课时梯级训练(5) 等差数列的应用及性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(5)　等差数列的应用及性质 1．已知数列{an}是等差数列，且a2＋2a3＋a8＝32，则a4＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 C　解析：由题设a2＋2a3＋a8＝2a3＋2a5＝4a4＝32，故a4＝8.故选C. 2．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 B　解析：设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列{an}，则a2＝2 500，a5＝4 000.由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500.由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7. 3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32.若am＝8，则m的值为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 B　解析：由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8.又d≠0，∴m＝8. 4．各项均为正数的等差数列{an}中，3a6－a＋3a8＝0，则a7＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C　解析：∵3a6－a＋3a8＝0，∴由等差数列性质，可得6a7－a＝0.∵等差数列{an}各项不为零，∴a7＝6.故选C. 5．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________． 答案：20　解析：设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7 ＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20. 6．(2024·宜宾高二期末)已知数列{an}，{bn}是等差数列，其中a1＝3，b1＝－3且a9＝9，b9＝15，那么a5－b5＝________． 答案：0　解析：由数列{an}，{bn}是等差数列可得，2a5＝a1＋a9，2b5＝b1＋b9. 因为a1＝3，b1＝－3，a9＝9，b9＝15， 所以a5＝6，b5＝6， 所以a5－b5＝0. 7．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温． 解：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5， 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5， ∴an＝15－6.5n. ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃. 8．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式． 解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4. ∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d.∴d＝2. ∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. (2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，…，a2n＝2×2n＝4n. 当n＞1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列． ∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n. 9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　) A．1升 B．升 C．升 D．升 B　解析：设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，由条件得即 解得所以a5＝a1＋4d＝. 10．(多选)在等差数列{an}中，每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 ABD　解析：由题意得插入k(k∈N*)个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，….所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且序号是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1).因为b9是数列{an}的项，所以令1＋(n－1)(k＋1)＝9，n∈N*，k∈N*，当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1，故k的值可能为1，3，7. 11．(2023·柳州高二期中)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位).这个问题中，戊所得为________钱． 答案：　解析：设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d， 则根据题意有 解得所以戊所得为a＋2d＝. 12．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 答案：－21　解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，则解得或 ∴这三个数为－1，3，7或7，3，－1，∴这三个数的积为－21. 13．(2023·重庆高二月考)已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a2＋a5等于________． 答案：7　解析：因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)， 所以an－an－1＝an＋1－an， 所以数列{an}为等差数列， 由a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9， 所以a2＋a4＋a6＋a1＋a3＋a5＝21， 即(a2＋a5)＋(a4＋a3)＋(a6＋a1)＝21， 由等差数列的性质有a2＋a5＝a4＋a3＝a6＋a1， 所以a2＋a5＝7. 14．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求数列{bn}的通项公式； (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？ 解：(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为 an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n. 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项， 则需满足m＝4n－1，n∈N*， 所以b1＝a3＝8－5×3＝－7， b2＝a7＝8－5×7＝－27. (2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20， 所以新数列{bn}也为等差数列， 且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20， 所以bn＝b1＋(n－1)d′ ＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n. (3)因为m＝4n－1，n∈N*，所以当n＝110时， m＝4×110－1＝439， 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项． 15．在正项无穷等差数列{an}中，已知a5a7＝12，a2＋a10＝7. (1)求通项公式an； (2)设bn＝an＋t，且对一切n∈N*，恒有b2n＝2bn，求t的值，并判断对一切k，n∈N*是否恒有bkn＝kbn，请说明理由． 解：(1)∵a2＋a10＝a5＋a7＝7，a5a7＝12， ∴或 当时，an＝－n＋，不恒为正，舍去． ∴∴an＝n＋. (2)∵bn＝an＋t＝n＋t＋，b2n＝n＋t＋， ∴n＋t＋＝n＋2t＋1.∴t＝－，∴bn＝n. ∵bkn＝kn＝kbn，∴恒有bkn＝kbn. 学科网（北京）股份有限公司 $$