课时梯级训练(9) 等比数列的应用及性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(9)　等比数列的应用及性质 1．等比数列{an}中，若a2＝－1，a6＝－81，则a4＝(　　) A．9 B．－9 C．±9 D．27 B　解析：由题意等比数列{an}中，若a2＝－1，a6＝－81， 则a＝a2a6＝81，且a4＝a2q2，即a4，a2同号，可得a4＝－9. 2．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　) A．32 B．64 C．256 D．±64 B　解析：由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝a＝a1a99＝16.又∵a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.故选B. 3．已知数列{an}是公比为的正项等比数列，且a5a11＝27，则log3a17＝(　　) A． B． C． D． B　解析：因为a5a11＝a＝27，且an>0，所以a8＝3，所以a17＝a8q9＝3， 所以log3a17＝log33＝. 4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　) A．f B．f C．f D．f D　解析：由题知，这十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，则第八个单音的频率为()7f＝f.故选D. 5．(多选)已知等比数列{an}，满足a1＝1，公比q＝－3，下列说法正确的是(　　) A．数列{3an＋an＋1}是等比数列 B．数列{an＋1－an}是等差数列 C．数列{anan＋1}是等比数列 D．数列{log3|an|}是等差数列 CD　解析：等比数列{an}，满足a1＝1，公比q＝－3，3an＋an＋1＝3[(－3)n－1]＋(－3)n＝[(－1)n－1＋(－1)n]·3n＝0，∴数列{3an＋an＋1}是由0构成的常数列，不是等比数列，故A错误；an＋1－an＝(－3)n－(－3)n－1＝·(－3)n，是等比数列，故B错误；anan＋1＝(－3)n－1·(－3)n＝(－3)2n－1，是等比数列，故C正确；log3|an|＝log3|(－3)n－1|＝n－1，是等差数列，故D正确．故选CD. 6．在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝____________． 答案：1 536　解析：由题意知q5＝＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536. 7．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截去一半剩下a1尺，第二天被截去剩下的一半剩下a2尺……第五天被截去剩下的一半剩下a5尺，则＝________． 答案：24　解析：依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且公比为，则＝＝24. 8．2023年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%. (1)哪一年两林场木材的存量相等？ (2)问两林场木材的总量到2028年能否翻一番？ 解：(1)设经过n年两林场木材的存量相等，即 16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，解得n＝2， 故到2025年两林场木材的总存量相等． (2)令n＝5，则a5＝16a()4＋25a()4<2(16a＋25a)， 故到2028年不能翻一番． 9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式． 解：∵a1a5＝a，a3a7＝a， ∴由题意得a－2a3a5＋a＝36， 同理得a＋2a3a5＋a＝100，∴ ∵an＞0，∴ 即或 解得或 ∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n. 10．(2024·临沂高二期末)已知公比大于1的等比数列 {an}中，a2a8＝8，a4＋a6＝6, 则＝(　　) A． B． C．2 D． D　解析：由a2a8＝8，可得：a2a8＝a4a6＝8.又a4＋a6＝6，且公比大于1，故可解得a4＝2，a6＝4，所以＝＝＝，故选D. 11．(2024·德州高二月考)已知等比数列{an}的首项a1＝2 023，公比为q＝，记bn＝a1a2a3…an，则bn达到最大值时，n的值为(　　) A．10 B．11 C．12 D．不存在 B　解析：试题分析：由题意，因为an＝2 023×()n－1，是一个单调递减的正项数列，所以bn达到最大值时an≥1，且n取得最大值， 即2 023×()n－1≥1，解得n≤11，所以bn达到最大值时，n的值为11. 12．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________． 答案：256　解析：因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213. 又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝＝256. 13．(2024·重庆高二期中)已知等比数列{an}的公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，求a3a6a9…a30的值． 解：由等比数列的性质可知a1·a30＝a2·a29＝…＝a15·a16， ∴a1·a2·a3·…·a30＝(a15·a16)15＝230，∴a15·a16＝4. ∵公比q＝2，a3·a30＝a6·a27＝…＝a15·a18， ∴a3·a6·a9·…·a30＝(a15·a18)5＝(a16·a17)5＝(2a15×2a16)5＝165＝220. 14．从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应操作几次后才能使酒精的浓度低于10%? 解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－. 设操作n次后溶液的浓度为an，则操作(n＋1)次后溶液的浓度为an＋1＝an(1－)， ∴{an}是以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列， ∴an＝a1qn－1＝(1－)n， 即第n次操作后酒精的浓度是(1－)n. 当a＝2时，由an＝()n<(n∈N*)，解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%. 15．(2024·青岛第二中学月考)英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为1 200音分，它们的频率值构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1 200个音的频率值构成一个公比为的等比数列．已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若m＝n，求k－l的值． 解：由题意可知，1 200个音的频率值构成一个公比为的等比数列， 设第一个音频率为a1，所以an＝a1()n－1，故m＝a1()k－1，n＝a1()l－1， 因为m＝n，所以＝＝()k－l＝2＝2， 所以＝，解得k－l＝400. 学科网（北京）股份有限公司 $$