课时梯级训练(4) 等差数列的概念与通项公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(4)　等差数列的概念与通项公式 1．(2024·重庆高二期末)在等差数列{an}中，a4＝8，a5＝a2＋a3，则a1＝(　　) A．－2 B．1 C．2 D．4 C　解析：∵在等差数列{an}中，a4＝8，a5＝a2＋a3， ∴ 解得a1＝2，d＝2. 2．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° B　解析：因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B.又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°. 3．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是(　　) A．an＝a＋(n－1)d B．an＝a＋(n－3)d C．an＝a＋2(n－2)d D．an＝a＋2nd C　解析：∵数列的首项为a－2d，公差为2d，∴an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d. 4．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 B　解析：由题意知，2n＋m＝8，2m＋n＝10，两式相加得3m＋3n＝18，m＋n＝6，所以m和n的等差中项是3. 5．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 ABD　解析：根据等差数列的定义，A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列． 6．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________． 答案：－　解析：根据题意得，a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，∴a1＝1.又a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，∴d＝－. 7．已知等差数列{an}的首项a1＝，若从第10项起开始大于1，则公差d的取值范围是________________________________________________________________________． 答案：(，]　解析：在等差数列{an}中，因为从第10项起开始大于1，所以有⇒⇒＜d≤.所以公差d的取值范围是(，]. 8．在50到350之间，末位数字是3的自然数的个数为________． 答案：30　解析：在50到350之间，末位数字是3的自然数有53，63，…，343，构成以53为首项，343为末项，10为公差的等差数列．由an＝a1＋(n－1)d，可得项数n＝＋1＝＋1＝30. 9．在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 解：(1)由题意知 解得 (2)由题意知 解得∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17. 10．已知数列是等差数列，a2＝14，a5＝5. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的最大项． 解：(1)设等差数列的公差为d， 即＝＋(5－2)d⇒1＝7＋3d⇒d＝－2， 所以＝＋(n－2)(－2)⇒＝7－2n＋4＝11－2n⇒an＝－2n2＋11n. (2)由(1)可知，an＝－2n2＋11n＝－2(n－)2＋， 当n＝3时，an有最大项，最大项为－2×32＋11×3＝15. 11．(2024·玉林高二检测)设数列，，2，，…，则4是这个数列的(　　) A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 D　解析：由题意可知：数列即，，，，…， 由此可得：an＝＝.由＝4，解得n＝11， 所以4是这个数列的第11项，故选D. 12．(多选)设d为正项等差数列{an}的公差，若d＞0，a3＝2，则(　　) A．a2a4＜4 B．a＋a4＞ C．＋＞1 D．a1a5＞a2a4 ABC　解析：由题知，⇒0＜d＜1，a2a4＝(2－d)(2＋d)＝4－d2＜4，A正确；a＋a4＝(2－d)2＋(2＋d)＝d2－3d＋6＞4＞，B正确；＋＝＋＝＞1，C正确；a1a5－a2a4＝(2－2d)(2＋2d)－(2－d)(2＋d)＝－3d2＜0，所以a1a5＜a2a4，D错误． 13．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提道：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列．若立春的日影长是12.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则立夏的日影长为________尺． 答案：6.5　解析：因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列{an}，设其公差为d， 则立春的日影长为第4项，芒种的日影长为第12项，立夏的日影长为第10项， 所以 解得 则a10＝a1＋9d＝15.5－9＝6.5，所以立夏的日影长为6.5尺． 14．在等差数列{an}中，ar＝s，as＝r(r≠s，s∈N*)，则ar＋s＝________． 答案：0　解析：由等差数列与一次函数的关系可知，点(r，s)与(s，r)是一次函数y＝－x＋(r＋s)图象上的两点，并且数列{an}的所有点都分布在这个一次函数的图象上，所以当x＝r＋s时，y＝0，即ar＋s＝0. 15．(2024·宁波高二期中)已知等差数列－2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{an}． (1)求新数列{an}的通项公式． (2)16是新数列{an}中的项吗？若是，求出是第几项；若不是，请说明理由． 解：(1)设原等差数列为{bn}，易知b1＝－2，b2＝1，则d＝b2－b1＝3， 所以bn＝b1＋(n－1)·d＝3n－5， 由题意知，2a2n＝bn＋bn＋1＝3n－5＋3(n＋1)－5＝6n－7， 则an＝n－. (2)令an＝16，则n－＝16，解得n＝13， 故16是新数列{an}中的项． 16．数列满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n∈N*)，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)判断是否存在实数λ使得数列为等差数列，并说明理由． 解：(1)因为an＋1＝(n2＋n－λ)an(n∈N*)， 且a1＝1，所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ， 解得λ＝3. 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)不存在实数λ使得为等差数列． 理由如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)， a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ). 若存在实数λ，使得为等差数列，则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3. 于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24， a2－a1≠a4－a3，这与为等差数列矛盾． 所以不存在实数λ使得为等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$