课时梯级训练(3) 数列的概念与表示(习题课)（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(3)　数列的概念与表示(习题课) 1．已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－(n≥2)，它的通项公式为(　　) A．an＝2n B．an＝ C．an＝ D．an＝ C　解析：由已知得，a1＝2，a2＝2－＝2－＝，a3＝2－＝2－＝，a4＝2－＝2－＝，…，∴an＝. 2．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝2n－1 B．an＝()n－1 C．an＝n2 D．an＝n D　解析：方法一(构造法)　由已知整理，得(n＋1)an＝nan＋1，∴＝，∴数列是常数列，且＝＝1，∴an＝n. 方法二(累乘法)　当n≥2时，＝，＝，…，＝，＝，将以上各式两边分别相乘，得＝n.∵a1＝1，∴an＝n. 3．(2024·昆明高二期末)已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝－1，则a100＝(　　) A．－1 B． C．2 D．1 A　解析：由题意，数列{an}满足an＋1＝，a1＝－1，可得a2＝，a3＝2，a4＝－1，a5＝，…， 所以数列{an}构成以3为周期的周期数列，则a100＝a3×33＋1＝a1＝－1. 故选A. 4．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a10的值为________． 答案：　解析：方法一　由an＋1＝an＋得an＋1－an＝－，故a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，a10－a9＝－，所以将以上各式两边分别累加得a10－a1＝1－，a10＝. 方法二　由an＋1＝an＋，得an＋1＋＝an＋，故a10＋＝a1＋1＝2，即a10＝. 5．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，求an. 解：方法一(累乘法)　由(n＋1)a－na＋an＋1an＝0， 得(an＋1＋an)(nan＋1－nan＋an＋1)＝0. ∵an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0. ∴＝. ∴an＝a1···…·＝1××××…×＝. 方法二(换元法)　同上可得(n＋1)an＋1－nan＝0. 设bn＝nan，则bn＋1－bn＝0，∴{bn}是常数列． ∴bn＝b1＝1×a1＝1. ∴bn＝nan＝1，an＝. 6．在数列{an}中，a1＝7，a2＝24，对所有的正整数n都有an＋1＝an＋an＋2，则a2 024＝(　　) A．－7 B．24 C．－13 D．25 B　解析：由an＋1＝an＋an＋2得an＋2＝an＋1＋an＋3， 两式相加得an＋3＝－an，∴an＋6＝－an＋3＝an， ∴{an}是以6为周期的数列，而2 024＝337×6＋2， ∴a2 024＝a2＝24. 7．已知数列{an}，a1＝1，ln an＋1－ln an＝1，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝n B．an＝ C．an＝en－1 D．an＝ C　解析：∵ln an＋1－ln an＝1，∴ln ＝1， ∴＝e.由累乘法可得an＝en－1. 8．(多选)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－(n∈N*)，下列选项中能使an＝3的n为(　　) A．17 B．16 C．8 D．7 BD　解析：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3，所以数列{an}是周期为3的数列，所以a8＝ a17＝－，a7＝a16＝3.故选BD. 9．(多选)若数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列{an}中的项的值可能为(　　) A． B． C． D． ABC　解析：数列{an}满足an＋1＝a1＝，依次取n＝1，2，3，4，…，代入计算得，a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝＝a1，因此继续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为，，，. 10．(2024·济南高二月考)已知数列{an}满足(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，且a2＝，则an＝(　　) A． B． C． D． D　解析：数列{an}满足(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，且a2＝， ∴a1＝，＝， ∴＝，＝，…，＝， 累乘可得：··…·＝···…·， 可得：an＝·＝. 11．(2024·来宾高二月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝.求数列{an}的通项公式． 解：由于Sn＝，所以2Sn＝(n＋1)an①， 当n≥2时，2Sn－1＝nan－1②， ①－②得2an＝(n＋1)an－nan－1， (n－1)an＝nan－1， 整理得＝， 所以＝，＝，…，＝， 累乘可得＝n，且a1＝1，所以an＝n， 经检验可得，a1＝1也满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝n. 12．在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________． 答案：28　解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 学科网（北京）股份有限公司 $$