课时梯级训练(10) 等比数列的前n项和公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(10)　等比数列的前n项和公式 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝2，S6－S3＝4，则S9－S6＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 A　解析：∵(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，∴S9－S6＝8. 2．已知数列{an}的通项公式是an＝2n，Sn是数列{an}的前n项和，则S10等于(　　) A．10 B．210 C．210－2 D．211－2 D　解析：∵＝＝2，∴数列{an}是公比为2的等比数列，且a1＝2.∴S10＝＝211－2. 3．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－a1，a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝(　　) A．或15 B．或－15 C．15 D． C　解析：设等比数列的公比为q，由题意可知q>0. 因为－a1，a2，a3成等差数列且a1＝1， 所以－a1＋a1q2＝a1q， 所以－1＋q2＝q，解得q＝2或q＝－(舍去)， 所以S4＝＝＝15. 4．已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，则实数k为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 C　解析：由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－(3n－1＋k)＝2×3n－1.因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1. 5．已知数列{an}是以b为首项，a为公比的等比数列．设Sn是其前n项和，则对于任意的正整数n，点(Sn，Sn＋1)在(　　) A．直线y＝ax－b上 B．直线y＝ax＋b上 C．直线y＝bx＋a上 D．以上答案都不对 B　解析：当a＝1时，Sn＝nb，所以Sn＋1＝(n＋1)b，即Sn＋1＝nb＋b＝Sn＋b， 所以点(Sn，Sn＋1)在直线y＝ax＋b上． 当a≠1时，Sn＝，所以Sn＋1＝， 所以aSn＋b＝＋＝＝Sn＋1， 所以点(Sn，Sn＋1)在直线y＝ax＋b上． 综上，点(Sn，Sn＋1)在直线y＝ax＋b上．故选B. 6．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么S10＝____________． 答案：33　解析：根据等比数列的性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33. 7．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝____________． 答案：　解析：设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，∴S4＝＝. 8．已知等比数列{an}的公比为q，且有1－q＝3a1，试用Sn表示{an}的前n项和． 解：当q＝1时，∵3a1＝1－q＝0， ∴a1＝0，与{an}是等比数列矛盾， ∴q≠1，即＝. 又∵等比数列的前n项和公式为 Sn＝＝－·qn＋， ∴Sn＝－qn＋. 9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和Sn. 解：设数列{an}的公比为q(q≠0). 由已知可得 所以 解②得q＝3或q＝1. 由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去． 故公比q＝3，首项a1＝1. 所以数列{an}的前n项和 Sn＝＝＝(n∈N*). 10．(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A．3 B．18 C．54 D．152 C　解析：由题意可得：当n＝1时，a2＝2a1＋2，即a1q＝2a1＋2，① 当n＝2时，a3＝2(a1＋a2)＋2，即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2，② 联立①②可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝54. 11．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　) A．{an}为单调递增数列 B．＝9 C．S3 ，S6，S9成等比数列 D．Sn＝2an－a1 BD　解析：由a6＝8a3，可得a3q3＝8a3，则q＝2.当首项a1＜0时，可得{an}为单调递减数列，故A错误；由＝＝9，故B正确；假设S3，S6，S9成等比数列，可得S＝S9×S3，即(1－26)2＝(1－23)(1－29)，显然不成立，所以S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；由{an}是公比为2的等比数列，可得Sn＝＝＝2an－a1，故D正确． 12．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知＝3，则2a2－a4＝________． 答案：0　解析：设{an}的首项为a1，公比为q(q≠1)，∴＝3×.∴q2＝2.∴2a2－a4＝2a2－a2q2＝2a2－2a2＝0. 13．(2024·河池高二月考)已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________． 答案：120　解析：因为在等比数列中，若项数为2n，则＝q， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝90＋×90＝120. 14．(2024·济南高二期中)已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列． (1)求通项公式an； (2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则4a1＋d＝10，即2a1＋3d＝5. 又a2，a3，a7成等比数列，所以a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)， 整理得2d2＋3a1d＝0，得d＝0或d＝－a1. 若d＝0，则a1＝，an＝a1＋(n－1)d＝， 若d＝－a1，则2a1－a1＝5，得a1＝－2，d＝3，an＝3n－5. 综上所述，an＝或an＝3n－5. (2)若an＝，则bn＝2＝4，Sn＝4n； 若an＝3n－5，则bn＝23n－5＝，Sn＝·＝. 15．已知数列{an}，其前n项和为Sn，且满足Sn＝2－an，数列{a}的前n项和为Tn.若S＋λTn＞0对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． 解：显然an≠0，n∈N*.当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，得a1＝1. 当n≥2时，由Sn＝2－an，得Sn－1＝2－an－1. 两式相减，得＝， 所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列． 因为＝，所以＝. 又a＝1，所以{a}是以1为首项，为公比的等比数列． 所以Sn＝＝2[1－()n]， Tn＝＝[1－()n]. 由S＋λTn＞0，得3(2n－1)＋λ(2n＋1)＞0， 所以－λ＜＝＝3－， 所以－λ＜3－＝3－2＝1，所以λ＞－1. 综上，实数λ的取值范围是(－1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$