课时梯级训练(7) 等差数列前n项和的应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(7)　等差数列前n项和的应用 1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是 (　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 B　解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn，即Sn＝n2＋2n＋1＋λ＝0，1＋λ＝0，即λ＝－1. 2．在等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，其前n项和Sn取最小值时，n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．5或6 D　解析：由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10.令an＝－10＋(n－1)×2＝0，解得n＝6，所以a6＝0，从而S5＝S6，均为最小值．故Sn取最小值时，n的值为5或6. 3．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁……生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历．”某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为(　　) A．71岁 B．72岁 C．89岁 D．90岁 C　解析：设这些老人的年龄形成数列{an}，设最年长者的年龄为a1，则由题可知数列{an}是公差为－1的等差数列，且S19＝1 520，则S19＝19a1＋×(－1)＝1 520，解得a1＝89.故最年长者的年龄为89岁． 4．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列结论中正确的是(　　) A.d<0 B．S11>0 C．S12<0 D．数列{Sn}中的最大项为S11 AB　解析：∵S6>S7，∴a7<0.∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正确．又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确．S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确．{Sn}中最大项为S6，D不正确． 5．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为________万元． 答案：300　解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设每年的维修费构成的等差数列为{an}，则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元). 6．已知数列{an}是以3为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S10是数列{Sn}中唯一的最小项，则数列{an}的首项a1的取值范围是________． 答案：(－30, －27)　解析：依题意，得即解得－30<a1<－27. 7．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布． 答案：　解析：设该女子织布每天增加d尺，由题意知S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.故该女子每天比前一天多织尺布． 8．设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范围； (2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由． 解：(1)依题意 即 由a3＝12，得a1＋2d＝12.③ 将③分别代入①②，得 解得－<d<－3. (2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大． 由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得a6>0，a7<0， 故在S1，S2，…，S12中S6的值最大． 9．已知数列{an}的通项公式an＝31－3n，求数列{|an|}的前n项和Hn. 解：设{an}的前n项和为Sn. 由an＝31－3n可得Sn＝－n2＋n. 由an≥0，解得n≤≈10.3. 当n≤10时，Hn＝Sn＝－n2＋n； 当n≥11时，Hn＝2S10－Sn＝n2－n＋290. ∴Hn＝ 10．(多选)(2024·柳州高二期末)设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列判断中正确的有(　　) A．当n＝15时，Sn取最大值 B．当n＝30时，Sn＝0 C．当d＞0时，a10＋a22＞0 D．当d＜0时，|a10|＞|a22| BC　解析：∵d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，S10＝S20， ∴10a1＋d＝20a1＋d，解得a1＝－14.5d， Sn＝na1＋×d＝－14.5nd＋n2－nd＝(n－15)2－d， 当d＞0，n＝15时，Sn取最小值；当d＜0，n＝15时，Sn取最大值，故A项错误； 当n＝30时，Sn＝(n－15)2－d＝0，故B项正确； 当d＞0时，a10＋a22＝2a1＋30d＝d＞0，故C项正确； 当d＜0时，|a10|＝|a1＋9d|＝－5.5d，|a22|＝|a1＋21d|＝－6.5d， ∴当d＜0时，|a10|＜|a22|，故D项错误． 11．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝____________时，Sn取到最大值． 答案：5或6　解析：∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0. 故当n＝5或6时，Sn最大． 12．(2024·衡水期末)用分期付款方式购买家用电器一件，价格为2 250元，购买当天支付250元，以后每月这一天都交付100元，并加付欠款利息，月利率为 1%，全部欠款付清后，买这件家电实际付钱________元． 答案：2 460　解析：购买家电当天支付250元，实际欠款2 000元，每月付100元，分20次付清，每次所付欠款的数额依次构成数列{an}， 则有an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0.01＝121－n，显然数列{an}是等差数列，n∈N*，n≤20， 因此S20＝＝＝2 210，则S20＋250＝2 460， 所以买这件家电实际共付钱2 460元． 13．(2024·宁波高二期中)在等差数列{an}中，a2＝8，a6＝－4. (1)求{an}的通项公式； (2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|的表达式． 解：(1)设公差为d，则解得a1＝11，d＝－3，所以an＝－3n＋14. (2)由an＝－3n＋14≥0，n∈N*，可得n≤4， 所以当n≤4时，Tn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝－n2＋n； 当n≥5时，Tn＝a1＋a2＋a3＋a4－(a5＋…＋an)＝2(a1＋a2＋a3＋a4)－(a1＋a2＋…＋an)＝2×－＝52－＝n2－n＋52. 所以Tn＝ 14．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn. (2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵S2＝2，S3＝－6， ∴解得 ∴an＝4＋(n－1)×(－6)＝－6n＋10， ∴Sn＝4n＋×(－6)＝－3n2＋7n. (2)假设存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列， 则2(Sn＋2＋2n)＝Sn＋Sn＋3， ∴2[－3(n＋2)2＋7(n＋2)＋2n]＝－3n2＋7n＋7(n＋3)－3(n＋3)2， 解得n＝5. 故存在正整数n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$