网（北京）股份有限公司 $$