课时梯级训练(6) 等差数列的前n项和公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(6)　等差数列的前n项和公式 1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 D　解析：由a1＝1，公差d＝2，得an＝2n－1.又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.故选D. 2．(2024·重庆高二期末联考)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　) A．1 B．3 C．5 D．10 C　解析：在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝3a3＝3，所以a3＝1，S5＝＝5a3＝5. 3．已知等差数列{an}中，a1＝1，前10项的和等于前5项的和．若am＋a7＝0，则m＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．2 B　解析：设等差数列{an}的公差为d，a1＝1.因为前10项的和等于前5项的和，且am＋a7＝0，则10＋45d＝5＋10d，2＋(m＋5)d＝0，解得m＝9. 4．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________． 答案：126　解析：由已知可得解得∴S9＝9a1＋d＝－90＋36×6＝126. 5．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝____________． 答案：3　解析：因为S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3. 6．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________． 答案：25　解析：设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因为a1＝－2，所以d＝1.所以S10＝10×(－2)＋×1＝25. 7．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n， 所以Sn＝＝2n－n2. 由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7. 8．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通项公式； (2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 解：(1)设数列{an}的公差为d. 由S9＝－a5得a1＋4d＝0. 由a3＝4得a1＋2d＝4，于是a1＝8，d＝－2. 因此{an}的通项公式为an＝10－2n. (2)由(1)得a1＝－4d， 故an＝(n－5)d，Sn＝. 由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0， 解得1≤n≤10， 所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}． 9．(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(　　) A．a7 B．a8 C．S15 D．S16 BC　解析：由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，S15＝＝15a8为定值，但S16＝＝8(a8＋a9)不是定值．故选BC. 10．(多选)(2023·玉林高二期中)已知{an}是等差数列，其公差为d，前n项和为Sn，a10＝10，S10＝70.则(　　) A．a1＝4 B．d＝ C．数列{an}为递减数列 D．数列{Sn}是等差数列 AB　解析：由题意可得解得AB选项正确， 数列{an}为单调递增数列，C项错误， Sn－Sn－1＝an＝4＋(n－1)＝n＋(n≥2)不是常数，故数列{Sn}不是等差数列，D项错误． 11．(2024·济南高二期中)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝________． 答案：　解析：因为＝，根据等差数列的性质， ＝＝＝＝＝. 12．(2024·衡水高二期末)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1＝－4，且a4，a5，a7成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求使Sn>an成立的n的最小值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a5－d，a7＝a5＋2d. ∵a4，a5，a7成等比数列， ∴(a5)2＝a4a7，即(a5)2＝(a5－d)(a5＋2d)，即da5＝2d2. 又d≠0，a1＝－4， ∴a5＝2d＝－4＋4d，∴d＝2， ∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－6. (2)Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n， 则不等式Sn>an，即n2－5n>2n－6， 整理可得(n－1)(n－6)>0，解得n<1或n>6. 又n为正整数，故n的最小值为7. 13．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝λan－1(λ为常数，n＝1，2，3，…). (1)若a3＝a，求λ的值． (2)是否存在实数λ，使得数列{an}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为Sn＝λan－1， 所以a1＝λa1－1，a2＋a1＝λa2－1，a3＋a2＋a1＝λa3－1. 由a1＝λa1－1，可知λ≠1， 所以a1＝，a2＝，a3＝. 因为a3＝a，所以＝，解得λ＝0或λ＝2. (2)假设存在实数λ，使得数列{an}是等差数列， 则2a2＝a1＋a3， 由(1)可得＝＋， 所以＝＝＋，即＝0， 显然不成立，所以不存在实数λ，使得数列{an}是等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$