课时梯级训练(8) 等比数列的概念与通项公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(8)　等比数列的概念与通项公式 1．已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和为Sn，若a2是a1与a5的等比中项，则S7等于(　　) A．108 B．64 C．49 D．48 C　解析：由题意知，等差数列{an}的公差为2， 因为a2是a1与a5的等比中项，可得a＝a1a5，即(a1＋2)2＝a1(a1＋8)，解得a1＝1， 所以S7＝7a1＋d＝7×1＋×2＝49. 2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 B　解析：∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9. 3．在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是(　　) A．1 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 C　解析：方法一　由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2. 方法二　∵a5＝a4q，a6＝a4q2，∴由已知条件得2a4＝a4·q2－a4·q，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2. 4．(多选)下列各组数成等比数列的是(　　) A．1，－2, 4，－8 B．－，2，－2，4 C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4 ABD　解析：由等比数列的定义，知ABD是等比数列，C中当x＝0时，不是等比数列． 5．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________________________________________________________________． 答案：80，40，20，10　解析：设这6个数所构成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝，∴这4个数依次为80，40，20，10. 6．(2024·贺州高二期中)在正项等比数列{an}中，a5是a4与6a3的等差中项，{an}的公比为________________________________________________________________________． 答案：2　解析：设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)， 因为a5是a4与6a3的等差中项，所以2a5＝6a3＋a4，即2a1q4＝6a1q2＋a1q3， 即2q2－q－6＝0，解得q＝2或q＝－(舍去). 7．(2024·重庆高二期中)在数列{an}中，an＋2＝10an＋3an＋1，则数列{an＋1＋2an}的公比q＝________________________________________________________________________. 答案：5　解析：由条件可知an＋2＋2an＋1＝5an＋1＋10an＝5(an＋1＋2an)， 所以＝5， 所以数列{an＋1＋2an}是公比为5的等比数列，即q＝5. 8．已知等比数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解：设该等比数列{an}的公比为q，首项为a1， ∵ ∴ ∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2). 上述两式相除，得q(1－q)＝⇒q＝. ∴a1＝＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962·()10＝9. ∴a5，a7的等比中项是±3. 9．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an. (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{bn}的通项公式． (1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1， ∴＝＝＝－. ∴{bn}是等比数列． (2)解：∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－， ∴bn＝1×(－)n－1＝(－)n－1. 10．下列选项中是{an}为等比数列的充要条件的是(　　) A.an＋1＝anq(q为常数) B．an＝a1qn－1(q为常数) C．a＝anan＋2≠0 D．an＋1＝ C　解析：对于A，an＋1＝anq，当q＝0，an＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B，an＝a1qn－1，当q＝0，a1＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C，根据等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D，an＋1＝，当an＝0，an＋1＝0，an＋2＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误． 11．(2024·海淀高二期中)已知a1，2，a2，8成等比数列，－2，b1，b2，b3，5成等差数列，则(a1＋a2)(b1＋b3)＝________． 答案：15或－15　解析：因为a1，2，a2，8成等比数列，所以q2＝＝4，解得q＝－2或q＝2， 当q＝－2时，a1＝－1，a2＝－4， 当q＝2时，a1＝1，a2＝4， ∴a1＋a2＝－5或a1＋a2＝5. ∵－2，b1，b2，b3，5成等差数列， ∴b1＋b3＝－2＋5＝3， ∴(a1＋a2)(b1＋b3)＝－15或15. 12．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 解：(1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1， 而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn. 又b1＝1，所以{bn}是首项为1， 公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 13．各项均为正数的等比数列{an}，其公比q≠1，且a3·a7＝4，请写出一个符合条件的通项公式an. 解：因为{an}为正项等比数列，所以a3·a7＝a＝4，所以a5＝2.又q≠1，不妨令q＝2，所以an＝a1qn－1＝a5qn－5＝2×2n－5＝2n－4. 故答案为an＝2n－4(只要{an}为正项等比数列(不为常数列)且a5＝2即可). 学科网（北京）股份有限公司 $$